04-§4 03-专题强化练11 二项分布与超几何分布（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦第六章概率中的二项分布与超几何分布，涵盖概念辨析、期望方差计算及切比雪夫不等式应用，通过通信信号、投篮比赛等实际问题导入，构建从基础模型到实际应用的知识脉络，以例题分步解析和变式训练为学习支架。 其亮点在于以问题驱动和实例分析为特色，通过通信信号估计发射次数、招聘面试概率计算等实例，培养学生数学眼光（抽象现实问题为模型）、数学思维（推理运算与逻辑分析）、数学语言（用数据表达规律）。采用对比辨析和情境应用，帮助学生深化理解，教师可借助资料提升教学针对性与学生应用能力。

第六章 概率 第1讲　描述运动的基本概念 专题强化练11　二项分布与超几何分布 专题专项练 第1讲　描述运动的基本概念 1.[多选题][2025江西上饶实验中学检测]已知n>2,且n∈N+,下列关于二项分布与超几何分布的说法中, 错误的有 ( ) A.若X~B ,则E(2X+1)= n+1 B.若X~B ,则D(2X+1)= n C.若X~B ,则P(X=1)=P(X=n-1) D.当样本总数远大于抽取数目时,可以用二项分布近似估计超几何分布     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,EX= n, 则E(2X+1)= n+1,A中说法正确; 对于B,DX= n× = n, 则D(2X+1)=4DX= n,B中说法错误; 对于C,P(X=1)= × × , P(X=n-1)= × × , 故P(X=1)≠P(X=n-1),C中说法错误; 显然D中说法正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2025湖南长沙雅礼中学月考]一个不透明的口袋中有8个大小相同的球,其中红球4个,白球1 个,黑球3个,则下列选项正确的有( ) A.从该口袋中任取3个球,设取出的红球个数为ξ,则数学期望Eξ=  B.每次从该口袋中任取一个球,记录下颜色后放回口袋,先后取了3次,设取出的黑球次数为η,则Dη=  C.从该口袋中任取3个球,设取出的球的颜色有X种,则EX=  D.每次从该口袋中任取一个球,不放回,拿出红球即停,设拿出的黑球的个数为Y,则EY=      ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,ξ的可能取值为0,1,2,3,且P(ξ=0)= = , P(ξ=1)= = , P(ξ=2)= = , P(ξ=3)= = , 则Eξ=0× +1× +2× +3× = ,故A正确. 对于B,η的可能取值为0,1,2,3,每次从该口袋中任取一个球,是黑球的概率为 , 则η~B ,Dη=3× × = ,故B错误. 对于C,X的可能取值为1,2,3, 第1讲　描述运动的基本概念 P(X=1)= = , P(X=3)= = , P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)= , 则EX=1× +2× +3× = ,故C正确. 对于D,Y的可能取值为0,1,2,3, Y=0对应取出球的情况有红或白红两种, 所以P(Y=0)= + × = , Y=1对应取出球的情况有黑红或黑白红或白黑红三种, 所以P(Y=1)= × + × × + × × = , 第1讲　描述运动的基本概念 Y=2对应取出球的情况有黑黑红或黑黑白红或白黑黑红或黑白黑红四种, 所以P(Y=2)= × × + × × × + × × × + × × × = , 则P(Y=3)=1-P(Y=0)-P(Y=1)-P(Y=2)=1- - - = , 故EY=0× +1× +2× +3× = ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西景德镇一中期中]切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计规律时发现 的,其内容是:对于任一随机变量X,若其数学期望EX和方差DX均存在,则对任意正实数ε,有P(|X-EX|<ε) ≥1- .根据该不等式可以对事件|X-EX|<ε的概率作出估计.在数字通信中,信号是由数字“0”和 “1”组成的序列,现连续发射信号n次,每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次 数为随机变量X,为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内,估计信号发射次数n 的最小值为_____________.     1 250     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知X~B(n,0.5), 所以EX=0.5n,DX=0.25n, 若0.4< <0.6,则0.4n<X<0.6n, 即-0.1n<X-0.5n<0.1n,即|X-0.5n|<0.1n, 由切比雪夫不等式知P(|X-0.5n|<0.1n)≥1- , 要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间(0.4,0.6)内, 则1- ≥0.98,解得n≥1 250, 又n∈N+,所以估计信号发射次数n的最小值为1 250. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026北京首都师范大学附属中学期中]甲、乙、丙三人进行投篮比赛,共比赛10场,规定每场比赛分 数最高者获胜,三人得分(单位:分)情况统计如下: 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 第1讲　描述运动的基本概念 (1)从上述10场比赛中随机选择一场,求甲获胜的概率; (2)在上述10场比赛中,从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场,设X表示乙得分大于丙得分的场数, 求X的分布列和数学期望EX; (3)假设每场比赛获胜者唯一,且各场相互独立,用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率. 甲、乙、丙三人接下来将进行6场投篮比赛,设Y1为甲获胜的场数,Y2为乙获胜的场数,Y3为丙获胜的场 数,直接写出方差DY1,DY2,DY3的大小关系.(结论不要求证明) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)在10场比赛中,甲共获胜3场,分别是第3场、第8场、第10场. 设事件A为“从10场比赛中随机选择一场,甲获胜”,则P(A)= . (2)在10场比赛中,甲得分不低于10分的场次有6场,分别是第2场、第3场、第5场、第8场、第9场、第1 0场,其中乙得分大于丙得分的场次有4场,分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = . 所以X的分布列为 X 0 1 2 P       第1讲　描述运动的基本概念 所以EX=0× +1× +2× = .   (3)每场比赛甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,丙获胜的概率为 ,还需要进行6场比赛,而甲、乙、 丙获胜的场数服从二项分布, 所以DY1=6× × = , DY2=6× × = , DY3=6× × = , 故DY2>DY1>DY3. 第1讲　描述运动的基本概念 5.为进一步深化劳动教育改革,现从某单位全体员工中随机抽取3人进行问卷调查.已知该单位有N名员 工,其中 是男性, 是女性. (1)当N=10时,求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望; (2)我们知道,当总量N足够大而抽出的个体足够小时,超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考 虑,从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人,在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作P1,在二项 分布中 男性员工恰有2人的概率记作P2.当N至少为多少时,我们可以在误 差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布?(参考数据: ≈24.04) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当N=10时,男性员工有4人,女性员工有6人,X服从超几何分布,X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = , 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P         第1讲　描述运动的基本概念 则EX=0× +1× +2× +3× = . (2)由题意知男性员工有 N人,女性员工有 N人, 则P1= = = · , P2= × × = =0.288, 若P1-P2≤0.001,则 · -0.288≤0.001, 即 ≤ , 第1讲　描述运动的基本概念 易知(N-1)(N-2)>0,则720N ≤289(N-1)(N-2), 化简得N2-147N+578≥0, 又N>0,所以N+ ≥147. 由函数y=x+ 在( ,+∞)上单调递增,且 ≈24.04, 可知y=N+ 在N≥25时单调递增, 又142+ ≈146.07<147,143+ ≈147.04>147, 所以当N≥143时,符合题意, 考虑到 N和 N都是整数,则N一定是5的整数倍, 则N至少为145时,我们可以在误差不超过0.001(即P1-P2≤0.001)的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026广东东莞第十三高级中学月考]某单位进行招聘面试,已知参加面试的N名学生全都来自A,B,C 三所学校,其中来自A校的学生人数为n(n>1).该单位随机给每个面试人员安排了一个面试号码k(k=1,2, 3,…,N),按面试号码k由小到大的顺序依次进行面试,每人面试5分钟,面试完成后自行离场. (1)求面试号码为2的学生来自A校的概率; (2)若N=40,n=10,且B,C两所学校参加面试的学生人数之比为1∶2,求A校参加面试的学生先于其他两校 学生完成面试(A校所有参加面试的学生完成面试后,B,C两校都还有学生未完成面试)的概率; (3)记随机变量X表示最后一名A校学生完成面试所用的时长(从A校第1名学生开始面试到最后1名学生 完成面试所用的时间),EX是X的数学期望,证明:EX= . 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)记“面试号码为2的学生来自A校”为事件M, 解法一:将A校n名学生面试号码的安排情况作为样本空间,则样本点总数为 ,事件M表示A校有1名学 生的面试号码为2, 其他(n-1)名学生的面试号码在剩余(N-1)个面试号码中随机安排, 则事件M包含的样本点数为  , 故P(M)= = = . 解法二:面试号码为2的样本点总数为 ,事件M中的样本点数为 , 因此P(M)= = . (2)设B校参加面试的学生有x名, 第1讲　描述运动的基本概念 由题意得 = ,解得x=10, 所以B校参加面试的学生有10名,C校参加面试的学生有20名. 记“最后面试的学生来自B校”为事件E,“最后面试的学生来自C校”为事件F, 显然事件E,F互斥. 记“A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D,则D=ED+FD. 当事件E发生时,只需考虑A,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那名来自C校, 则P(E)= = = , (最后面试的学生有 种选法,最后面试的学生来自B校有 种选法) P(D|E)= = = , 第1讲　描述运动的基本概念 (A,C两所学校所有参加面试的学生中最后面试的学生有 种选法,他来自C校有 种选法) 因此P(ED)=P(E)P(D|E)= × = . 同理,当事件F发生时,只需考虑A,B两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那名来自B校, 则P(FD)=P(F)P(D|F)= × = . 所以P(D)=P(ED)+P(FD)= + = . (3)证明:由题知随机变量X的可能取值为5n,5(n+1),…,5N, 则P(X=5k)= ,k=n,n+1,…,N, (样本点总数为 ,“X=5k”表示A校最后一名学生第k个面试,其中包含的样本点数为  ) 所以随机变量X的期望EX= 5k· =  k  第1讲　描述运动的基本概念 =  k =    = ( + + +…+ ) = ( + + +…+ )=   (利用 + = 化简) = ·  = , 所以EX= . 第1讲　描述运动的基本概念 $