01-§1 02-1.3 直线的方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“直线的方程”核心内容，涵盖点斜式、斜截式、两点式等多种形式及综合应用。通过具体例题导入，从直线倾斜角、斜率过渡到方程求解，再延伸至面积、截距等实际问题，搭建连贯的知识学习支架。 其亮点在于结合生活情境（如蜡烛燃烧问题）、注重易错点提示（截距为0情况）及多种解法对比（代数与几何法），以数学眼光观察现实、数学思维严谨推理、数学语言规范表达。例如用两点式解决蜡烛燃烧耗时问题，培养学生建模能力与解题严谨性，助力教师丰富教学案例与提升课堂效率。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §1　直线与直线的方程 1.3　直线的方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线方程的点斜式与斜截式 1.[2026江苏镇江重点高中学情调研]已知直线l的倾斜角为60°,且过点(2, ),则l在y轴上的截距为 ( ) A.-1　　    B.- 　　    C.1　　    D.  B     解析　因为l的倾斜角为60°,所以l的斜率为tan 60°= , 又l过点(2, ),故l的方程为y- = (x-2), 令x=0,得y=- ,所以l在y轴上的截距为- . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026天津静海一中月考]直线l:x- y+ =0与y轴交于点P,将l绕点P逆时针旋转105°得到直线l',则直 线l'的方程为 ( ) A.x+y-1=0　　    B.x+y+1=0 C.x+y- =0　　    D. x+y-1=0     A     解析　直线l:x- y+ =0即y= x+1,则直线l的斜率为 ,倾斜角为30°, 则直线l'的倾斜角为30°+105°=135°, 所以直线l'的斜率为tan 135°=-1, 令x=0,得y=1,即P(0,1), 所以直线l'的方程为y=-x+1,即x+y-1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西赣州中学阶段检测]已知直线l的方程为kx-y+2k-2=0(k∈R),若直线l不经过第二象限,则k的 取值范围为 ( ) A.(-∞,1]　　    B.[0,+∞)　　     C.[0,1]　　    D.[1,+∞)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:将直线l的方程化为斜截式为y=kx+2k-2,斜率存在,且直线l与y轴的交点为(0,2k-2). 当k=0时,直线l的方程为y=-2,满足题意; 当k≠0时,若直线l不经过第二象限,则 解得0<k≤1. (限制直线的斜率与直线在y轴上的截距的正负) 综上,k的取值范围为[0,1]. 解法二:将直线l的方程化为点斜式为y+2=k(x+2),所以直线l过定点(-2,-2)(记为P), 作直线l1经过定点P且平行于x轴,直线l2经过定点P和原点O,如图所示,   因为直线l不经过第二象限,所以l1和l2所在位置是符合条件的临界位置, 所以 ≤k≤ ,即0≤k≤1,所以k的取值范围为[0,1]. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[教材习题改编]已知直线l过点A(-2,1),并与两坐标轴截得等腰三角形,那么直线l的方程是( ) A.x-y-1=0或x+y-3=0 B.x-y-1=0或x-y+3=0 C.x+y+1=0或x-y+3=0 D.x+y+1=0或x+y-3=0     C     解析　由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x+2)(k≠0), 令x=0,得y=2k+1, 令y=0,得x=-2- , 则|2k+1|= ,解得k=1或k=- 或k=-1, 当k=- 时,|2k+1|= =0,不合题意,舍去. 故直线l的方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2),即x-y+3=0或x+y+1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025江西宜春赣西外国语学校月考]直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0在同一平面直角坐标系中的 图形有可能是 ( )  　　       　　          B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　直线方程可化为l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a. 对于A,由l1得-a<0,-b>0,即a>0,b<0, 由l2得-b<0,-a<0,即b>0,a>0,显然不成立; 对于B,由l1得-a<0,-b<0,即a>0,b>0, 由l2得-b<0,-a<0,即b>0,a>0,显然成立; 对于C,由l1得-a>0,-b<0,即a<0,b>0, 由l2得-b>0,-a>0,即b<0,a<0,显然不成立; 对于D,由l1得-a>0,-b>0,即a<0,b<0, 由l2得-b<0,-a>0,即b>0,a<0,显然不成立. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线方程的两点式与截距式 6.[创新题·新情境][2026湖北部分高中协作体联考]有一根蜡烛点燃6 min后,蜡烛长为17.4 cm;点燃21 min后,蜡烛长为8.4 cm.已知蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)可以用直线方程表示,则这根蜡烛从点燃 到燃尽共耗时 ( ) A.25 min　　    B.35 min　　     C.40 min　　    D.45 min     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知蜡烛长度l(cm)关于燃烧时间t(min)的函数图象过(6,17.4),(21,8.4)两点. 解法一(两点式):该直线方程为 = ,化简得 = , 则l-17.4=- (t-6), 当蜡烛燃尽,即l=0时,t=35. 故这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min. 解法二(点斜式):直线的斜率k= =- , ∴直线方程为l-8.4=- (t-21),∴当蜡烛燃尽,即l=0时,t=35. 故这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时35 min. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西部分校联考]已知O为坐标原点,直线l过点P(-3,1),且与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交 于点B,则△AOB的面积的最小值为( ) A.12　　    B.3 　　    C.8　　    D.6     D     解析　设A(a,0),B(0,b)(a<0,b>0), 则直线l的方程为 + =1, 将P(-3,1)代入得- + =1, 易得- >0, >0, 则1=- + ≥2 = ,即-ab≥12,当且仅当- = = ,即a=-6,b=2时,等号成立, 所以S△AOB= |a||b|=- ab≥6,则△AOB的面积的最小值为6. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2026江西赣州中学阶段检测]下列说法中正确的是 ( ) A.经过定点P(0,b)的直线的方程都可以表示为y=kx+b B.点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上,则l的方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0 C.不经过原点的直线的方程都可以表示为 + =1 D.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方程都可表示为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)     BD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当直线的倾斜角为90°时,斜率不存在,不能用方程y=kx+b表示,故A错误; 对于B,点P(x0,y0)在直线l:Ax+By+C=0上,则Ax0+By0+C=0,即C=-Ax0-By0, 则Ax+By+C=0可化为Ax+By-Ax0-By0=0,即A(x-x0)+B(y-y0)=0,故B正确; 对于C,直线x=a和y=b不能用 + =1表示(直线方程的截距式不能表示过原点、与x轴平行、与y轴平行 的直线),故C错误; 对于D,当直线P1P2的斜率存在且不为零时,直线P1P2的两点式方程为 = ,即(y-y1)(x2-x1)=(x-x1) (y2-y1), 当直线P1P2⊥x轴时,直线P1P2的方程为x=x1,满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1), 当直线P1P2⊥y轴时,直线P1P2的方程为y=y1,满足(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)(直线方程的两点式 =  与方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2·-y1)并不等价).故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[易错题][多选题][2025河北张家口期中]直线l经过点(1,3),且在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则l 的方程可能是( ) A.3x-y=0　　    B.3x+y=0 C.x+y-4=0　　    D.x-y+2=0     ACD     解析　当l在两坐标轴上的截距均为0时(易错点),直线方程为y=3x,即3x-y=0; 当l在两坐标轴上的截距不为0时,设l的方程为 + =1(a≠0,b≠0), 由题意得 ①或 ② 由①得a=b=4,此时l的方程为 + =1,即x+y-4=0, 由②得a=-2,b=2,此时l的方程为 + =1,即x-y+2=0. 综上,l的方程可能是3x-y=0或x+y-4=0或x-y+2=0. 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示　若题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、互为相反数,或在一坐标轴上的截距是在另 一坐标轴上的截距的m倍(m>0)等条件,则可采用截距式求直线的方程,但一定要考虑截距为0的情况. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026山东临沂第一中学素养监测]已知点A(3,0),B(0,4),直线y=kx+1将△AOB分割成面积相等的两 部分(O为坐标原点),则k=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得,直线y=kx+1过定点P(0,1),S△AOB= |OA||OB|= ×3×4=6. 如图1,当直线y=kx+1与线段OA交于点C时,|OC|∈(0,3], 则S△OPC= |OC||OP|= |OC|∈ ,不合题意. 如图2,当直线y=kx+1与线段AB交于点D时, 由A(3,0),B(0,4)得直线AB的方程为 + =1,即4x+3y-12=0. △PBD中,设BP边上的高为h,则S△PBD= |PB|h= S△AOB=3,即 h=3, 解得h=2,故xD=2. ∵点D在直线4x+3y-12=0上,∴yD= ,即D ,∴k= = .  图1     图2 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西师范大学附属中学素养测试] 已知直线l的方程为(a+1)x-y-3a-1=0,a∈R. (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B,O是坐标原点.若△AOB的面积为16,求a的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当a+1=0,即a=-1时,直线l的方程为y=2,不满足题意; 当a+1≠0,即a≠-1时,令x=0,得y=-3a-1,令y=0,得x= , 由直线l在两坐标轴上的截距相等得 =-3a-1,解得a=-2或a=- , 当a=-2时,直线l的方程为x+y-5=0,当a=- 时,直线l的方程为2x-3y=0. 综上所述,直线l的方程为x+y-5=0或2x-3y=0. (2)由题意知a+1≠0,-3a-1≠0,且l在x轴、y轴上的截距分别为 ,-3a-1, 则A ,B(0,-3a-1),由题意得 解得a<-1, 所以△AOB的面积S= × ×(-3a-1)=- =16,化简得9a2+38a+33=0,解得a=-3或a=- ,均满足条 件,所以a=-3或a=- . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　直线方程的一般式与点法式 12.[教材习题改编]已知直线l经过点P(1,0),且一个法向量n=(2,-1),则l的方程为 ( ) A.x+2y-2=0　　    B.2x-y-2=0 C.x+2y-1=0　　    D.x-2y-1=0     B     解析    l的一个法向量n=(2,-1),且l经过点P(1,0),代入直线的点法式方程得2(x-1)-y=0,即2x-y-2=0. 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2026江西月考]已知直线l的方程为xsin α+ y-1=0,α∈R,则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A. ∪ 　　    B. ∪  C. ∪ 　　    D. ∪      B     解析　将直线l的方程xsin α+ y-1=0,α∈R变形为斜截式为y=- x+ ,故直线l的斜率k=- . 由α∈R,得-1≤sin α≤1, 所以- ≤k≤ . 直线的倾斜角的取值范围为[0,π),结合正切函数的图象可得,l的倾斜角的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2026江苏苏州外国语学校阶段检测]已知直线l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,直线l2的倾斜角为2θ,且直线l 2在y轴上的截距为3,则直线l2的一般式方程为 ( ) A.x+y-3=0　　    B.4x-3y+9=0 C.3x-4y+3=0　　    D.2x+y-3=0     B     解析　∵l1:x-2y-2=0的倾斜角为θ,斜率为 ,∴tan θ= , ∵l2的倾斜角为2θ, ∴l2的斜率为tan 2θ= = , 又l2在y轴上的截距为3,∴l2的方程为y= x+3,即4x-3y+9=0. 第1讲　描述运动的基本概念 15.[多选题][2025江西南昌十九中期中]已知直线l:(2a-3)x+(1-a)y+1=0,则 ( ) A.若a=1,则l的倾斜角为  B.l过定点(1,2) C.若a= ,则l在x轴和y轴上的截距相等 D.若l不经过第二象限,则a<1     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若a=1,则l:-x+1=0,所以l的倾斜角为 ,故A正确; 对于B,(2a-3)x+(1-a)y+1=0可化为(2x-y)a=3x-y-1,由 得 则l过定点(1,2),故B正确; 对于C,若a= ,则l:- x- y+1=0, 令y=0,得x=3,令x=0,得y=3,所以l在x轴和y轴上的截距均为3,故C正确; 对于D,当a=1时,l:-x+1=0,l不过第二象限, 当a≠1时,由B知l过定点(1,2),要使得l不过第二象限,则k= ≥ =2,解得a<1,所以a≤1,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 16.[2026江西赣州实验学校月考]已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R). (1)若方程表示一条直线,求实数m的取值范围; (2)若方程表示的直线的斜率不存在,求实数m的值,并求出此时的直线方程; (3)若方程表示的直线在x轴上的截距为-3,求实数m的值; (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°,求实数m的值. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当x,y的系数不同时为零时,方程表示一条直线, 令m2-2m-3=0,因式分解得(m-3)(m+1)=0,解得m=-1或m=3, 令2m2+m-1=0,因式分解得(2m-1)(m+1)=0,解得m=-1或m= , 所以若方程表示一条直线,则m≠-1,即实数m的取值范围为{m∈R|m≠-1}. (2)当y的系数2m2+m-1=0且x的系数m2-2m-3≠0时,直线的斜率不存在, 由2m2+m-1=0,得m= 或m=-1, 由m2-2m-3≠0,得m≠-1且m≠3,故m= , 此时的直线方程为- x+5=0,即3x-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)若方程表示的直线在x轴上有截距,则x的系数m2-2m-3≠0,即m≠-1且m≠3, 直线在x轴上的截距为-3,即y=0时,x=-3,将其代入方程得-3(m2-2m-3)+6-2m=0,则3m2-4m-15=0,解得m=-  或m=3(舍去), 故实数m的值为- . (4)若直线的倾斜角为45°,则x,y的系数都不为零,则m≠-1且m≠3且m≠ . 由题中方程可知直线的斜率k=- ,则- =1, 则3m2-m-4=0,解得m= 或m=-1(舍), 所以实数m的值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　直线与直线的方程 1.3　直线的方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　直线方程的综合应用 1.[2026广东江门广德实验学校月考]已知线段l的方程是x-y+1=0(-3≤x≤2),则 的取值范围是( ) A. 　　    B.  C. ∪(2,+∞)　　    D. ∪[2,+∞)          D 第1讲　描述运动的基本概念 解析     的几何意义为点(x,y)与点(1,1)连线的斜率,可考虑数形结合. 由题可知x≠1, 令k= ,-3≤x≤2,且x≠1, 记A(-3,-2),B(2,3),Q(1,1),D(0,1),E(1,2), 则k表示线段AB:x-y+1=0(-3≤x≤2)上的点(x,y)(不包括E(1,2))与点Q(1,1)连线的斜率. 由图可知,k≥kBQ= =2,或k<0,或0≤k≤kAQ= = , 所以k≤ 或k≥2, 所以 的取值范围是 ∪[2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026河南新乡联考]已知直线l过点(0,2),且与直线y= x+2及x轴围成等腰三角形,则直线l的方程为  ( ) A. x+y-2=0或 x-3y+6=0 B. x-3y+6=0或3x- y+2 =0 C.x-y+2=0 D. x+y-2=0     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设A(0,2),直线y= x+2,即 x-y+2=0过点A(0,2)和 (记为B). ①如图1,当直线l的斜率小于零时,想要围成等腰三角形,此时直线l的倾斜角为 ,斜率为- ,则直线l的 方程为y=- x+2,即 x+y-2=0; ②如图2,当直线l的斜率大于零时,想要围成等腰三角形,此时直线l的倾斜角为 ,斜率为 ,则直线l的 方程为y= x+2,即 x-3y+6=0.    综上所述,直线l的方程为 x+y-2=0或 x-3y+6=0. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026安徽蚌埠A层高中联考] 已知直线l:-kx+y-1+3k=0(k∈R)过定点Q,则下列说法正确的是 ( ) A.直线l过定点Q(3,1) B.若直线l不经过第四象限,则k的取值范围为[0,+∞) C.若直线l在x轴上的截距为-3,则k=  D.若直线l分别交x轴、y轴正半轴于点A,B,则当  ·  取得最小值时,直线l的方程为x+y-4=0     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,直线l:-kx+y-1+3k=0,即k(-x+3)+(y-1)=0,过定点Q(3,1),故A正确. 对于B,直线l:-kx+y-1+3k=0, 即y=kx+1-3k,∵l不经过第四象限, ∴ 解得0≤k≤ ,故k的取值范围是 ,故B错误. 对于C,易知k≠0时,直线l在x轴上的截距存在,令y=0,得直线l在x轴上的截距为 =-3,解得k= ,故C正确. 对于D,设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,∵A,Q,B三点共线,∴kAQ=kBQ, 即 = ,整理得 + =1,易得 =(3-a,1), =(-3,b-1), 则 · =-3(3-a)+b-1=3a+b-10=(3a+b) -10= + ≥2 =6,当且仅当 = , 即a=b=4时等号成立,∴当 · 取得最小值时,直线l的方程为 + =1,即x+y-4=0,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江西赣州十八县二十四校期中联考]过点(-1,-4)的直线l分别与x轴、y轴交于不同的两点A,B,O 为坐标原点,若存在4条直线l使得△AOB的面积均为m,则m的取值范围是______________.     (8,+∞)     解析　显然直线AB的斜率存在且不为0,设其方程为y+4=k(x+1)(k≠0), 令x=0,得y=k-4,令y=0,得x= -1, 则S△AOB= |k-4| =  , 由题意知关于k的方程  =m, 即8-k- =±2m有四个不同的实数解, 所以k2+(2m-8)k+16=0有两个不等实根,k2-(2m+8)k+16=0有两个不等实根,则  解得m<-8或m>8,又m>0,所以m>8.故m的取值范围为(8,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025河北石家庄期中]已知常数a∈ ,直线l:(2+a)x-(2a+5)y+1=0与x轴、y轴分别交于点A,B,O 为坐标原点,则△ABO的面积取得最小值时直线l的方程为________________.(写成一般式)     x+2y-4=0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于方程(2+a)x-(2a+5)y+1=0,令x=0,得y= ,令y=0,得x=- ,所以A ,B , 故S△ABO= |OA||OB| =  = · , 因为a∈ ,所以2a+5>0,a+2<0, 故S△ABO=- · , 设f(a)=(a+2)(2a+5)=2a2+9a+10,a∈ , f(a)在 上单调递减,在 上单调递增,故f(a)在a=- 时取得最小值, 此时S△ABO取得最小值,故直线l的方程为 x- y+1=0,即x+2y-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 6.已知t∈(0,5],由t确定两个点P(t,t),Q(10-t,0). (1)写出直线PQ的方程; (2)如图,在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若|OA|=a,当正方形ABCD 的面积最大时,求a,t的值.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令t=10-t,得t=5,此时直线PQ的方程为x=5, 当t≠5时,直线PQ的方程为y-t= ·(x-t),即tx+(10-2t)y+t2-10t=0. (2)由P(t,t)和四边形ABCD为正方形可知|OA|=|AD|=|AB|, 则A(a,0),B(2a,0),C(2a,a), 因为点C(2a,a)在直线PQ上, 所以2at+(10-2t)a+t2-10t=0, 所以a= t(10-t)=- (t-5)2+ ,0<t≤5, 要使正方形ABCD的面积最大,只需a的值最大, 易知当t=5时,amax= ,此时正方形ABCD的面积最大. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026湖北武汉第六中学月考]已知一条动直线的方程为3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0. (1)求直线恒过的定点P的坐标; (2)直线与x轴、y轴的正半轴分别交于点M,N,O为坐标原点,是否存在直线满足下列条件:①△MON的周 长为12;②△MON的面积为6,若存在,求出方程;若不存在,请说明理由; (3)直线与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,当|PA|+ |PB|取得最小值时,求直线的方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)直线方程3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0,可化为3mx+3x+my-y-6m-2=0,即(3x+y-6)m+3x-y-2=0, 由 解得  故直线过定点P . (2)依题意设直线方程为 + =1(a>0,b>0),则M(a,0),N(0,b), 则 解得 或  将P 代入直线方程得 + =1(*), 经验证 不满足(*)式, 满足(*)式, 第1讲　描述运动的基本概念 所以存在直线 + =1, 即3x+4y-12=0满足条件. (3)由(1)知直线过定点P ,若直线与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B,则直线的倾斜角α∈ , 易得|PA|= ,|PB|=- , 则|PA|+ |PB|= + × = - =2× , 令t=cos α-sin α= cos , 因为α∈ ,所以α+ ∈ ,则cos ∈ , 所以t= cos ∈[- ,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 |PA|+ |PB|=2× = ,t∈[- ,-1), 因为y= -t在[- ,-1)上单调递减, 所以y= 在[- ,-1)上单调递增, 故当t=- ,即α= 时,|PA|+ |PB|取得最小值,为 =4 . 此时直线方程为y-2=tan × ,即3x+3y-10=0. 第1讲　描述运动的基本概念 $