15.3.2 等边三角形第二课时 学历案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学学历案聚焦含30°角直角三角形性质及综合应用，通过分割等边三角形引入，引导学生动手猜想边长规律，借助倍长线段等辅助线构造严谨证明定理，结合屋架设计等实例实现综合应用。 资料亮点在于以几何直观为起点，通过对折等边三角形让学生发现规律培养数学眼光，用两种证法突破辅助线构造难点发展逻辑推理能力，结合生活应用题和分层作业，既落实数学建模又兼顾学生差异，体现学生主体与教师引导的统一。

第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形 两课时学历案 教材：人教 2024 版八年级上册 P82-P83 课时：2 课时（40 分钟 / 课时） 课型：新授课 第 2 课时 含 30°角的直角三角形性质及综合应用 一、学情分析 学生已掌握等边三角形完整性质与判定。本节课通过分割等边三角形得到特殊直角三角形，是几何图形转化的经典范例。 学生难点： 1. 想不到 “倍长线段” 的辅助线构造思路； 2. 做题遗漏 “直角三角形” 前置条件； 3. 不会综合运用等边 + 30° 直角三角形模型解题。 二、学习目标 1. 几何直观：通过分割等边三角形，直观发现 30°直角三角形边长规律。 2. 逻辑推理：掌握倍长构造法，严谨证明核心定理。 3. 数学建模：掌握中考必考模型 ——30°直角三角形边长关系。 4. 综合应用：能结合等边三角形、平行线、直角三角形解决实际问题与几何证明。 三、学习重难点 重点：含 30° 角直角三角形的性质定理及应用 难点：辅助线构造、定理前提辨析、综合题型建模 四、教学流程 环节一：图形再生・递进导入（3分钟） 师：将一个等边三角形沿对称轴对折，会得到什么特殊三角形？ 生：含 30°、60° 的直角三角形。 师：等边三角形的对称性质，会赋予这类直角三角形独一无二的边长规律，这是本节课的核心探究内容。 环节二：动手猜想・定理生成（6分钟） 学生测量、对比、猜想 将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，得到什么猜想吗？ 猜想：在 Rt△中，30°锐角所对的直角边最短，长度为斜边的一半。 环节三：构造证明・突破难点（15分钟） 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC =AB． 证法一：延长BC 到D，使BC =CD，连接AD， ∵∠C=90° ∴AC⊥BD ∵BC=CD ∴AB=AD 在△ABC 中， ∵∠C=90°，∠A =30°, ∴∠B =60°． 则△ABD 是等边三角形． ∴AB=BD=AD ∵BC=CD ∴BC =AB. 证法二：如图，在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵∠B=60°，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴∠BEC=60°，BE=EC. ∵∠A= 30°， ∴∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°= 30°. ∴AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴AB=AE+BE=2BC. ∴BC=AB. 辅助线高阶思路 要证 “短边 = 长边一半”，转化思想： ①倍长短边，构造等边三角形 步骤： 1. 延长 BC 至 D，使 CD=BC 2. 连接 AD，由∠B=60°，故△BCE是等边三角形 3. ∠B=60°，故△ABD 为等边三角形 4. ②截取长边，构造等边三角形 步骤： 1. 在BA上截取BE=BC. 2. 连接EC，由垂直平分线性质得 AB=AD 3. ∠A=30°，得∠ECA= 30° 4. AE=EC ， AB=AE+BE=2BC 得到 结论 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言 ∵∠C=90°，∠A=30° ∴ 严谨条件辨析 必须同时具备：①直角三角形 ②一个锐角 30°，缺一不可，非直角三角形不成立！ 环节四：典例应用・生活建模（10分钟） 课本例 5 屋架应用题 例 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.求立柱BC，DE的长． 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD. ∴BC＝×7.4＝3.7(m)． 又AD＝AB， ∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)． 答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m. 结合工程实际，规范几何计算步骤，强调： 1. 先判定直角、30°角 2. 再代入定理计算 3. 步骤完整、逻辑清晰 拓展综合模型 等边三角形 + 高 → 生成两个全等的 30°直角三角形 所有等边三角形高线计算，均可使用本定理。 环节五：当堂检测（4分钟） 1. 在Rt△中，30°角的对边是5，则斜边= 。 2. 在Rt△中，斜边12，则 30°角的对边= 。 3. 综合小题：等边三角形边长是10，求高。 七、课堂小结（2分钟） 1. 一个核心定理：30°直角边 = 斜边一半 2. 一种核心方法：倍长构造、补形等边 3. 一组图形关系：等边对折→特殊直角三角形 4. 思想：图形分割、转化建模、数形结合 八、分层作业 基础：课本习题 拔高：含等边 + 30°直角三角形综合证明题 九、板书设计 15.3.2 等边三角形（二） 1、含 30°角直角三角形性质 Rt△、30°锐角 2、30°角对的直角边 = 斜边的一半 证明思想：倍长线段 → 构造等边三角形 模型：等边三角形折叠 → 生成 30°直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $