06-第六章 概率（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学概率单元复习课件系统涵盖随机变量分布、正态分布、期望方差、二项分布及条件概率等核心知识，通过选择、填空、解答题等题型将离散与连续型变量、概率公式应用等内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于以航展、体育比赛等现实情境设计题目，如歼-35A飞行速度概率问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分步推导期望方差、贝叶斯公式应用，发展数学思维的逻辑性，分层练习适配不同水平学生，助力教师精准复习，提升知识巩固效果。

第六章 概率 满分:150分 时间:120分 第1讲　描述运动的基本概念 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 1.已知随机变量X~N(1,σ2),且P(X≤-2)=P(X≥2a-2),则(ax-1)5展开式中各项系数之和为 ( ) A.32　　　    B.64　　　    C.-32　　　    D.-64     A     解析　因为P(X≤-2)=P(X≥2a-2), 所以 =1,解得a=3, 则(ax-1)5=(3x-1)5,令x=1,得(3x-1)5的展开式中各项系数之和为(3-1)5=32. 第1讲　描述运动的基本概念 2.某果园中某品种水果的单果质量m(单位:g)服从正态分布N(70,σ2),且P(m<50)=0.2,若从该果园中随机 选取400个该品种水果,则质量在50 g~90 g的水果个数的期望为 ( ) A.120　　　    B.160　　　    C.180　　　    D.240     D     解析　因为m~N(70,σ2),P(m<50)=0.2, 所以P(50≤m≤90)=1-2P(m<50)=1-2×0.2=0.6, 从该果园中随机选取400个该品种水果, 设质量在50 g~90 g的水果个数为X, 由题意可知X~B(400,0.6),由二项分布的期望可得EX=400×0.6=240. 第1讲　描述运动的基本概念 3.已知离散型随机变量X的分布列如下: X 1 2 3 4 P m 0.3 n 0.2 若EX=2.7,则下列结论错误的是 ( ) A.m+n=0.5　　　    B.E(3X-1)=7.1 C.DX=0.81　　　    D.P(X>2)=0.5     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    由分布列的性质得m+n+0.5=1,则m+n=0.5,A中结论正确; 由EX=m+0.6+3n+0.8=2.7,得m+3n=1.3,又m+n=0.5, 所以m=0.1,n=0.4,则P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=0.4+0.2=0.6,D中结论错误; E(3X-1)=3EX-1=3×2.7-1=7.1,B中结论正确; DX=(1-2.7)2×0.1+(2-2.7)2×0.3+(3-2.7)2×0.4+(4-2.7)2×0.2=0.81,C中结论正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.某地区举办演唱会时,举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品,使用了安检门进行辅助检测.依照 以往数据,任一观众私自携带应援物品的概率为 ,若观众确实携带,安检门亮灯提示的概率为 ;若观众 没有携带,安检门依旧有 的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示,则 该观众确实私自携带应援物品的概率为( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    设事件A:该观众私自携带应援物品;事件B:安检门亮灯提示,则P(A)= ,P(B|A)= ,P( )= ,P(B| ) = ,P(B)=P(A)P(B|A)+P( )P(B| )= .某观众通过安检门时被亮灯提示,则该观众确实私自携带应援 物品的概率为P(A|B)= = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.在某人工智能的语音识别系统开发中,每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影 响.已知在嘈杂环境下,语音识别成功的概率为p(0<p<1),某天在嘈杂环境下进行了10次测试试验,若测 试结果为语音识别成功,则记2分,否则记-1分,且每次测试成功与否相互独立.记这10次测试试验的总得 分为X,则当EX+DX取得最大值时,实数p的值为 ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设Y为测试成功的次数,则Y~B(10,p), 故EY=10p,DY=10p(1-p). 因为X=2Y-(10-Y)=3Y-10, 所以EX=3EY-10=30p-10,DX=9DY=90p(1-p), 所以EX+DX=-90p2+120p-10,其中0<p<1, 当p= 时,EX+DX取得最大值. 第1讲　描述运动的基本概念 6.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定去参加篮球或乒乓球活动,掷出点数为1或2的人去参加 篮球活动,掷出点数大于2的人去参加乒乓球活动.用X,Y分别表示这4个人中去参加篮球和乒乓球活动 的人数,记ξ=|X-Y|,则随机变量ξ的数学期望Eξ为 ( ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,这4个人中,每个人去参加篮球活动的概率均为 ,去参加乒乓球活动的概率均为 , 设“这4个人中恰有i人去参加篮球活动”为事件Ai(i=0,1,2,3,4), 则P(Ai)=   (i=0,1,2,3,4). ξ的所有可能取值为0,2,4, P(ξ=0)=P(A2)= ,P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)= ,P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)= , 所以ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P       所以Eξ=0× +2× +4× = . 第1讲　描述运动的基本概念 7.第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办,此次航展上,作为我国 新一代中型隐身多用途歼击机的歼-35A首次公开亮相,并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”,假设歼 -35A在某次飞行过程中,飞行速度v(单位:马赫)服从正态分布N(1.1,0.12),且飞出“马赫环”的概率与飞 行速度v满足以下关系:当v>1.2时,概率为0.9;当1.0<v≤1.2时,概率为0.5;当v≤1.0时,概率为0.1.若歼-35A 在一次飞行过程中飞出了“马赫环”,则它的飞行速度不低于1.2马赫的概率约为(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ <X≤μ+σ)≈0.682 7)( ) A.0.285 6　　　    B.0.142 8　　　     C.0.158 7　　　    D.0.5     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由飞行速度v服从正态分布N(1.1,0.12),得μ=1.1,σ=0.1, 则P(v>1.2)=P(v>μ+σ)= ≈ =0.158 65, P(1.0<v≤1.2)=P(μ-σ<v≤μ+σ)≈0.682 7, P(v≤1.0)=P(v≤μ-σ)= ≈ =0.158 65. 设歼-35A飞出“马赫环”为事件A,飞行速度不低于1.2马赫为事件B, 则P(A)=0.158 65×0.9+0.682 7×0.5+0.158 65×0.1=0.5, P(AB)=P(B)P(A|B)=0.158 65×0.9=0.142 785, 所以P(B|A)= = =0.285 57≈0.285 6. 第1讲　描述运动的基本概念 8.甲盒中装有3个红球,1个黄球,乙盒中装有1个红球,3个黄球,同时从甲、乙两盒中取出i(i=1,2,3)个球交 换,分别记交换后甲、乙两个盒中红球个数的数学期望为E1(i),E2(i),则以下结论错误的是 ( ) A.E1(1)>E2(1)　　　    B.E1(2)=E2(2)　　　     C.E1(1)+E2(1)=4　　　    D.E1(3)<E2(1)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　用X表示交换后甲盒中的红球个数,Y表示交换后乙盒中的红球个数. 当i=1时,P(X=2)=P(Y=2)= × = , P(X=3)=P(Y=1)= × + × = , P(X=4)=P(Y=0)= × = , ∴E1(1)=2× +3× +4× = ,E2(1)=2× +1× +0× = , ∴E1(1)>E2(1),E1(1)+E2(1)=4,故A,C中结论正确. 当i=2时,P(X=1)=P(Y=3)= × = ,P(X=2)=P(Y=2)= × + × = ,P(X=3)=P(Y=1)= ×  = , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴E1(2)=1× +2× +3× =2,E2(2)=3× +2× +1× =2, ∴E1(2)=E2(2),故B中结论正确. 当i=3时,P(X=0)=P(Y=4)= × = ,P(X=1)=P(Y=3)= × + × = ,P(X=2)=P(Y=2)= ×  = , ∴E1(3)=0× +1× +2× = , ∴E1(3)=E2(1),故D中结论错误. 第1讲　描述运动的基本概念 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选 对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.在某市举行的一次期末质量检测中,经抽样分析,该市某学校的数学成绩X近似服从正态分布N(86,σ2), 且P(82<X≤86)=0.3.已知该校有1 000人参加此次考试,则 ( ) A.P(X≥90)>P(X≤82) B.P(82<X<90)=0.6 C.估计成绩不低于90分的有200人 D.估计成绩不低于86分的有300人     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知数学成绩X的正态分布密度曲线关于直线x=86对称, 因为P(82<X≤86)=0.3,所以P(86≤X<90)=0.3, 所以P(X≥90)=P(X≤82)= =0.2,故A错误; P(82<X<90)=0.3×2=0.6,故B正确; 估计成绩不低于90分的有0.2×1 000=200(人),故C正确; P(X≥86)=0.5,则估计成绩不低于86分的有0.5×1 000=500(人),故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 10.在遵义市独竹漂表演中,选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演.已知 某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9;该选手完成“独立平衡”时,完成“绕标滑行”的概率为0. 8;该选手未完成“独立平衡”时,完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”, 事件B为该选手完成“绕标滑行”,则( ) A.P(B)=0.76　　　    B.A与B相互独立 C.P(A∪B)=0.94　　　    D.P(A|B)=      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    由题意可知P(A)=0.9,P(B|A)=0.8,P(B| )=0.4,则P( )=0.1,则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B| )P( )=0.8×0. 9+0.4×0.1=0.76,故A正确; P(AB)=P(B|A)P(A)=0.8×0.9=0.72,P(A)P(B)=0.9×0.76=0.684,则P(AB)≠P(A)P(B),故A与B不独立,故B错误; P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.76-0.72=0.94,故C正确; P(A|B)= = = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 11.一个不透明的箱子中装有5个小球,其中白球3个,黑球2个,小球除颜色不同外,材质大小全部相同,现 投掷一枚质地均匀的硬币,若硬币正面朝上,则从箱子里抽出一个小球且不再放回;若硬币反面朝上,则 不抽取小球.重复该试验,直至小球被全部取出,假设试验开始时,试验者手中没有任何小球,则下列说法 正确的有 ( ) A.经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球、1个黑球的概率为  B.若第一次试验抽到一个黑球,则第二次试验后,试验者手中有黑、白球各1个的概率为  C.经过7次试验后试验停止的概率为  D.经过7次试验后试验停止的概率最大     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析    记事件E=“一次试验硬币正面朝上”,则 =“一次试验硬币反面朝上”,则P(E)=P( )= , 从箱子中不放回地抽球,记Ai=“第i次抽到白球”,Bi=“第i次抽到黑球”,Ci=“第i次硬币正面朝上且抽 到白球”,Di=“第i次硬币正面朝上且抽到黑球”. 对于A,P(C1)=P(A1E)=P(E)P(A1|E)= × = ,P(D1)=P(B1E)=P(E)P(B1|E)= × = , 经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球、1个黑球的概率为P(C1D2+D1C2)=P(C1D2)+P(D1C2)=P(C1)P (D2|C1)+P(D1)P(C2|D1) = × + × = ,A正确; 对于B,第一次抽到黑球后,第二次抽到白球的概率为P(C2|D1)= × = ,B正确; 对于C,试验7次结束,则前6次有4次硬币正面朝上,且第7次硬币正面朝上,则其概率为 × × × =  ,C错误; 第1讲　描述运动的基本概念 对于D,设n次试验后试验停止的概率为Pn,n≥5,则Pn= × × × = · , 不妨设Pn最大,则  则  解得8≤n≤9,又n∈N+,n≥5,所以n=8或n=9, 所以经过8次或9次试验后试验停止的概率最大,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温,有一定误差.现用一款红外体温 计测量一个体温为36.9 ℃的人的体温,发现体温计所显示的体温X(单位:℃)服从正态分布N , 若X的值落在[36.6,37.2]内的概率为0.997 3,则n=_________. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 3.     5     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意可得μ=36.9,σ2= , ∵X的值落在[36.6,37.2]内的概率为0.997 3, 且P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 3, ∴P(36.6≤X≤37.2)=P(36.9-0.3≤X≤36.9+0.3)=P(36.9-3σ≤X≤36.9+3σ), ∴3σ=0.3,解得σ=0.1, ∴ =0.01,解得n=5. 第1讲　描述运动的基本概念 13.已知编号为1,2,3的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球,且各箱中的小球总个数之比 为5∶6∶9,红球在1,2,3号箱中分别占 , , .从3个箱中的所有球中随机取出一个球,若每个球被取出的 概率相等,在取出的球为红球的条件下,该球取自3号箱中的概率为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设事件Ai为“取出的球在i号箱中”,事件B为“取出的球为红球”,则A1,A2,A3组成了完整的样本 空间,且A1,A2,A3两两互斥. 由题意得P(A1)= = ,P(A2)= = , P(A3)= = ,P(B|A1)= ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= , 由全概率公式得P(B)= P(Ai)P(B|Ai)= × + × + × = ,则在取出的球为红球的条件下,该球取自3 号箱中的概率为P(A3|B)= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 14.某校在校庆期间举办羽毛球比赛,某班派出甲、乙两名单打主力,为了提高两位主力的能力,体育老 师安排了为期一周的对抗训练,比赛规则如下:甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局,当两人获胜局数 不少于3时,认为这轮训练过关;否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2,且满足p1+p2= , 每局之间相互独立.记甲、乙两人在n轮训练中训练过关的轮数为X,若EX=16,则从期望的角度来看, 甲、乙两人训练的轮数至少为__________.     27     第1讲　描述运动的基本概念 解析    不妨设每轮训练过关的概率为p,则p=  +  p2·(1-p2)+ p1(1-p1) =-3  +2p1p2(p1+p2)=-3   + ×2p1p2=-3  + p1p2, 易得0<p1p2≤ = ,当且仅当p1=p2= 时,等号成立, 易知函数y=-3x2+ x的图象开口向下,对称轴方程为x= ,所以当x= 时,y取最大值, 所以0<-3  + p1p2≤-3× + × = , 因为每局之间相互独立,所以X~B(n,p), 因此EX=np=n -3  + p1p2 =16,故n= ≥ =27, 则甲、乙两人训练的轮数至少为27. 第1讲　描述运动的基本概念 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知一批产品是甲、乙、丙三名工人生产的,三人生产的产品分别占总产量的30%,40%,30%, 三人生产的产品的次品率分别为5%,4%,3%. (1)现从这批产品中按等比例分层随机抽样取出10件产品,再从这10件产品中不放回地任取两件进行检 测,记事件M=“第一次取出的产品是乙生产的”,N=“第二次取出的产品是甲生产的”,分别求P(N|M), P(M|N); (2)现从这批产品中任取一件产品,已知这件产品是次品,求它是丙生产的概率. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意可得取出的10件产品中,甲、乙、丙三名工人分别生产了3件,4件,3件, (1分) 则P(MN)= = ,P(M)= = ,P(N)= × + × = = , (3分) 所以P(N|M)= = = ,P(M|N)= = = . (7分) (2)记事件A,B,C分别表示抽取的一件产品是甲、乙、丙生产的,事件E表示抽取的产品为次品, 则P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(C)=0.3,P(E|A)=0.05,P(E|B)=0.04,P(E|C)=0.03, (9分) 由全概率公式可得P(E)=P(A)P(E|A)+P(B)·P(E|B)+P(C)P(E|C)=0.3×0.05+0.4×0.04+0.3×0.03=0.04, (11分) 所以P(C|E)= = = = , 故已知这件产品是次品,它是丙生产的概率为 . (13分) 第1讲　描述运动的基本概念 16.(15分)为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样 本,测量其直径后,整理得到下表: 直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 个数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 经计算,样本的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率作为概率. (1)为评估设备M的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一个,记其直径为X,并根据以下不等式进行评 估(P表示相应事件的概率); P(μ-σ<X≤μ+σ)≥0.682 7;P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≥0.954 5;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≥0.997 3. 评估规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则设备等级为乙;若仅满 足其中一个,则设备等级为丙;若全部不满足,则设备等级为丁.试判断设备M的等级; (2)将直径小于或等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品. ①从设备M的生产流水线上随意抽取2个零件,记其中次品的个数为Y,求Y的数学期望EY; ②从样本中随意抽取2个零件,记其中次品的个数为Z,求Z的分布列.(答案用分数表示,要画表格) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由已知得μ-σ=62.8,μ+σ=67.2,μ-2σ=60.6,μ+2σ=69.4,μ-3σ=58.4,μ+3σ=71.6, (1分) 所以由题表中数据可得P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(62.8<X≤67.2)=0.8≥0.682 7,(2分) P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(60.6<X≤69.4)=0.94<0.954 5, (3分) P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=P(58.4<X≤71.6)=0.98<0.997 3, (4分) 因为题表中数据仅满足一个不等式,故设备M的等级为丙.(5分) (2)直径小于或等于μ-2σ的零件有2个,大于μ+2σ的零件有4个, 故样本中次品共6个,可估计设备M生产零件的次品率为0.06.(7分) ①依题意得Y~B(2,0.06),则EY=2×0.06=0.12. (10分) ②由题意可知Z服从超几何分布,Z的可能取值为0,1,2,  (11分) P(Z=0)= = ,P(Z=1)= = ,P(Z=2)= = , (14分) 第1讲　描述运动的基本概念 所以Z的分布列为 Z 0 1 2 P       (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 17.(15分)学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推 理错误,但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等,记此类解答为“B类解 答”.为评估此类解答导致的失分情况,某市考试院做了项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若 干个属于“B类解答”的题目,扫描后由近千名数学老师集体评阅,统计发现,满分12分的题,阅卷老师所 评分数及各分数所占比例如下表所示: 某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两名老师独立评分,称为一评和二评,当两 者所评分数之差的绝对值小于等于1分时,取两者平均分为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于 1分时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题 教师评分(满分12分) 11 10 9 各分数所占比例       第1讲　描述运动的基本概念 得分,当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为 该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所 示,比例视为概率,且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响;考生最终所得到的实际分数按照上述规 则所得分数计入,不做四舍五入处理) (1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”,求甲同学此题最终所得到的实际 分数X的分布列及数学期望EX; (2)本次数学考试有6道解答题,每题满分12分,乙同学6道题的解答均为“B类解答”. ①记乙同学6道题得分为si(s1=9,s2=9.5,s3=10,s4=10.5,s5=11)的题目个数为ai,且 ai=6,计算事件“a2+a3= 3”的概率; ②丙同学的前四题均为满分,第5题为“B类解答”,第6题得6分.以乙、丙两位同学解答题总分均值为 依据,谈谈你对“B类解答”的认识. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)随机变量X的取值为9,9.5,10,10.5,11. (2分) 设一评、二评、仲裁所打的分数分别是x,y,z, P(X=9)=P(x=9,y=9)+P(x=9,y=11,z=9)+P(x=11,y=9,z=9)= × +2× × × = , (3分) P(X=9.5)=P(x=9,y=10)+P(x=10,y=9)= × + × = , (4分) P(X=10)=P(x=10,y=10)= × = , (5分) P(X=10.5)=P(x=10,y=11)+P(x=11,y=10)+P(x=9,y=11,z=10)+P(x=11,y=9,z=10)= × + × +2× × × =  , (6分) P(X=11)=P(x=11,y=11)+P(x=9,y=11,z=11)+P(x=11,y=9,z=11)= × +2× × × = , (7分) 故X的分布列为 第1讲　描述运动的基本概念 X 9 9.5 10 10.5 11 P           所以EX=9× +9.5× +10× +10.5× +11× = . (8分) (2)①记“乙同学6道题的得分为9.5或10”为事件A,事件A发生的次数为Y,易得Y~B ,(10分) a2+a3=3相当于事件A恰好发生3次,故所求概率为 = . (12分) ②由题意可知乙同学总分的均值为6EX=6× = = ,丙同学总分的均值为4×12+ +6= .  (14分) 显然,丙同学总分均值更高,所以在做题过程中要规范作答,尽量避免“B类解答”的出现. (15分) 第1讲　描述运动的基本概念 18.(17分)在巴黎奥运会中,国球再创辉煌,包揽全部5枚金牌,其中最惊险激烈的就是男单1/4决赛,中国 选手樊振东对战日本选手张本智和.比赛采取7局4胜制,每局为11分制,每赢一球得一分. (1)樊振东首局失利,第二局比赛双方打到8∶8平,此时张本智和连续发球2次,接着樊振东连续发球2次. 根据以往比赛结果统计,樊振东发球时他自己得分的概率为0.6,张本智和发球时樊振东得分的概率为0. 5,各球的结果相互独立,遗憾的是该局比赛樊振东最终以9∶11落败,求其以该比分落败的概率; (2)在本场比赛中,张本智和先以2∶0领先,根据以往比赛结果统计,在后续的每局比赛中樊振东获胜的 概率为 ,张本智和获胜的概率为 ,且每局比赛的结果相互独立. (i)假设两人又进行了X局后比赛结束,求X的分布列与数学期望; (ii)最后樊振东以4∶3拿下了本场比赛,成功晋级半决赛,有媒体报道樊振东从0∶2到4∶3实现了“惊 天逆转”,你认同这个说法吗?请结合本题中的数据简要说明你的理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意,樊振东以9∶11落败的情况分三种: ①后四球樊振东依次为胜败败败,概率P1=0.5×0.5×0.4 ×0.4=0.04,(1分) ②后四球樊振东依次为败胜败败,概率P2=0.5×0.5×0.4 ×0.4=0.04,(2分) ③后四球樊振东依次为败败胜败,概率P3=0.5×0.5×0.6 ×0.4=0.06,(3分) 所以所求事件的概率为P1+P2+P3=0.14. (4分) (2)(i)X的可能取值为2,3,4,5, P(X=2)= × = , 第1讲　描述运动的基本概念 P(X=3)= × × × = , P(X=4)= × × × + = , P(X=5)= × × × + × × × = ,(9分) 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P         第1讲　描述运动的基本概念 则EX=2× +3× +4× +5× = . (11分) (ii)认同.由(i)知张本智和获胜的概率为 + + × × × + × × × = , (13分) 樊振东获胜的概率为 + × × × = , (15分) 则张本智和获胜的概率大于樊振东获胜的概率,而最后樊振东以4∶3拿下了本场比赛, 所以可以说樊振东从0∶2到4∶3实现了“惊天逆转”.(17分) 第1讲　描述运动的基本概念 19.(17分)某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环 节,预赛成绩排名前300名的学生参加复赛.已知共有12 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学 生中随机抽取100人的预赛成绩(单位:分)作为样本,得到如下频率分布直方图:   第1讲　描述运动的基本概念 (1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至 少有1人预赛成绩优良的概率,并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望; (2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似 为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),且σ2=362,已知 小明的预赛成绩高于91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛; (3)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n,每 一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2, …,n);③每答对一题加2分,答错既不加分也不减分;④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩,已 知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳 的复赛成绩,则他的答题数量n应为多少? 附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.997 3;  ≈19. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)预赛成绩在[60,80)内的有0.012 5×20×100=25(人),预赛成绩在[80,100]内的有0.007 5×20×100 =15(人), 则P(X≥1)= = , (3分) X的可能取值为0,1,2,P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = , (6分) 所以X的分布列为 X 0 1 2 P       第1讲　描述运动的基本概念 EX=0× +1× +2× = . (8分) (2)根据题意,得μ=(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.012 5+90×0.007 5)×20=53, 又因为σ2=362,所以Z~N(53,362), (10分) 所以P(Z>91)=P(Z>μ+2σ)= ×[1-P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)]≈ ×(1-0.954 5)=0.022 75, 故全市参加预赛的学生中,成绩高于91分的有12 000×0.022 75=273(人), 因为273<300,所以估计小明有资格参加复赛. (12分) (3)设学生甲答对的题数为ξ,复赛成绩为Y分, 则ξ~B(n,0.8),故Eξ=0.8n,Y=100-0.2(1+2+3+…+n)+2ξ, (14分) 故EY=100-0.2(1+2+3+…+n)+2Eξ=- n2+ +100=-  + , (16分) 因为n∈N+,所以当答题数量n为7或8时,学生甲可获得最佳的复赛成绩.(17分) 第1讲　描述运动的基本概念 $