第1章 09-易混易错练1（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学单元复习课件聚焦空间向量与立体几何核心内容，通过“易错点专题”系统梳理向量夹角与空间角关系、空间直角坐标系建立及法向量求解等关键知识，结合典型例题解析与易错警示，构建“知识点-易错点-解题方法”的逻辑网络。 其亮点在于采用“错题诊断-原理剖析-素养提升”复习策略，如通过三棱锥中异面直线所成角的向量求解案例，培养学生用数学思维（推理能力、运算能力）分析空间关系，用数学语言（坐标法、向量法）表达几何问题。分层设计基础判断与综合计算题型，适配不同学生需求，助力教师精准把握学情，提升复习效率。

第一章 空间向量与立体几何 易混易错练1 易错点1　弄不清向量夹角与空间角的关系 1.[2026山东部分学校联考]在三棱锥A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,且AB=AC=AD=1,点M,N分别为棱 BC,AD的中点.给出以下说法:①AB⊥CD;②MN= ;③侧棱与底面所成角的正弦值为 ;④直线AM与 CN所成角的正弦值为 .其中正确的个数是 ( ) A.1　    B.2　    C.3　    D.4     B     解析　由题知AB⊥AC,AB⊥AD, 因为AC,AD⊂平面ACD,AC∩AD=A,所以AB⊥平面ACD, 因为CD⊂平面ACD,所以AB⊥CD,故①正确. 同①易得AD⊥平面ACB, 因为AM⊂平面ACB,所以AD⊥AM,即AN⊥AM. 由题意得BC=BD=DC= = ,AN=ND= ,BM=MC= ,AM= . 根据勾股定理可得MN= = = ,故②错误. 设点A到底面BCD的距离为h,则由等体积法可得VA-BCD=VB-ACD,即 S△BCDh= S△ACD×AB, 即 × × × × h= × ×1×1×1,解得h= , 所以侧棱与底面所成角的正弦值为 = ,故③正确. 依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,   则A(0,0,0),M ,C(0,1,0),N , 则 = , = , 所以cos< , >= = =- , 又异面直线夹角的范围是 ,所以异面直线AM和CN所成角的余弦值为 = , 因此直线AM与CN所成角的正弦值为 = ,故④错误. 易错警示　两异面直线所成角的范围是 ,而两向量夹角的范围是[0,π],要注意两异面直线所成角 的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 2.[2026安徽阜阳田家炳实验中学月考]在四面体ABCD中,已知DA=BD=DC=1,∠ADB= ,∠ADC= , ∠BDC= ,则CD与平面ABD所成角的余弦值为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      C     解析　设 =a, =b, =c,则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>= ,<a,c>= ,<b,c>= , 故a,b,c可构成空间的一个基底. 设平面ABD的法向量为n,且n=xa+yb+zc, 则n⊥ ,n⊥ ,即  即 令x=1,则y=-1,z=-2,所以n=a-b-2c, 设CD与平面ABD所成的角为θ, 则sin θ=|cos<c,n>|= = = = , 又θ∈ ,所以cos θ= .   易错警示　设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos <u,n>|. 易出错的点:①误以为直线的方向向量与平面的法向量的夹角就是线面角;②误以为直线的方向向量与 平面的法向量所成角的余弦值就是线面角的正弦值,而忘加绝对值;③不清楚线面角的范围. 3.[2026广东东莞四校联考]如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,若A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,A1C1=1,AB=AC=AA1 =2,M为BC的中点,则平面MAC1与平面AC1C夹角的余弦值为 ( )   A. 　    B. 　    C. 　    D.      B     解析　由A1A⊥平面ABC,且AB,AC⊂平面ABC,可得A1A⊥AB,A1A⊥AC, 又AB⊥AC,所以A1A,AB,AC两两互相垂直,以A为原点, , , 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),M(1,1,0),C1(0,1,2), 则 =(1,1,0), =(0,1,2), 设平面MAC1的法向量为n=(x,y,z),则  取x=2,可得y=-2,z=1,所以n=(2,-2,1), 易知平面AC1C的一个法向量为(1,0,0),记m=(1,0,0), 设平面MAC1与平面AC1C的夹角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|= = = . 4.[2026四川成都郫都月考]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=2BC,E为 PD的中点,如图所示. (1)证明:CE∥平面PAB; (2)若△PAB为等边三角形,平面PAB⊥平面ABCD,AB=AD=2,求二面角P-AC-E的余弦值.   解析    (1)证明:取PA的中点F,连接BF,EF. 由E,F分别为PD,PA的中点,得EF∥AD,AD=2EF, 又AD∥BC,AD=2BC,所以EF∥BC,EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,故CE∥BF, 又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.   (2)取AB的中点O,CD的中点G,连接PO,OG, 由△PAB为等边三角形,知PO⊥AB. 由平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB,知PO⊥平面ABCD.又OG⊂平面 ABCD,故PO⊥OG. 由AD∥OG,AD⊥AB,知OG⊥AB. 以O为坐标原点,OB,OG,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(-1,0,0),C(1,1,0),D(-1,2,0),P(0,0, ),则E , 则 =(2,1,0), =(1,1,- ), = . 设平面PAC的法向量为m=(a,b,c), 则 即  取b=2,得m= , 设平面ACE的法向量为n=(d,e, f), 则 即  取e=-2,得n=(1,-2, ). 则cos<m,n>=  = =- . 由图形知,二面角P-AC-E为锐二面角, 故二面角P-AC-E的余弦值为 . 易错警示    设两个平面α,β的法向量分别为n1,n2,平面α与平面β所成二面角为θ,若θ为锐角,则cos θ=|cos< n1,n2>|;若θ为钝角,则cos θ=-|cos<n1,n2>|. 注意:二面角的范围是[0,π],两个平面夹角的范围是 . 易错点2　不能正确建系或求点的坐标 5.[2025安徽蚌埠五河一中月考]如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC; (2)若AC=5,BC=12,三棱锥P-ABC的体积为100,求二面角A-PB-C的余弦值.   解析    (1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC, 因为AC⊥BC,PA,AC⊂平面PAC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC, 因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC. (2)因为AC=5,BC=12,AC⊥BC,所以S△ABC= ×12×5=30, 又因为三棱锥P-ABC的体积为100,即 ×PA×30=100,所以PA=10. 以A为原点,过A且平行于BC的直线为x轴,AC,AP所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,   则A(0,0,0),B(12,5,0),C(0,5,0),P(0,0,10), 所以 =(0,0,10), =(12,0,0), =(12,5,-10), 设平面APB的法向量为n=(x,y,z), 则 则z=0,令x=-5,得y=12,则n=(-5,12,0), 设平面PBC的法向量为m=(a,b,c), 则 则a=0,令b=2,得c=1,则m=(0,2,1), 设二面角A-PB-C的平面角为θ, 则|cos θ|=|cos<m,n>|= = = . 由图形知二面角A-PB-C的平面角是锐角,所以二面角A-PB-C的余弦值为 . 易错警示　运用“坐标法”解答空间几何问题时,要分析空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂 直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系,一般利用线面垂直找到z轴,利用线线垂直找到x、y轴, 解题时要准确找到垂直关系,避免建错坐标系. 6.如图,在四棱台ABCD-EFGH中,上、下底面均是正方形,且侧面是全等的等腰梯形,EG=2AC=4,上、下 底面中心的连线NM垂直于上、下底面,且NM与侧面所成角的正切值为 . (1)求点A到平面MHG的距离; (2)求二面角E-HM-G的余弦值.   解析    (1)如图,分别取BC,FG的中点I,J,连接IJ,NJ,MI.取NJ的中点K,连接IK.   ∵MN⊥平面ABCD,∴MN⊥MA,MN⊥MB,MN⊥MI. 由题意得,NK= NJ=MI,且NK∥MI,∴四边形MNKI为矩形,∴MN∥IK, 又∵四边形BCGF为等腰梯形,∴K在平面BCGF内的射影在IJ上, ∴∠KIJ为NM与侧面所成的角. ∵NM与侧面所成角的正切值为 , ∴MN= × NJ= × × EG=1. 易知AC⊥BD.以M为坐标原点, , , 的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则M(0,0,0),A(1,0,0),H(0,-2,1),G(-2,0,1). ∴ =(-2,0,1), =(0,-2,1). 设平面MHG的法向量为m=(x1,y1,z1), 由 取x1=1,得m=(1,1,2), 又 =(1,0,0), ∴点A到平面MHG的距离d= = = . (2)由(1)得E(2,0,1), =(2,0,1), 设平面MEH的法向量为n=(x2,y2,z2), 由 取x2=-1,得n=(-1,1,2). ∴cos<m,n>= = = . 由图可知二面角E-HM-G的平面角为钝角, ∴二面角E-HM-G的余弦值为- . $