03-§3 01-3.1 抛物线及其标准方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，从圆锥曲线知识过渡，通过动圆相切、焦点准线关系等实例引入，搭建从定义理解到方程应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合易错题分析、实际应用（如大桥缆悬索模型）和综合题，以数学眼光观察现实问题，用数学思维推理定义转化（如距离和最小值），用数学语言规范解析步骤。实例如第7题大桥抛物线应用，帮助学生提升抽象能力和推理意识，教师可利用分层练习和易错提示优化教学效率。

第二章 圆锥曲线 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　抛物线的定义及其应用 1.[2025江西新余第十六中学月考]已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心 M的轨迹方程为 ( ) A.x2=-12y　　    B.x2=12y　　     C.y2=12x　　    D.y2=-12x     A     解析　设动圆圆心M(x,y),半径为r,由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的 定义可知,M的轨迹是以C(0,-3)为焦点,直线y=3为准线的抛物线,所以 =3,则2p=12,故M的轨迹方程为x2 =-12y. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西宜春中学期中]已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,3)在C上,且|MF|= 2|OF|,则p= ( ) A.2　　    B.3　　    C.4　　    D.8     B     解析　由抛物线定义可知|MF|=x0+ ,|OF|= ,因为|MF|=2|OF|,所以x0+ =p,解得x0= ,则M , 因为M 在C上, 所以9=2p· ,解得p=3(舍负). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[易错题][2026江西赣州十三校期中联考]平面上动点M到定点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3,则动 点M的轨迹方程为____________________________.     y2=12x(x≥0),y=0(x<0)     解析　设M(x,y),由题意得 =3+|x|. 当x≥0时,(x-3)2+y2=(3+x)2, 整理得y2=12x,满足条件; 当x<0时,(x-3)2+y2=(3-x)2, 整理得y=0,满足条件. 综上,当x≥0时,动点M的轨迹方程为y2=12x;当x<0时,动点M的轨迹方程为y=0. 易错警示　由抛物线的定义知,本题可转化为动点M到F的距离等于到直线x=-3或x=3的距离,其中直线 x=3过点F,此时点M的轨迹是一条射线,不是抛物线. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026河南多校期中]已知直线l为抛物线C:x2=8y的准线,P为C上的一个动点,则点P到l的距离与到直 线x+2y+11=0的距离之和的最小值为__________.     3      解析　记C的焦点为F,则F(0,2), 由抛物线的定义知点P到l的距离等于点P到F的距离, 故点P到l的距离与到直线x+2y+11=0的距离之和即为点P到F的距离与到直线x+2y+11=0的距离之和,其 最小值为点F到直线x+2y+11=0的距离,为 =3 . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　抛物线的标准方程及其应用 5.[易错题][2026江西部分校联考]抛物线x=-3y2的准线方程为 ( ) A.x=- 　　    B.x=- 　　     C.x= 　　    D.x=      C     解析　由x=-3y2得y2=- x,则2p= ,解得p= ,所以抛物线x=-3y2的准线方程为x= . 易错警示　求抛物线的准线方程时,务必将抛物线的方程转化为标准形式. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026河南开封高级中学滚动测试]已知抛物线C:4x-my2=0经过点M(-1,2),则抛物线C的焦点坐标为 ( ) A.(0,1)　　    B.(1,0)　　    C.(-1,0)　　    D.(0,-1)     C     解析　∵点M(-1,2)在抛物线C:4x-my2=0上, ∴4×(-1)-4m=0,解得m=-1, ∴抛物线C的标准方程为y2=-4x,焦点坐标为(-1,0). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026陕西咸阳实验中学质量检测]如图1所示的是某大桥鸟瞰图.已知大桥主跨OA的长约为500米,主 塔AB的高约为100米,缆悬索OB是以O为顶点且开口向上的抛物线C的一部分(如图2),若F为抛物线C的 焦点,则主塔端点B到焦点F的距离约为 ( )   A.1 350米　　    B.758米　　    C.725米　　    D.558米     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　以O为原点,直线OA为x轴,过O且与主塔AB平行的直线为y轴,建立平面直角坐标系,连接BF, 则A(500,0),B(500,100), 设抛物线C的方程为x2=2py(p>0), 则5002=2p×100,解得p=1 250, 则抛物线C的焦点为F(0,625),准线方程为y=-625, 由抛物线的定义得|BF|=100+625=725. 故主塔端点B到焦点F的距离约为725米.   第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2025江西华东师范大学上饶实验中学检测]已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点 M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则 ( ) A.y0=4 B.以MF为直径的圆与x轴相切 C.F的坐标为(1,0) D.|OM|=2      AB     解析　抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),故C错误; |MF|=y0+1=5,所以y0=4,故A正确; 把y0=4代入x2=4y,得 =16,故M(4,4)或M(-4,4),所以|OM|= = =4 ,故D错误; 以MF为直径的圆的圆心为 或 ,半径为 ,可知圆心到x轴的距离为 ,等于圆的半径,故以MF 为直径的圆与x轴相切,故B正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026江西赣州安远二中期中]已知抛物线x2=4y的焦点为F,P为抛物线上的一个动点,点M(2,4),则|PM| +|PF|的最小值为_________.     5     解析　抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1, 过M作MN垂直于准线,垂足为N,过点P作PQ垂直于准线,垂足为Q, 因此|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|≥|MN|=4-(-1)=5, 当且仅当M,P,Q三点共线时取等号, 所以|PM|+|PF|的最小值为5. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[教材习题改编]分别根据下列条件,求抛物线的标准方程. (1)准线方程是4y+1=0; (2)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点; (3)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)准线方程4y+1=0可化为y=- , 所以抛物线的焦点在y轴上,开口向上,设标准方程为x2=2py(p>0), 则 = ,所以p= , 所以抛物线的标准方程是x2=y. (2)双曲线的标准方程为 -  =1,左顶点为(-3,0), 所以抛物线的焦点为(-3,0),所以抛物线的开口向左,设标准方程为y2=-2px(p>0),则 =3,所以p=6, 所以抛物线的标准方程是y2=-12x. (3)若抛物线的开口向右,设标准方程为y2=2px(p>0), 当y=-3时,x= , 第1讲　描述运动的基本概念 则|AF|= + =5, 即p2-10p+9=0,解得p=1或p=9, 所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x. 若抛物线的开口向左,设标准方程为y2=-2p'x(p'>0),当y=-3时,x=- , 则|AF|= + =5,解得p'=1或p'=9, 所以抛物线的标准方程为y2=-2x或y2=-18x. 综上可知,抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　抛物线的定义及其标准方程的综合应用 1.[多选题][2026广东部分学校联考]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在C上且位于第一象限, PM⊥l,垂足为M,|PM|=4,则( ) A.准线l的方程为x=-2 B.点F到l的距离为2 C.△PMF是等边三角形 D.直线PF的斜率为1     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得准线l的方程为x=-1,点F到l的距离为2,故A错误,B正确. 因为|PM|=xp+1=4, 所以点P的横坐标为3,则 =4×3=12, 又点P位于第一象限,所以yp=2 , 即P(3,2 ),记l与x轴交于点A, 则|AM|=2 ,|AF|=2, 所以|MF|= =4, 所以|MF|=|PM|=|PF|, 所以△PMF是等边三角形,故C正确. F(1,0),P(3,2 ), 则kPF= = ,所以直线PF的斜率为 ,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026北京大峪中学期中]如图,抛物线W:y2=4x与圆C:(x-1)2+y2=25交于A,B两点,P为劣弧 上不同 于A,B的一个动点,与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q,则△PQC的周长的取值范围是 ( )   A.(10,12)　　    B.(12,14)　　     C.(10,14)　　    D.(9,11)     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(x1,y1),Q(x2,y2). 由题意得圆C的圆心为C(1,0),半径为5,抛物线的准线方程为x=-1,焦点为C(1,0). 由抛物线的定义得|QC|=x2+1, 则△PQC的周长为|QC|+|PQ|+|PC|=x2+1+(x1-x2)+5=6+x1. 联立 得x2+2x-24=0, 解得x=4或x=-6(舍去),则x1∈(4,6), 所以6+x1∈(10,12), 所以△PQC的周长的取值范围是(10,12). 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西南昌中学期中]已知点M(1,-2),点P在抛物线y2=12x上运动,点Q在圆(x-3)2+y2=1上运动,则| PM|+|PQ|的最小值为 ( ) A.2　　    B.3　　    C.4　　    D.5     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　把x=1代入y2=12x,得y2=12>(-2)2, 所以点M(1,-2)在抛物线y2=12x内,圆(x-3)2+y2=1的圆心为C(3,0),半径为1. 易知|PQ|≥|PC|-1,当且仅当P,Q,C三点共线且Q在P,C之间时等号成立, 所以|PM|+|PQ|≥|PM|+|PC|-1, 易得抛物线y2=12x的焦点为C(3,0),准线方程为x=-3,记l:x=-3,过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为P1, 由抛物线的定义得|PC|=|PP1|, 所以|PM|+|PQ|≥|PM|+|PP1|-1, 过M作抛物线的准线的垂线,垂足为M1, 则|PM|+|PP1|≥|MM1|=4, 当M,P,M1三点共线时等号成立, 所以|PM|+|PQ|≥3, 故|PM|+|PQ|的最小值为3. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025河北部分地区期中]已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=3|BF|, AB的中点到y轴的距离为 ,则p的值为 ( ) A.2　　    B.3　　     C.4　　    D.5     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　易知F ,准线l:x=- , 设准线交x轴于点K, 不妨令点A位于第一象限,过A,B分别作AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E, 过B作BG⊥AD于点G,交FK于点H,令|BE|=|BF|=n,则|AD|=|AF|=3n,|AG|=2n,由|FK|=p,知|FH|=p-n, 易知△BFH∽△BAG,则 = , 即 = ,则n= , 设AB的中点为M,过M作MN⊥l于点N, 则|MN|= =2n= = + ,解得p=3. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026江西宜春中学期中]设焦点为F1,F2的椭圆 + =1(a>0)上的一点P也在抛物线y2=x上,抛物线的 焦点为F3,若|PF3|= ,则△PF1F2的面积是__________.     2      解析　不妨设点P在x轴上方, 由题意得F3 , 则|PF3|=xP+ = , 所以xP=2,则P(2, ), 代入椭圆方程得a2=8, 所以c2=a2-b2=8-4=4,则c=2,所以|F1F2|=4, 故 = ×4× =2 . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026四川绵阳中学测试]如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F作斜率为 的直 线与C在第一象限内相交于点P,过点P作PM⊥l于点M,连接MF交C于点N,若 =λ ,则λ的值为______.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　过点N作准线l的垂线,垂足为Q, 则|NF|=|NQ|,PM∥NQ∥x轴, 又|PM|=|PF|,所以∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ. 设直线PF的倾斜角为α, 则α=π-∠PFM-∠MFO=π-2∠MNQ, 所以tan α=-tan 2∠MNQ= = ,即 tan2∠MNQ-4tan∠MNQ- =0, 解得tan∠MNQ= 或tan∠MNQ=- (舍去), 所以|MQ|= |NQ|, 所以|MN|= |NQ|= |NF|, 所以 =  ,故λ= . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025重庆巴蜀中学校期中]已知抛物线C:y2=x的焦点为F,准线与x轴的交点为A,M为抛物线C上一动 点,则 的取值范围是_____________.     [1, ]     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知F ,A , 设M(x0,y0)(x0≥0), 则|MA|= , 由抛物线定义知|MF|=x0+ . 当x0=0时, =1; 当x0>0时, = = =  第1讲　描述运动的基本概念 = = , 因为x0+ ≥2 = , 当且仅当x0= ,即x0= 时,等号成立, 所以 有最大值 , 又当x0+  →+∞时, →1, 所以 ∈(1, ]. 综上所述, 的取值范围是[1, ]. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026江苏南通如东期中]早在一千多年之前,我国已经把溢流孔用于造桥技术,以减轻桥身重量和水 流对桥身的冲击.现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔,桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分,且 4个溢流孔的轮廓线相同.根据图上尺寸,建立平面直角坐标系,则桥拱的轮廓线所在的抛物线的方程为 y=- x2    ,B,C两点的横坐标之差为 　.   第1讲　描述运动的基本概念 解析　设桥拱的轮廓线所在的抛物线的方程为y=ax2(a<0), 由题图知该抛物线过点(20,-5), ∴-5=a×202,解得a=- , 故桥拱的轮廓线所在的抛物线的方程为y=- x2①, 设点A所在溢流孔的轮廓线所在的抛物线的方程为y=a1(x-14)2(a1<0), 由题图知该抛物线过点(20,-5), ∴-5=a1(20-14)2,解得a1=- , 故点A所在溢流孔的轮廓线所在的抛物线的方程为y=- (x-14)2, ∵4个溢流孔的轮廓线相同, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴B,C两点所在溢流孔的轮廓线所在的抛物线的方程为y=- (x-7)2②, 联立①②,消元得- x2=- (x-7)2, 解得x=10或x= , 则B,C两点的横坐标之差为10- = . 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　以空间立体几何为背景考查抛物线的定义 9.[2026河北衡水联考]在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,M为底面 上的动点,且M到PA与BC的距离相等.若|BM|= ,则|AM|=( ) A. 　　    B.2　　    C. 　　    D.      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为PA⊥平面ABCD, 所以点M到直线PA的距离即为|MA|, 所以在平面ABCD中,点M到直线BC的距离与点M到点A的距离相等, 以AB的中点O为原点,AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由抛 物线定义知点M的轨迹是以A(1,0)为焦点的抛物线,则M的轨迹方程为y2=4x, 设M(x0,y0)(0≤x0≤1),易知B(-1,0),A(1,0), 则 所以x0= , 则|AM|= +1= . 第1讲　描述运动的基本概念 $