04-§4 02-4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的综合应用，涵盖弦长、中点弦等核心问题，通过基础过关练到能力提升练的题组设计，衔接圆锥曲线定义与性质，搭建递进式学习支架。 其亮点是以高考真题和模拟题为载体，运用韦达定理、点差法等通性通法培养数学思维，结合二级结论（如椭圆焦点弦范围）训练数学语言。例如中点弦问题用点差法推导斜率，助力学生提升解题逻辑，方便教师系统教学。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　弦长问题 1.[2026山东德州期中联考]经过椭圆 +y2=1的左焦点F1作倾斜角为45°的直线l,直线l与椭圆相交于A, B两点,则|AB|= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由已知得a= ,b=1,所以c=1, 则F1(-1,0), 又kl=tan 45°=1,故直线l的方程为y=x+1, 联立 得3x2+4x=0,Δ=42-4×3×0>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=- ,x1x2=0, 故|AB|= × = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖南师大附中月考]已知斜率为1的直线与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,当OA⊥OB 时,△OAB的面积为 ( ) A.16　　    B.4 　　    C.8 　　    D.12      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设直线AB的方程为y=x+b(b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 得y2-4y+4b=0, 则y1+y2=4,y1y2=4b, 由Δ=16-16b>0,得b<1, ∵OA⊥OB, ∴ · =x1x2+y1y2= · +y1y2=b2+4b=0, 解得b=-4或b=0(舍), ∴直线AB的方程为y=x-4,y1y2=-16, 则|AB|= × =4 , 又原点O到直线AB的距离d= =2 , ∴S△OAB= d|AB|= ×2 ×4 =8 . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026山西大同铁路第一中学月考]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作C的两条渐近 线的平行线,与C分别交于点A,B,若|AB|=2 b,则C的离心率为 ( ) A. +2　　    B. +2　　    C. +1　　    D. +1     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　不妨设点A在第一象限内,如图所示,   易知过F且与渐近线y= x平行的直线的方程为y= (x-c),与双曲线方程联立,解得x= ,y=- , 由对称性知点A与点B关于x轴对称, 因为|AB|=2 b,所以2× =2 b, 即b2=2 ac,即c2-2 ac-a2=0, 即e2-2 e-1=0, 解得e= +2(e= -2舍去). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[教材习题改编]已知椭圆C: + =1的右焦点为F,过F的直线l交椭圆于A,B两点,则|AB|的取值范围为 _____________.     [3,4]     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意得a=2,b= ,c=1, 则F(1,0). 解法一:当直线l的斜率不为0时, 设其方程为x=my+1, 联立  消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2= ,y1y2= , 所以|AB|= ·  第1讲　描述运动的基本概念 = · = , 令t=m2+1,t≥1,则|AB|= = ,t≥1, 因为函数y= 在[1,+∞)上单调递增,所以当t=1,即m=0时,|AB|取得最小值,为3,当t→+∞时,|AB|→4. 当直线l的斜率为0时,直线l与x轴重合,则AB是椭圆的长轴,此时|AB|=4. 综上所述,|AB|的取值范围为[3,4]. 解法二:当直线AB与椭圆的长轴重合时,|AB|取得最大值,为4;当直线AB垂直于x轴时,|AB|取得最小值, 将x=1代入椭圆方程,解得y=± ,所以|AB|的最小值为 =3,故|AB|的取值范围是[3,4]. 第1讲　描述运动的基本概念 二级结论　　　椭圆的焦点弦的长的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025河南九师联盟质量检测]已知抛物线C:y2=2px(p>0)与圆x2+y2=9相交于A,B两点,且|AB|=4 . (1)求C的方程; (2)若直线l:y=2x-1与C相交于M,N两点,F是C的焦点,求△FMN的周长. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设点A在第一象限内, 则由题意可知A , 因为点A 在圆x2+y2=9上, 所以 +8=9,解得p=4(负值舍去),所以C的方程是y2=8x. (2)联立 得4x2-12x+1=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3,x1x2= , 所以|MF|+|NF|=x1+x2+p=3+4=7, |MN|= · = × =2 , 所以△FMN的周长为|MN|+|MF|+|NF|=7+2 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　中点弦问题 6.[2025安徽阜阳第一中学期中]已知O为坐标原点,抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与E交于A,B 两点,若S△OAB= ,则线段AB的中点的横坐标为 ( ) A.3　　    B.4　　     C.5　　    D.6     B     解析　由题意得F(1,0),设直线l:x=ty+1,与抛物线方程联立,得y2-4ty-4=0,显然Δ>0,所以yA+yB=4t,yAyB=-4, 则|yA-yB|= =4 , 所以S△OAB= |OF||yA-yB|=2 = ,解得t2= , 所以xA+xB=t(yA+yB)+2=4t2+2=8, 故线段AB的中点的横坐标为4. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏常州高级中学期中]设A,B为双曲线C:x2- =1上的两点,若线段AB的中点为M(-1,-3),则直线 AB的方程为 ( ) A.3x-4y-9=0　　    B.3x+4y+15=0 C.4x+3y+13=0　　    D.4x-3y-5=0     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则  ①-②得( - )- =0, 则 = , 由线段AB的中点为M(-1,-3)得x1+x2=-2,y1+y2=-6, ∴ = = = , ∴kAB= , 第1讲　描述运动的基本概念   所以直线AB的方程为y+3= (x+1), 即4x-3y-5=0. 联立 得20x2+40x-61=0, 则Δ=402-4×20×(-61)>0, 故直线4x-3y-5=0与双曲线C有两个交点,满足题意,故直线AB的方程为4x-3y-5=0. 解题技法　遇到直线与圆锥曲线相交弦的中点问题时,常设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)为A(x1,y1), B(x2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线 AB的斜率有关的式子,可以大大减少计算量. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026广东深圳期中]已知椭圆C:mx2+ny2=1,过椭圆C的焦点F( ,0)的直线l与椭圆C相交于P1,P2两点, 设线段P1P2的中点为P,若P ,则m+n= ( ) A. 　　    B. 　　     C.1　　    D.9     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易得直线l的斜率为 =2. 将椭圆C的方程化为标准形式为 + =1, 则a2= ,b2= , 由焦点为F( ,0)得c2=a2-b2=3, 则 - =3①. 解法一:设P1(x1,y1),P2(x2,y2), 因为P1P2的中点为P , 第1讲　描述运动的基本概念 所以x1+x2= ,y1+y2=- , 将P1,P2的坐标代入椭圆方程得  两式相减,得m( - )+n( - )=0, 整理得m(x1+x2)+n(y1+y2)· =0, 即 m- n=0, 化简得2m-n=0,所以2m=n②, 将②代入①,得 =3,解得m= , 则n= ,故m+n= + = . 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:易得kOP=- , 由椭圆的垂径定理得kl·kOP=- , 则2× =- ,则n=2m,② 将②代入①,得 =3,解得m= , 则n= ,故m+n= + = . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025重庆巴蜀中学月考]已知直线l:y= x+1与椭圆C: +  =1(a>b>0)相交于A,B两点,且AB的中点 为M ,则C的离心率e为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为AB的中点为M , 所以 =-1, = , 因为A,B在椭圆C上, 所以 + =1, + =1, 两式相减,得 + = + =0, 即 + =0,整理得 = , 又 = ,所以 = ,则 = , 所以e= = = = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线与圆锥曲线的综合问题 10.[2025河南七校联考]已知D为双曲线C: -y2=1右支上一点,过点D分别作C的两条渐近线的平行线, 与另外一条渐近线分别交于点A,B,则DA·DB= ( ) A.2　　    B. 　　     C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设坐标原点为O,D(x0,y0),易知C的渐近线方程为y=± x, 易得过点D且与渐近线y= x平行的直线方程为y-y0= (x-x0). 联立  解得  设A , 同理可得B , 第1讲　描述运动的基本概念 则OA=  = ×  x0-y0 , 同理可得OB= × , 易知四边形OADB是平行四边形, 所以DA·DB=OB·OA= × × × = × , 因为点D在双曲线C上,所以 - =1, 所以DA·DB= . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026北京第一六一中学期中]已知椭圆W: + =1(a>b>0)的长轴长为4,且a=2b. (1)求椭圆W的方程和离心率; (2)椭圆的左、右顶点分别为A,B,经过点P(1,0)的直线与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,B重合), 直线CB与直线x=4相交于点M,求证:A,D,M三点共线. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得2a=4,即a=2,则b=1, 则c= = = , 故椭圆W的方程为 +y2=1, 离心率e= = . (2)证明:易知直线CD的斜率存在且不为0,故可设直线CD的方程为x=my+1,C(x1,y1),D(x2,y2), 联立 消去x得(m2+4)y2+2my-3=0,则y1+y2=- ,y1y2=- ,易得A(-2,0),B(2,0), 则直线CB的方程为y= (x-2), 令x=4,得y= ,则M , 第1讲　描述运动的基本概念 要证A,D,M三点共线,只需证kAD=kAM, 易求得kAD= ,kAM= = , 所以需证 = , 即证3y2(x1-2)=y1(x2+2), 将x1=my1+1,x2=my2+1代入, 化简得3y2(my1-1)=y1(my2+3), 即3my1y2-3y2=my1y2+3y1, 即2my1y2=3(y1+y2), 即2m· =- ,等式成立,故A,D,M三点共线. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026四川绵阳中学月考]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,点M(3,y0)在抛物线C 上,且|MF|=5,直线l过定点T(t,0)(其中t>0,t≠1)且与抛物线C交于A,B两点(点A位于第一象限). (1)求抛物线C的方程; (2)当t=8时,求证:OA⊥OB; (3)如图,连接AF并延长交抛物线C于点A1,连接BF并延长交抛物线C于点B1,设△ABF和△A1B1F的面积分 别为S1,S2,求 .   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)∵|MF|=3+ =5,∴p=4,则抛物线C的方程为y2=8x. (2)证明:设直线l的方程为x=my+8, A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去x并整理,得y2-8my-64=0,则y1y2=-64, 则 · =x1x2+y1y2= · +y1y2= +y1y2=64-64=0,所以OA⊥OB. (3)设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去x并整理,得y2-8my-8t=0,则y1y2=-8t, 易得F(2,0),设直线A1A的方程为x=ny+2,A1(x3,y3),B1(x4,y4), 联立 消去x并整理,得y2-8ny-16=0,则y1+y3=8n,y1y3=-16, ∴y3=- ,同理得y4=- ,∴ = = = = = . (利用三角形的面积公式,将三角形的面积之比转化为焦半径之比,再转化为纵坐标之比) 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江西宜春中学模拟]已知椭圆C: + =1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为 ,P为C上 一点,△PF1F2的周长为2 +2,其中O为坐标原点. (1)求C的方程; (2)直线l:y=x+m与C交于A,B两点. (i)求△OAB的面积的最大值; (ii)设 = + ,试证明点Q在定直线上,并求出定直线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设焦距为2c, 依题意得 解得  又a2=b2+c2,所以b2=a2-c2=1, 所以C的方程为 +y2=1. (2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 得3x2+4mx+2m2-2=0, 则x1+x2=- ,x1x2= , 由Δ=16m2-4×3×(2m2-2)>0,解得m2<3, 第1讲　描述运动的基本概念 |AB|= × = × = , 又点O到直线l:x-y+m=0的距离d= ,所以△OAB的面积为 |AB|d= × × = × ≤  × = ,当且仅当3-m2=m2, 即m=± 时取等号, 故△OAB的面积的最大值为 . (ii)设Q(x,y),由 = + ,得(x,y)=(x1+x2,y1+y2), 则x=x1+x2=- ,y=y1+y2=x1+x2+2m= ,则y=- x, 所以点Q在定直线y=- x上. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　弦长及中点弦问题 1.[2026湖北襄阳第四中学开学综合测试] 已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F1且倾斜角为θ的直线与C交于 A,B两点,若cos θ= ,O为坐标原点,G为△AOB的重心,则直线OG的斜率的最小值为 ( ) A.3 　　    B.4 　　    C.3 　　    D.2      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由cos θ= ,得sin θ= = = ,所以直线AB的斜率为tan θ= = . 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M, 则点G在直线OM上,M .由A,B在C上得  两式作差得 = = · ,即kAB·kOM= , 则kOG=kOM= = · =(e2-1)· = =2 ≥4 ,当且仅当e= 时等号 成立, 所以直线OG的斜率的最小值为4 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026安徽阜阳颍上第一中学开学质量检测]已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F1,F2,不经过F1 且斜率为 的直线交C于A,B两点.当△F1AB的周长最大时,|AB|=( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由椭圆方程知a=2,b= ,c=1,则F1(-1,0),F2(1,0),连接AF2,BF2, 由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4, 所以△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4-|AF2|+4-|BF2|+|AB|=8+|AB|-(|AF2|+|BF2|), 又|AF2|+|BF2|≥|AB|,所以|AF1|+|BF1|+|AB|≤8, 当且仅当F2在线段AB上时取等号,所以当直线AB过点F2时,△F1AB的周长最大,因为直线AB的斜率为 , 所以直线AB的方程为y= (x-1),联立 消去y可得5x2-8x=0, 所以x1=0或x2= , 所以|AB|= |x2-x1|= × = , 所以当△F1AB的周长最大时,|AB|= . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026陕西西安第三中学月考]已知椭圆C: + =1,O为坐标原点,E ,AB是椭圆C的一条弦,若 弦AB的中点在线段OE(不含端点O,E)上,则 · 的取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　    D.      A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则AB的中点为  易得直线OE的方程为y= x, 则x1+x2=2(y1+y2), 由A,B在椭圆C上得  两式相减得 + =0, 易知x1-x2≠0,y1+y2≠0, 所以 =- ,则kAB=- , 第1讲　描述运动的基本概念 设直线AB的方程为y=- x+m, 联立  整理得3x2-3mx+m2-3=0, 则x1+x2=m,x1x2= , 由Δ=9m2-12(m2-3)>0,解得m2<12, 又AB的中点在线段OE(不含端点O,E)上,所以m≠0,所以0<m2<12, 故 · =x1x2+y1y2=x1x2+  = x1x2- m·(x1+x2)+m2= m2- ,因为0<m2<12, 所以 m2- ∈ , 所以 · 的取值范围是 . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2024湖北武汉硚口月考]已知直线AB是曲线y=- 及抛物线y2=2px(p>0)的公切线,切点分别为A(x1,y1), B(x2,y2)(x2>0),则x1y1=_______,若|AB|= ,则p=____________.      或8      　-1     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知直线AB的斜率存在,不妨设直线AB的方程为y=kx+b, 联立 消去y并整理, 得kx2+bx+1=0,此时k≠0, 由Δ1=b2-4k=0,解得k= , 代入kx2+bx+1=0,得b2x2+4bx+4=0, 解得x=- (二重根), 则y= ,则A , 则x1y1=- × =-1. 第1讲　描述运动的基本概念 联立 消去y并整理,得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,此时k≠0, 由Δ2=(2kb-2p)2-4k2b2=0,解得p=2kb, 代入k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,得k2x2-2kbx+b2=0,解得x= (二重根), 则y=k· +b=2b,则B , 若|AB|= , 则 + = ,又k= ,故b2=2或b2=8,因为p=2kb,且p>0,k= ,所以b>0, 当b2=2,即b= 时,p=2kb=2× ×b= ; 当b2=8,即b=2 时,p=2kb=2× ×b=8 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线与圆锥曲线的综合问题 5.[多选题][2026河南九师联盟期中]已知双曲线C:x2- =1的左、右焦点分别为F1,F2,P是C的右支上一 点,过点P作C的切线l,与C的两条渐近线分别交于点M,N,则下列说法正确的是 ( ) A.|PF1|2-|PF2|2的最小值为8 B.存在点P,使得 · =-4 C.点M,N的纵坐标之积为定值 D.|MN|=2|MP|     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由双曲线方程得a=1,b= , 则c= =2,所以F1(-2,0),F2(2,0), 设P(x0,y0),x0≥1,则 - =1, 即 =3 -3, 则|PF1|2-|PF2|2=[(x0+2)2+ ]-[(x0-2)2+ ]=8x0≥8,故A正确;  · =(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)= -4+ = -4+3 -3=4 -7≥-3, 所以不存在点P,使得 · =-4,故B错误; 显然切线l的斜率不为0,设切线l的方程为x=my+n, 联立  第1讲　描述运动的基本概念 得(3m2-1)y2+6mny+3n2-3=0, 则Δ=36m2n2-12(3m2-1)(n2-1)=0, 整理得n2=1-3m2, 所以-n2y2+6mny-9m2=0,即(ny-3m)2=0,解得y= ,即yP= . 不妨设切线l与渐近线y= x的交点为M,与渐近线y=- x的交点为N, 由 解得y= , 即yM= , 由 解得y= , 第1讲　描述运动的基本概念 即yN= , 则yMyN= · = = =-3,故C正确; 因为 =  = = = =yP,所以点P是线段MN的中点, 所以|MN|=2|MP|,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西南昌进贤第二中学期中]如图,已知以(2,0)为焦点的抛物线C的顶点为原点,P是抛物线C的 准线上任意一点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,设直线PA,PB的斜率分别是k1和k2. (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程; (2)求证:k1k2为定值; (3)求证直线AB恒过定点,并求出该定点.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知 =2,∴p=4, 故抛物线C的标准方程为y2=8x,准线方程为x=-2. (2)证明:设点P的坐标为(-2,t),t∈R, 由题意知过点P与抛物线C相切的直线的斜率存在且不为0, 设切线的斜率为k,则切线的方程为y-t=k(x+2),联立  消去x得ky2-8y+8t+16k=0, 由Δ=(-8)2-4k(8t+16k)=0, 得2k2+tk-2=0(*), 由题意知k1,k2为方程(*)的两根, ∴k1k2=-1,为定值. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)由题知直线AB的斜率不为0, 设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去x, 整理得y2-8my-8n=0,Δ=64m2+32n>0, 则y1+y2=8m,y1y2=-8n, 由(2)知,k1k2= · =-1, 整理得  +(y1-t)(y2-t)=0, 即 (y1y2)2+ [(y1+y2)2-2y1y2]+4+y1y2-t(y1+y2)+t2=0,将y1+y2=8m,y1y2=-8n,代入得n2+16m2+t2-4n-8mt+4=0, ∴(n-2)2+(t-4m)2=0,∴n=2且t=4m,∴直线AB的方程为x= y+2,故直线AB恒过定点(2,0). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026上海松江一中月考]已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的渐近线上的一点到左焦点F1(-2,0)的最短 距离为 . (1)求双曲线C的方程; (2)O为坐标原点,直线x=ty-2与双曲线C的左支交于A,B两点,与渐近线交于C,D两点,A与C在x轴的上方,B 与D在x轴的下方. (i)求实数t的取值范围; (ii)设S1,S2分别为△AOC和△BOD的面积,求S1+S2的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)双曲线C的渐近线的方程为y=± x,设焦距为2c,则c=2, 易知焦点F1(-2,0)到双曲线C的渐近线上的点的最短距离即为点F1(-2,0)到渐近线y=± x, 即bx±ay=0的距离, 所以 = ,即 = , 解得b= ,则a= , 所以双曲线C的方程为 - =1. (2)(i)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消去x得(t2-1)y2-4ty+2=0, 则t2-1≠0,Δ=8t2+8>0,y1+y2= ,y1y2= , 第1讲　描述运动的基本概念 由直线AB与双曲线C的左支交于两点,得y1y2= <0,解得-1<t<1, 所以t的取值范围为(-1,1). (ii)由(i)知|AB|= · = . 原点O到直线AB的距离d= , 设C(x3,y3),D(x4,y4), 联立 得(t+1)y=2, 则y3= ,则x3=- , 则C , 第1讲　描述运动的基本概念 同理得y4= ,则x4= , 则D , 所以|CD|= = , 所以S1+S2=S△COD-S△AOB= |CD|d- ·|AB|d= , 令m= ,m∈[ ,2),则t2= , 则S1+S2= = = ∈(1,4-2 ],所以S1+S2的取值范围为(1,4-2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖南长沙雅礼中学质量检测]已知椭圆E的两个焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),Q为椭圆E的上顶点,△ QF1F2为等腰直角三角形. (1)求椭圆E的标准方程; (2)已知P为椭圆E上一动点,求点P到直线l:3x+4y-12=0的距离的最值; (3)分别过F1,F2作平行直线m,n,若直线m与椭圆E交于A,B两点,直线n与椭圆E交于C,D两点,其中点A,D在 x轴上方,求四边形AF1F2D的面积的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得c=1, 因为点Q为椭圆E的上顶点,△QF1F2为等腰直角三角形, 所以b=c=1,所以a2=b2+c2=2, 故椭圆E的标准方程为 +y2=1. (2)设与直线l:3x+4y-12=0平行且与椭圆E相切的直线的方程为3x+4y+m=0,m≠-12, 联立 消去y得17x2+6mx+m2-16=0,则Δ=36m2-4×17(m2-16)=0,解得m=± , 所以与直线l平行且与椭圆E相切的直线方程为l1:3x+4y+ =0和l2:3x+4y- =0. 直线l与l1间的距离为 , 直线l与l2间的距离为 , 第1讲　描述运动的基本概念 所以点P到直线l:3x+4y-12=0的距离的最大值为 ,最小值为 . (3)由题意可得直线m,n的斜率均不为零,设直线m的方程为x=ty-1, 则直线n的方程为x=ty+1,设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立  消去x,得(t2+2)y2-2ty-1=0, 则y1+y2= ,y1y2=- , 则|AB|= ·  = ·  第1讲　描述运动的基本概念 = , 直线m,n之间的距离d= , 则四边形ABCD的面积S=|AB|d= , 令p= ,p∈[1,+∞),则t2=p2-1,故S= = ,因为p+ ≥2, 当且仅当p= ,即p=1时取等号,所以S= ∈(0,2 ], 由椭圆的对称性可得四边形AF1F2D的面积为 S, S∈(0, ], 所以四边形AF1F2D的面积的取值范围为(0, ]. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　利用新定义“西瓜椭圆”,考查直线与椭圆的位置关系 9.[2025山东临沂部分县区学科素养水平监测]定义离心率e= 的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆C:  + =1(m>4)是“西瓜椭圆”,则m=_________;若“西瓜椭圆”E: + =1(a>b>0)的左焦点为F,直线y=kx 与椭圆E交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过点F,则k=__________.     ±          9     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵椭圆C是“西瓜椭圆”, ∴e= = ,解得m=9. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立  得(b2+a2k2)x2-a2b2=0, 则x1+x2=0,x1x2= , ∴- = ,即 = , ∴ =k2 = , 第1讲　描述运动的基本概念 ∴|OA|2= + = ,O为坐标原点,易知F(-c,0), ∵以线段AB为直径的圆过点F, ∴|OF|2=|OA|2, ∴c2= , ∵e2=1- = ,∴b2= a2, 又c2=a2-b2, ∴k2= ,解得k=± . 第1讲　描述运动的基本概念 $