第1章 01-1.1.1 空间向量及其运算（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算与数量积，通过长方体、正方体等实例衔接平面向量知识，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生逐步理解空间向量的基本属性和运算规则。 其亮点在于结合《九章算术》堑堵、正四棱台“方亭”等文化实例，用数学眼光观察现实空间形式，通过易错题分析和多角度推理培养数学思维，以规范向量符号表达强化数学语言。多样化例题助力学生提升空间观念，也为教师提供丰富教学资源。

第一章 空间向量与立体几何 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　空间向量的概念 1.[2026福建福州适应性训练]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,下列说法正确的是 ( )   A. = 　　     B.| |=| | C. 与 共线　　    D. 与 共面     D     解析     与 的长度相等,方向相反,故 =- ,A错误;无法确定| |与| |的大小关系,故B错误;  与 不是共线向量,但可以平移到同一平面上,是共面向量,故C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.下列关于空间向量的说法正确的是 ( ) A.有向线段就是向量 B.方向相反的两个向量是相反向量 C.任意两个空间向量总是共面的 D.零向量没有方向     C     解析　向量可以用有向线段表示,但不能说有向线段就是向量,故A中说法错误;大小相等,方向相反的 向量是相反向量,故B中说法错误;零向量的方向是任意的,故D中说法错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025陕西渭南咸林中学期中]下列说法正确的是 ( ) A.将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个圆 B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线     C     解析　将空间中所有的单位向量的起点平移到同一个点,则它们的终点构成一个球面,故A中说法错误; 两个向量相等不仅要保证模相等,还要保证方向相同,但a与b的方向不一定相同,故B中说法错误;向量 的相等具有传递性,故C中说法正确;向量的平行不具有传递性,若b=0,则a与b共线,b与c共线,但a与c不一 定共线,故D中说法错误. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　空间向量的线性运算 4.[教材习题改编]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的运算结果为向量 的是 ( ) ① - - ;② + - ;③ - + ;④ - + . A.①②　　    B.②③　　    C.③④　　    D.①④     C     解析     - - = - = ,①不符合; + - = + - = + = ,②不符合;  - + = + = ,③符合; - + = - + = ,④符合. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏镇江重点高中学情调查]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD的中点,若 =a,  =b, =c,则 = ( )   A. a+ b+ c　　    B. a- b- c C. a- b+ c　　    D. a+ b- c     C     解析　连接BD,∵E为PD的中点,∴ = ( + )= (- + + )=-  + ( - + - )=  -   +  = a- b+ c. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026山东泰安新泰中学月考]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, =a, =b, =c,点P在A1C上, 且A1P∶PC=2∶3,则 = ( )   A. a+ b+ c　　    B. a+ b+ c C.- a+ b+ c　　    D. a- b- c     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AC(图略).因为A1P∶PC=2∶3,所以 =  ,所以 = + = +  = + ( -  )=  +  =  + ( + )=  +  +  ,又 =a, =b, =c,所以 = a+ b+ c. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025广东东莞五校联考]《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积 的计算,其中堑堵是底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点, G是MN的中点,若 =2x + y +z ,则x+y+z= ( ) A.1　　    B. 　　         A     C. 　　    D.  第1讲　描述运动的基本概念 解析　连接AM,AN(图略).∵G是MN的中点,∴ = ( + )=  =  +  +   ,∴x= ,y= ,z= ,∴x+y+z=1. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026福建厦门三中期中]在四面体O-ABC中, =a, =b, =c,G为△ABC的重心,点M在线段OC上, 且OM=2MC,则 =( ) A. a+ b- c　　     B. a+ b+ c C.- a+ b+ c　　     D. a- b+ c     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,因为G为△ABC的重心,所以 =  .因为OM=2MC,所以 =  ,所以 = + +  =  + ( - )+  =  + ( - )- ( + )=  -  - ( - + - )=  +  -   = a+ b- c.   第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026湖南长沙一中入学考试]已知四面体A-BCD,P为空间中一点,且满足3 + + + =0,若四面 体A-BCD的体积为4,则四面体P-BCD的体积为_________.     2     第1讲　描述运动的基本概念 解析　先将3 + + + =0进行转化,找到P点位置,再利用体积关系求解. 设E为BC的中点,连接PE,则 + =2 , ∴结合已知得3 +2 + =0, ∴2 +2 + + =0, ∴2( + )+( + )=0, 连接AE,设M是AE的中点,N是AD的中点,连接MN,则 + =2 , + =2 , ∴4 +2 =0,∴ =-2 , ∴P是线段MN的靠近M的三等分点, 连接DE,易知MN为△AED的中位线,∴MN∥ED, ∴A到平面BCD的距离是P到平面BCD的距离的2倍,∴VP-BCD= VA-BCD= ×4=2. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　空间向量的数量积 10.[2025四川眉山北外附属东坡外国语学校期中]在棱长为1的正四面体A-BCD中,点E是AD的中点,则  · = ( )   A. 　　     B.- 　　     C. 　　    D.-      A     解析     · = ·( + )= · + · =1×1×cos +1× ×cos = . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026北京首都师范大学附属中学月考]已知空间向量a,b,若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的 夹角为 ( ) A.30°　　    B.60°　　    C.120°　　    D.150°     C     解析　设向量a与b的夹角为θ.∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=0,则|a|2+|a||b|cos θ=0,∴cos θ=- , ∴θ=120°. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026河南洛阳栾川月考]如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量 在 上的 投影向量为 ( )   A.-  　　    B.  　　     C.-  　　    D.       D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,则 · =( + + )· = · + · + ·  =0+6×6× +62=54, 则向量 在 上的投影向量为 · =  =  . 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2024福建宁德五校联合体期中]在三棱锥P-ABC中,PA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠PAC=45°,∠PAB=60°, 则向量 与 的夹角的余弦值是 ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.0     B     解析　设向量 与 的夹角为θ. 易得 · =( - )· = · - · =| |·| |cos 45°-| |·| |cos 60°=4×8× -6×8× =16 -2 4,所以cos θ= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025东北三省精准教学联考]正四棱台在古代被称为“方亭”,在中国古代建筑中有着广泛的应用. 例如,古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构,台上建有屋宇,称为“榭”,这种结构不仅美观,还具有 广瞻四方的功能,常用于观赏和娱乐.在正四棱台ABCD-A'B'C'D'中,AA'=1,AB=2,∠BAA'= ,则| |=  ( ) A.2　　    B. 　　     C. 　　 D.3     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,连接AC,A'C'.在侧面ABB'A'中,A'B'=AB-2AA'cos =2-2×1× =1,所以 = = .   设 =a, =b, =c,则|a|=2,|b|=2,|c|=1, 所以 = + = +  = + ( + )= a+ b+c, 所以| |=  =  = = . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[多选题][2025河南安阳林州第一中学月考]已知四面体A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,则以下结论中 一定成立的是 ( ) A.| + + |=| + - | B.( + + )· =0 C.| + + |2=| |2+| |2+| |2 D. · = · = ·      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可知, , , 两两垂直,所以 · = · = · =0. 对于A, = + +2( + )· = + , = + - 2( + )· = + ,所以 = ,即| + + |=| + - |,故A 正确;对于B,( + + )· =( + + )·( - )= - ,当 = 时, - =0,否则不成 立,故B错误;对于C,| + + |2=| |2+| |2+| |2+2( · + · + · )=| |2+| |2+| |2,故C 正确;对于D, · = ·( - )=0,同理可得 · =0, · =0,所以 · = · = · ,故D正 确. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026辽宁抚顺入学考试]已知|a|=3 ,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,则λ=_______. 　-      解析　由m⊥n得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+(1+λ)a·b+λb2=0,∴18+(1+λ)×3 ×4cos 135°+16λ=0,即2λ+3=0,∴λ =- . 第1讲　描述运动的基本概念 17.[易错题]已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,实数k的取值范围为 ____________________. 解析　由题意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=16k+(2k-1)×4×8×cos 120°-128=-16k-112<0,解得k>-7. 又当k=- 时,a+2b与ka-b反向共线, ∴k>-7且k≠- . 易错警示　两向量a,b的夹角为锐角时,a·b>0,但a·b>0时,a,b的夹角为锐角或零角;两向量a,b的夹角为钝 角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角.故在实际解题中,要考虑两向量同向、反向的情形. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 1.1 空间向量及其运算 1.1.1 空间向量及其运算 第1讲　描述运动的基本概念 题组　空间向量的数量积 1.[多选题][2026湖南天壹名校联盟联考]已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各个面均为菱形,设 =a,  =b, =c,且|a|=1,a,b,c两两之间的夹角均为 ,则 ( ) A.(a+c)·(b+c)= 　　    B. · =0　　     C.| |= 　　     D.∠B1AD1<<a,b>     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各个面均为菱形,|a|=1,所以|b|=|c|=1,又a,b,c两两之间的夹角均 为 ,所以a·b=a·c=b·c= ,故(a+c)·(b+c)=a·b+a·c+c·b+c·c= + + +1= ,故A正确; · =(a+b+c)·(-a+b +c)=-a·a+b·b+c·c+2b·c=-1+1+1+1=2,故B错误; =|a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+6a·b=6,故| |= ,故C正确; 易知cos∠B1AD1= = = > ,故0<∠B1AD1< ,又<a,b>= ,故∠B1AD1<<a,b>,故D正 确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026辽宁名校联盟月考]若空间向量e1,e2满足|e1|=|2e1+e2|=3,则e1在e2上的投影数量的最大值是  ( ) A.3　　    B.0　　    C.- 　　    D.-      C 解析　设向量e1,e2的夹角为θ,则e1在e2上的投影数量为|e1|cos θ. 因为|e1|=|2e1+e2|=3,所以4|e1|2+|e2|2+4|e1||e2|·cos θ=9,即|e2|2+12|e2|cos θ+27=0, 易知|e2|≠0,所以cos θ=- ,所以|e1|cos θ=- =- ≤-2 =- ,当且仅当  = ,即|e2|=3 时,等号成立,所以e1在e2上的投影数量的最大值为- . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山东泰安新泰正德高级中学月考]如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β, 且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC=AB=BD=6,则| |=__________.     12     解析　∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴ · =0, · =0. ∵二面角α-AB-β的平面角为120°, ∴< , >=180°-120°=60°. ∴ =( + + )2= + + +2 · +2 · +2 · =3×62+2×62×cos 60°=144, ∴| |=12. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河南信阳滨城高级中学月考]已知空间向量 , , 的模均为1, · = , · = · =- . 若存在非零实数λ,μ,使得 + =λ , =μ ,且 · = · =0,则λ-μ=_________.     0     解析　由μ =μ( - )= = - ,得 =  +  , ∴ · = ·( - )= · - = ( + )·   +   - ( + )2=0,又 · =  , · = · =- ,∴ + =3①, ∵ · = ·( - )= ( - )·   +  - ( + ) =0,∴ + =3②. 由①②解得λ=μ= ,所以λ-μ=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江苏苏州中学阶段性检测]如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=2,EF=4,CA=CB=3.若  · + · =7,则 与 的夹角的余弦值为_________.   解析　由题意得 =( - )2= + -2 · =9+4-2 · =9,所以 · =2.由 · + · = 7,可得 ·( + )+ ·( + )= + · + · + · =4+ ·(- )+2+ · =6+ ·( -  )=6+  · =7,所以 · =2,即4×3×cos< , >=2,所以cos< , >= . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025安徽阜阳太和中学月考]如图,在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六边形,设  =a, =b, =c. (1)用a,b,c分别表示 , ; (2)若cos∠BAA1=cos∠FAA1= ,AB=2,AA1=4,求: (i) · ; (ii)| |. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)连接AD(图略). 因为六边形ABCDEF为正六边形, 所以 = - =2( + )- =2a+2b-c,  = + = - =2a+b-c. (2)因为六边形ABCDEF为正六边形,所以∠BAF= . 又cos∠BAA1=cos∠FAA1= ,AB=2,AA1=4, 所以|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=|a|·|b|cos =-2,a·c=b·c=|a|·|c|× =2. (i) · =(2a+b-c)·(2a+2b-c)=4a2+2b2+c2+6a·b-3b·c-4a·c=16+8+16-12-6-8=14. (ii)易得 = + + = - + =2a+2b-a+c=a+2b+c, 所以| |=  第1讲　描述运动的基本概念 =  = =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　空间想象能力在向量中的应用 7.已知正四面体A-BCD的棱长为2 ,若空间内任意一点P满足| + |=2,则 · 的取值范围是____ ____________. 2 ,4+2 ]         [4- 第1讲　描述运动的基本概念 解析　如图,取BC的中点O,连接OP,因为点P满足| + |=2,所以| |=1,即点P落在以O为球心,1为半 径的球上.   因为 = + ,所以 · =( + )· = · + · . 因为正四面体A-BCD的棱长为2 ,所以AO=DO=2 ×sin 60°= . 取AD的中点E,连接OE,易知OE⊥AD,所以 在 上的投影向量为 ,所以 · = · =| |×|  |×cos 0°= ×2 =4. 设< , >=θ,则 · = · + · =4+| |×| |cos θ=4+2 cos θ.因为cos θ∈[-1,1],所以 ·  ∈[4-2 ,4+2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 $