1.2一定是直角三角形吗 教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理逆定理及勾股数概念，通过复习直角三角形边的平方关系，提出逆向问题，搭建“正逆互推”思维支架，衔接勾股定理旧知与逆定理新知。 资料亮点在于“合作探究”让学生画图验证勾股数三角形，培养几何直观与归纳推理能力，巩固练习结合零件判断、轮船航行等实际问题，体现模型意识。助力学生发展逆向思维与创新意识，为教师提供结构清晰、重点突出的教学方案。

§1.2 一定是直角三角形吗 课时：1课时 年级：八年级 教师： 日期：________ 一、教学目的 （知识与技能）理解勾股定理的逆定理，能运用其判断一个三角形是否为直角三角形；了解勾股数的概念。 （过程与方法）通过画图验证、归纳推理，经历勾股定理逆定理的发现过程，培养逆向思维能力。 （情感态度与价值观）感受数学中“正逆互推”的逻辑美，增强学习数学的信心和兴趣。 二、教学重点 勾股定理逆定理的内容及应用；勾股数的概念。 三、教学难点 勾股定理逆定理的理解与证明思路；灵活运用逆定理判断三角形形状。 四、教学过程 【环节一：导入新课】（约5分钟） 复习引入： 1. 在直角三角形中，三条边长度之间满足什么样的关系？ 答：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a²＋b²＝c²。 2. 在直角三角形中（如图1、图2所示），已知两条边的长度，利用勾股定理求出第三条边的长度。 提出问题：在一个直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。反过来，如果一个三角形中有两条边长度的平方和等于第三条边长度的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？ 【环节二：新课讲授】（约25分钟） 合作探究 思考·交流： 下面的每组数分别是一个三角形三条边的长度a，b，c，而且都满足a²＋b²＝c²： 3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41。 分别以每组数为三条边的长度画出三角形，它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴进行交流。 结论：如果三角形三条边的长度a，b，c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。 满足a²＋b²＝c²的三个正整数，称为勾股数。例如3，4，5；8，15，17等都是勾股数。 填写下表： 已知 结论 图形 一个直角三角形的三条边长度分别为a，b，c（c为斜边） 三边满足：a²＋b²＝c² 一个三角形的三条边长度分别为a，b，c且满足a²＋b²＝c² 这个三角形是以c为斜边的直角三角形 提出问题：你有哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？ 【环节三：巩固练习】（约10分钟） 小试牛刀 1. 下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。 ① 9，12，15；② 12，18，22；③ 12，35，36；④ 15，36，39。 解：①④两组数据能作为直角三角形的三边长。 ①因为9²＋12²＝81＋144＝225＝15²，所以9，12，15能作为直角三角形的三边长； ②因为12²＋18²＝144＋324＝468≠22²，所以12，18，22不能作为直角三角形的三边长； ③因为12²＋35²＝144＋1225＝1369≠36²，所以12，35，36不能作为直角三角形的三边长； ④因为15²＋36²＝225＋1296＝1521＝39²，所以15，36，39能作为直角三角形的三边长。 2. 将直角三角形的三条边的长度扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）。 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 答案：A 3. 下列各组数是勾股数的是（ ）。 A. ，， B. 1，2，3 C. 0.3，0.4，0.5 D. 9，40，41 答案：D 典例分析 例题：一个零件的形状如图3所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如图4所示（单位：cm），这个零件符合要求吗？ 分析：图中给的是三角形三边之间的关系，故考虑通过计算，来确定形状。 图3 图4 解：在△ABD中，AB²＋AD²＝9＋16＝25＝BD²， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角。 在△BCD中，BD²＋BC²＝25＋144＝169＝CD²， 所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角。 因此，这个零件符合要求。 练习 1. 如图5，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，图中共有几个直角三角形？你是如何判断的？ 解：共有4个直角三角形，它们分别是Rt△ABE，Rt△DEF，Rt△BCF，Rt△BEF。 理由：因为四边形ABCD是正方形， 所以∠A＝∠D＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝4。 所以△ABE，△BCF，△DEF是直角三角形。 因为AE＝2，DF＝1， 所以ED＝AD－AE＝4－2＝2，CF＝CD－DF＝4－1＝3。 在Rt△ABE中，BE²＝AB²＋AE²＝16＋4＝20； 在Rt△DEF中，EF²＝DE²＋DF²＝4＋1＝5； 在Rt△BCF中，BF²＝BC²＋CF²＝16＋9＝25； 在△BEF中，BE²＋EF²＝20＋5＝25＝BF²， 所以△BEF是直角三角形，且∠BEF是直角。 2. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿哪个方向航行？ 解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30。 在△PQR中，PQ²＋PR²＝24²＋18²＝576＋324＝900＝30²， 即PQ²＋PR²＝QR²。 所以△PQR是直角三角形，且∠RPQ＝90°。 又因为“远航”号沿东北方向航行， 可知∠QPN＝45°， 所以∠RPN＝45°。 因此，“海天”号可沿西北方向航行，也可沿 东南方向航行。 五、教学小结 回顾·反思： 六、作业 必做：教材习题1.2 第1，2，3，4，5题。 选做：你还能找出哪些勾股数呢？这些勾股数有着怎样的规律呢？请同学们尝试探索。 预习：下一节“勾股定理的应用”。 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $