4.1 数学建模实例课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4.1 数学建模实例 新授课 1.通过动手操作，进一步掌握正确的洗涤方法，并懂得怎样使衣服洗得更干净.体验数学在解决实际问题中的价值和作用，培养数学建模的核心素养. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 日常洗衣服都要经历两个阶段，第一阶段是用去污剂搓洗衣服，第二阶段是漂洗衣服. 一、实际情境 一般来讲要漂洗多次，漂洗的次数越多衣服越干净. 在给定漂洗所用的清水量的前提下，漂洗多少次能使衣服干净？ 二、提出问题 新课讲授 学习目标 课堂总结 影响漂洗衣服干净程度的因素有：漂洗前衣服上残留的污物量，用于漂洗衣服的清水量，漂洗的次数，每次漂洗用的清水量，每次漂洗后衣服上残留的污物量. 三、相关因素分析及假设 假设： 1.漂洗所用的清水总量是定值，记为A kg； 2.共漂洗n（n∈N+）次，每次漂洗所用的清水量相等，记为a kg； 新课讲授 学习目标 课堂总结 3.初次漂洗之前衣服上的污物量记为m0 kg，第i（1≤i≤n，且i∈N+）次漂洗后，将衣服拧干，衣服上残留污物量记为mi kg； 4.每次漂洗拧干后，衣服上留有的清水量相等，记为b kg； 5.每次漂洗，衣服上残留的污物可均匀地溶解在水中； 6.为了使衣服上的污物能均匀地溶解在水里，每次漂洗时存在用水最小量，记为c kg； 7.衣服上的残留污物量小于ε kg，则称衣服被漂洗干净了. 新课讲授 学习目标 课堂总结 第1次漂洗前，衣服上有污物m0 kg，衣服上留有的清水量b kg. 四、建立模型 第1次漂洗时加入清水a kg，此时m0 kg污物均匀地溶解在（a+b）kg清水里，漂洗拧干后，衣服上残留的污物量为m1 kg，满足 ，即 进而可得 同理 新课讲授 学习目标 课堂总结 于是，问题转化为只需要求同时满足 和 的n值即可，通过对n赋值，得到符合条件的n值，即得结果. 另外，由假设可知，a≥c，即 事实上，为了保证有解，应当满足条件 其中 表示不超过 的最大整数. 由模型得出的结论可通过实际检测得到（略）. 五、检验 新课讲授 学习目标 课堂总结 以上过程是一个完整的数学建模活动过程.在这之后，我们还可以做进一步的工作，比如： 1.改进已有模型，可通过改进假设，建立新的模型，使新的模型更接近实际. 2.讨论模型的特征，扩大模型的适用范围，以解决更多的问题. 3.深入分析实际情境，提出新的问题，进行新问题解决的数学建模活动. 在上面的数学建模活动中，做了模型的假设：每次漂洗所用的清水量相等，在本节开始还提及：漂洗的次数越多衣服越干净，现在，不禁要问： （1）如果每次漂洗所用的清水量不相等，结果又怎样呢？ （2）“漂洗的次数越多衣服越干净”的结论正确吗？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 在这里只讨论问题（1）：如果每次漂洗所用的清水量不相等，结果又怎样呢？ 为了简单起见，只讨论漂洗2次，设2次所用的清水量分别为a1 kg，a2 kg，且a1+a2=A，A是定值，比较a1=a2和a1≠a2的漂洗效果. 在漂洗所用的清水量不相等（a1≠a2）时， 新课讲授 学习目标 课堂总结 我们希望m2尽可能地小，即 尽可能地大. 由基本不等式，得 即 新课讲授 学习目标 课堂总结 这说明，在只漂洗2次的情况下，所用的清水量相等的漂洗效果最佳. 一般地，在用水总量和漂洗次数都相同的情况下，等量用水漂洗比不等量用水漂洗下的最后残留污物量要少. ∵这里的 是定值， ∴当且仅当 即a1=a2时， 取得最大值. 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.一个完整的数学建模活动有什么流程？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$