第6章 05 正态分布的应用（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“正态分布的应用”，涵盖正态曲线定义、性质、3σ原则及求概率的对称法与3σ法，从概率基础过渡到连续型随机变量，以误差分布为切入点搭建前后知识学习支架。 其亮点在于通过典例（如模拟考试成绩、芯片质量分析），用数学思维（对称推理、3σ法计算）和数学眼光（观察数据分布规律），结合实际应用培养数学语言表达能力。助力学生提升问题解决能力，为教师提供系统教学资源与方法。

第六章 概率 第1讲　描述运动的基本概念 05　正态分布的应用 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.正态曲线 　　由误差引起的连续型随机变量对应的分布密度函数解析式为 (x)=  ,x∈(-∞,+∞),其 中实数μ,σ(σ>0)为参数,这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数),简称正态分布,对 应的图象为正态分布密度曲线,简称为正态曲线. 第1讲　描述运动的基本概念 2.正态曲线的性质 如果随机变量X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),则EX=μ,DX=σ2.   (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,关于直线x=μ对称. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)曲线的最高点位于x=μ处. (4)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降;并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线(如图). (5)正态曲线与x轴之间的区域的面积为1. (6)σ,μ对正态曲线的影响: ①当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移. ②当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“高 瘦”,表示总体的分布越集中. 3.3 σ原则 　　随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则X在三个特殊区间内取值的概率为P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7;P (μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 3,通常认为X只取区间(μ-3σ,μ+3σ]之间的值,并称 之为3σ原则. 第1讲　描述运动的基本概念 特别说明     1.若随机变量X的取值服从正态分布,则X在区间(a,b]上的概率P(a<X≤b)就是X的正态曲线在区间(a,b] 对应的曲边梯形的面积,如图1;同理P(X<a)如图2;P(X>a)如图3.  图1 图2 图3 2.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的区域的面积总和为1,不会随参数μ,σ的变化而变化. 特别提醒    若X~N(μ,σ2),则X在(μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有约0.27%,几乎是不可能发生的,认为是小概 率事件,但落在其他长度为3σ的区间之外的不一定是小概率事件. 第1讲　描述运动的基本概念 1.正态分布求概率的核心是“正态曲线的对称性”和“正态曲线与x轴围成的图形的面积为1”的应用. (1)对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故随机变量落在关于直线x=μ对称的区 间上的概率相等.如: ①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+a);③P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a);④当μ=0时,P(X<-x0)=1-P(X≤x0). (2)“3σ”法:当条件中无已知概率时,则要将区间转化为三个特殊区间:(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]. 利用随机变量X在这三个特殊区间内取值的概率进行计算. 第1讲　描述运动的基本概念 2.正态分布的实际应用 　　利用服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率,可以解决两类实际问题: 　　一是估计在某一范围内的样本数量,具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率,再乘样本 容量即可. 　　二是利用3σ原则作决策.决策步骤如下: 　　①确定一次试验中取值a是否在范围(μ-3σ,μ+3σ]内; 　　②作出判断,若a∈(μ-3σ,μ+3σ],则接受统计假设,若a∉(μ-3σ,μ+3σ],则拒绝统计假设. 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 “3σ”法的解读 1.解题关键:把要求的区间端点值转化成μ±kσ(k=1,2,3)的形式,再对应套3个定值解题. 2.易错避坑:是区间概率不是单点概率,且在(μ-3σ,μ+3σ]内概率极高,超出可判定为小概率事件. 勘破疑难 正态分布的实际应用的解读 1.估计某范围内样本数量的核心就是先算“占比”,再算“个数”,3σ占比直接套,别拿区间硬算数. 2.利用3σ原则作决策的核心是画个“正常圈”,看数据在不在圈里,圈外就是“反常情况”,此时可拒绝 原来的假设. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1    (1)已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X<0)=0.3,则P(0<X<4)的值为( ) A.0.2　　　    B.0.4　　　    C.0.7　　　    D.0.35 (2)某地区组织了一次高三模拟考试,对该地区3 000名考生的考试成绩进行统计分析发现,数学成绩X近 似服从正态分布X~N(μ,152),已知数学成绩高于105分的人数与低于65分的人数相同,据此可以估计本次 考试的数学成绩高于100分的人数大约为( ) (参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997) A.580　　　    B.480　　　    C.380　　　    D.280     B         B     思路点拨    (1)利用对称性直接求解. (2)利用正态曲线的对称性得μ=85,进而得P(X>100)=P(X>μ+σ),根据已知及对称性求概率,即可估计人数. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题设知P(X<2)=0.5,且P(X<0)=0.3, 则P(0<X<2)=0.2,由正态曲线关于直线x=2对称,知P(0<X<4)=0.4. (2)由P(X>105)=P(X<65),结合正态曲线的对称性知μ= =85,又σ=15, 所以P(X>100)=P(X>85+15)=P(X>μ+σ)= ≈0.158 5, 故本次考试的数学成绩高于100分的人数大约为3 000×0.158 5≈476,故大约有480人. 解后反思    ①求正态分布的概率时,注意要活用这两个结论:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+ a),能起到事半功倍的效果;②利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间与μ,σ进行对比,确定它们 属于(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2　某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级,分别对 应如下五组质量指标值:[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果,得到芯片的质量指标 值X服从正态分布N(μ,σ2),并把质量指标值不小于80的产品称为A等品,其他产品称为B等品.现从该品牌 芯片的生产线中随机抽取100件作为样本,统计得到如图所示的频率分布直方图.   第1讲　描述运动的基本概念 (1)根据长期检测结果,该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11,用样本平均数 作为μ的近似值,用样 本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片,试估计该芯片为A等品的概率(保留小数点后面 两位有效数字); (①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ< ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3) (2)(i)从样本的质量指标值在[45,55)和[85,95]内的芯片中随机抽取3件,记其中质量指标值在[85,95]内的 芯片件数为η,求η的分布列和数学期望; (ii)该企业为节省检测成本,采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片 的利润是m(1<m<24)元,一件B等品芯片的利润是ln(25-m)元,根据(1)的计算结果,试求每箱芯片的利润. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意,估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数 =10×(0.01×50+0.025×60+0.0 4×70+0.015×80+0.01×90)=69. 即μ= =69,σ=s=11,所以X~N(69,112), 所以P(X≥80)=  = ≈ =0.158 65≈0.16, 所以从生产线中任取一件芯片,该芯片为A等品的概率约为0.16. (2)(i)由题意得(0.01+0.01)×10×100=20,所以总体容量为20, 质量指标值在[85,95]内的芯片件数为10, 故η的可能取值为0,1,2,3, 则P(η=0)= = ,P(η=1)= = , 第1讲　描述运动的基本概念 P(η=2)= = ,P(η=3)= = , 故η的分布列为 η 0 1 2 3 P         所以Eη=0× +1× +2× +3× = ,或η服从参数为20,10,3的超几何分布,所以Eη= = . (ii)设每箱芯片中A等品有Y件,则B等品有(100-Y)件,设每箱芯片的利润为Z元, 由题意知Z=mY+(100-Y)ln(25-m)=[m-ln(25-m)]Y+100ln(25-m), 由(1)知每箱芯片中A等品的概率为0.16, 所以Y~B(100,0.16), 第1讲　描述运动的基本概念 所以EY=100×0.16=16, 所以EZ=E{[m-ln(25-m)]Y+100ln(25-m)} =[m-ln(25-m)]EY+100ln(25-m) =16[m-ln(25-m)]+100ln(25-m) =16m+84ln(25-m). 所以每箱芯片的利润为[16m+84ln(25-m)]元. 方法技巧　破解正态分布、频率分布直方图与期望、方差相交汇题的思路:①直方图定参数,算频率、 估均值与方差;②正态分布算概率,利用正态曲线的对称性与3σ原则,求区间概率;③期望与方差解实际, 判断特殊分布(二项分布或超几何分布等),代入期望与方差的公式,得结果. 第1讲　描述运动的基本概念 $