5.2《二次函数的图象》第3课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²的图象，涵盖画法、平移规律及性质。通过情境启航观察抛物线顶点移动，联系y=ax²，问题构建中以追问和验证（如y=2x²右移1个单位得y=2(x-1)²）搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以问题链驱动探究，通过点的平移验证、表格总结性质培养推理意识和模型意识，如教师示范合并平移量简化问题，巩固拓展用对称轴比较函数值。帮助学生提升几何直观和逻辑思维，为教师提供结构化教学流程和分层练习设计。

第五章 二次函数 第2课 二次函数的图象 新版北师大数学九年级上册 第3课时 的图象 学习目标 1.经历列表、描点、连线的完整过程,会画二次函数y=a(x-h)²的图象. 2.通过对比y=a(x-h)²与y=ax²的图象,能准确说出两个图象的平移关系,总结出基本的平移规律. 3.通过观察、分析y=a(x-h)²的图象,能准确说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性等基本性质. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 右图是我们前面课程学习过的抛物线,请大家仔细观察,如果我把这个图形的底座（顶点）左右移动,你们猜猜它的形状会发生改变吗？ 在这个变化过程中,二次函数图象的基本信息，哪些变了？哪些没变呢？让我们开始本节课的探索之旅 问题构建 问题1:不看图象,说出二次函数y=2x²的图象有哪些基本性质？ 开口向上,对称轴是y轴（直线x=0）,顶点坐标是(0,0).当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大,当x=0时,y有最小值0. 追问1:如果我们想把这条抛物线整体向右移动1个单位,那么图象上的每一个点会发生什么变化？请举一个具体的点来说明. 问题构建 x -2 -1 0 1 2 8 2 0 2 8 左右平移时:纵坐标不变，横坐标变化 变化 +1 +1 +1 +1 +1 x -1 0 1 2 3 8 2 0 2 8 追问2:平移的过程中,抛物线的开口方向和开口大小是否发生变化？由此你能确定a的值吗？ 开口方向和开口大小都不变，所以a=2. 问题构建 追问3:小明通过对刚才表格中数据变化的观察,认为新的抛物线表达式应该是的观点吗？说说你的理由. 不同意. 把新抛物线顶点坐标(1,0)代入右边=0,左边=8,左边≠右边,等式不成立. 追问4:再换几个点试试,是否都不成立呢？ 我们代入剩下的4个点,发现(-1,8)，(2,2)，(3,8)都不成立,只有(0,2)成立,可见小明的猜想是错误的. 追问5:根据以上判断,给出新的猜想,新抛物线表达式应该是怎样的？ 问题构建 追问6:你打算怎样验证你的猜想？动手试一试吧？ 把刚才取值的5个点(-1,8)，(2,2)，(3,8)，(1,0)，(0,2)分别代入，太神奇了！结果都是对的！ 追问7:回顾在平面直角坐标系中学习过的点的左右平移，具有怎样的规律特征？ 把点向左平移m个单位，横坐标减m，纵坐标不变； 把点向右平移m个单位，横坐标加m，纵坐标不变. 追问8:将二次函数向右平移1个单位,得到，你认为横坐标的变化规律与你在坐标系中学习过的平移规律是矛盾的吗？请大家思考并进行交流, 问题构建 从数形结合的角度： 将抛物线向右平移m个单位后，横坐标增加了m，由于纵坐标没有变化，为了保持这个不变，需要将横坐标增加的m在新抛物线中减掉. 将抛物线向左平移m个单位后，横坐标减少了m，由于纵坐标没有变化，为了保持这个不变，需要将横坐标减少的m在新抛物线中加上. 追问9:根据刚才的思考，你能尝试总结下你得到的猜想吗？你打算如何去验证你的猜想？ 二次函数图象的平移法则：左加右减 验证猜想:再画几组图观察 问题构建 问题2:观察下列几组二次函数图象的左右平移，完成下面的填空题. 将 自变量从( )变成了( ) 将 自变量从( )变成了( ) 将 自变量从( )变成了( ) 协作破冰 问题3:结合图象,说出二次函数y=2(x+1)²的图象有哪些基本性质？ 开口向上,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0).当x<-1时,y随x的增大而减小;当x＞-1时,y随x的增大而增大,当x=-1时,y有最小值0. 追问:对比函数的图象，哪些性质变了，哪些没变？ 开口方向和大小不变 对称轴、增减性、最小值都发生了变化. 协作破冰 问题4:思考本节课研究的二次函数，你能总结出它的图象的一般性质特征吗？ 当a＞0时 当a＜0时 开口方向 向上 向下 对称轴方程 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h,0) (h,0) 增减性 当x＞h时，y的值随x值的增大而增大；当x＜h时，y的值随x值的增大而减小 当x＞h时，y的值随x值的增大而减小；当x＜h时，y的值随x值的增大而增大 最值 当x=h时，有最小值0 当x=h时，有最大值0 教师示范 问题5:如果一个抛物线向右平移2个单位后,得到的函数关系式是y=3(x-1)²,那么原来的抛物线的函数关系式是什么？ y=3(x+1)² 追问1:你是怎样得出这个答案的呢？ 平移后的抛物线向左平移2个单位就得到原抛物线.根据“左加右减”,向左平移2个单位,x变成x+2,所以原函数是y=3[(x+2)-1]²=3(x+1)² 追问2:如果一个抛物线向左平移3个单位后，得到的函数关系式是 y=-2(x+1)²,那么原来的抛物线的函数关系式是什么？ y=-2(x-2)² 教师示范 问题6:将抛物线y=2x²先向左平移3个单位,再向右平移5个单位,得到的抛物线的函数关系式是什么？ 向左平移3个单位： y=2(x+3)² 再向右平移5个单位： y=2[(x-5)+3]² =2(x-2)² 追问:你还有别的解决方法吗？ 合并平移量. 先左移3个单位,再右移5个单位，相当于整体向右平移了5-3=2个单位,所以直接得到y=2(x-2)². 巩固拓展 问题7:已知点(4,12)在抛物线y=3(x-2)²上，你能得出它关于对称轴对称的点的坐标吗？ 解：把y=12代入y=3(x-2)²得： 3(x-2)²=12 (x-2)²=4 x-2=±2 ，所以对称点坐标为(0,12) 追问1:你还有别的方法解决这个问题吗？ 该抛物线的对称轴为直线x=2，所以对称的两个点横坐标关于该直线对称，即横坐标4关于直线x=2的对称点横坐标为0，也可以得出答案,此方法更加简便. 巩固拓展 追问2：已知抛物线y=3(x-2)²上有两点A(-3,y₁)、B(6,y₂)，判断y₁和y₂的大小关系. 当x=-3时,y₁=3×25=75；当x=6时, y₂=3×16=48 所以y₁＞y₂ 追问3:上一个问题中，如果不做计算，你能得出结果吗？你的方法是什么？ x=-3离对称轴直线x=2有5个单位长度，x=6离对称轴直线x=2有4个单位长度，开口向上，离对称轴越近值越小. y=a(x-h)²的顶点在对称轴上,是整段抛物线的最高点或最低点,所以越靠近对称轴,函数值越接近最值. 当堂检测 1.将二次函数y=3x²的图象向右平移2个单位，得到的图象对应的函数关系式是（ ） y=3x²+2 B. y=3x²-2 C. y=3(x+2)² D. y=3(x-2)² D 根据“左加右减”的平移规律,向右平移2 个单位,x变成x-2,所以函数关系式是y=3(x-2)² 当堂检测 2.二次函数y=-2(x+3)² 的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标是______，当 x______时，y 随 x 的增大而增大. 向下，直线x=-3，(-3,0)，<-3 当堂检测 3.已知二次函数y=a(x-h)²的图象经过点 (1,2)和(3,2),顶点在x轴上 (1)求这个二次函数的关系式； (2)说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标 (1)因为图象经过点(1,2)和(3,2),这两个点的纵坐标相同,所以对称轴是直线x=(1+3)/2=2，即h=2.又因为顶点在x轴上,所以顶点坐标是(2,0),函数关系式为y=a(x-2)² 把点(1,2)代入得：2=a(1-2)²，解得a=2. 所以函数关系式是y=2(x-2)² (2)开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,0) 反思总结 1.今天我们学习了抛物线的左右平移规律,你能用一句话准确描述“左加右减”的含义吗？ 2.二次函数y=a(x-h)²和y=ax²的图象相比,哪些性质没有改变？哪些性质发生了改变？ 3.在画y=a(x-h)²的图象时,除了列表描点连线,还有什么更简便的方法？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第134页 第1题 二、素养类作业 尝试自主探究一般形式的二次函数图象的特征. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $