1.3勾股定理的应用 教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦勾股定理的实际应用，通过装修工人检测瓷砖垂直的情境导入，先回顾勾股定理逆定理，引导学生将实际问题转化为直角三角形模型，搭建从理论到应用的学习支架。 特色在于融合数学建模与文化浸润，折叠问题培养数学思维，引用《九章算术》芦苇问题渗透文化，巩固练习中的云梯、秋千问题强化数学语言表达，提升学生分析能力，为教师提供情境化、结构化的教学方案。

§1.3 勾股定理的应用 课时：1课时 年级：八年级 教师： 日期：________ 一、教学目的 （知识与技能）能运用勾股定理解决生活中的实际问题，如检验直角、求最短距离、折叠问题等。 （过程与方法）通过将实际问题转化为直角三角形模型，体会建模思想，提高分析和解决问题的能力。 （情感态度与价值观）感受中国古代数学经典《九章算术》的魅力，体会数学与生活的密切联系。 二、教学重点 运用勾股定理解决实际应用问题；将实际问题抽象为直角三角形模型。 三、教学难点 折叠问题中等量关系的寻找；实际问题中直角三角形的构造与建模。 四、教学过程 【环节一：导入新课】（约5分钟） 情境引入：装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图1）的边AD和边BC是否分别垂直于边AB。 活动内容： （1）如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔测得边AD长30 cm，边AB长40 cm，点B，D之间的距离是50 cm。边AD垂直于边AB吗？ （3）如果李叔叔随身只带了一把长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？ 【环节二：新课讲授】（约25分钟） 总结归纳 判断一个三角形为直角三角形的方法： ① 如果三角形三个内角中有一个角为90°， 那么这个三角形是直角三角形； ② 如果三角形三条边的长度a，b，c满足a²＋b²＝c²， 那么这个三角形是直角三角形。 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a²＋b²＝c²。 合作探究，解决问题 尝试·思考：如图2，正方形纸片ABCD的边长为8 cm，点E是边AD的中点，将这张正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F。你能求出DF的长吗？ 请同学们观察折叠前后，哪些边和角有特殊的数量关系。 边：AB＝BC＝CD＝DA＝8 cm，AE＝DE＝4 cm，CF＝EF。 角：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠C＝∠FEH＝90°， ∠B＝∠H＝90°。 解：设DF的长为x cm，则CF的长为(8－x) cm。 由于CF＝EF，所以EF的长为(8－x) cm。 在Rt△EDF中，由勾股定理， 可得DF²＋DE²＝EF²，即x²＋4²＝(8－x)²。 解得x＝3。因此，DF的长为3 cm。 典例分析，应用知识 例：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问：水深、葭长各几何？（选自《九章算术》，1丈＝10尺） 题目大意：有一个水池，水面是一个边长为1丈 的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出 水面1尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的 顶端恰好到达岸边的水面。这个水池的深度和这根芦 苇的长度各是多少？ 读一读，理解题目大意，你能自己尝试画出平面图形，并把已知量和未知量表示在图上吗？ 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x＋1)尺。由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺。 在Rt△OAC中，由勾股定理，可得AC²＋OA²＝OC²， 即5²＋x²＝(x＋1)²。 解得x＝12。12＋1＝13。 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺。 【环节三：巩固练习】（约10分钟） 解题反思，感受策略 1. 五根小木棒的长度分别是7 cm，15 cm，20 cm，24 cm，25 cm，现将它们摆成两个直角三角形，如图4所示的三个图形中哪个是正确的？ 图4 答：正确的是图（2）。 2. 如图5，一座城墙高11.7 m，墙外有一条护城河，在护城河外距离城墙根9 m处架一架长为15 m的云梯，该云梯能否抵达城墙的顶端？为什么？ 解：设该云梯能达到城墙顶端的高度为x m。 由勾股定理，可得x²＋9²＝15²。 解得x＝12。 因为城墙的高度为11.7 m，12 m＞11.7 m。 因此，该云梯可以抵达城墙的顶端。 3. 如图6，当秋千OA静止的时候，踏板距离地面的竖直高度为1尺（即AC＝1尺），将秋千往前推动两步（这里“两步”在古代计量中，一步约为5尺，所以EB＝10尺）后，此时踏板距离地面的竖直高度增加到5尺（即BD＝5尺）， 求秋千绳索OA（或OB）的长度。 解：设秋千绳索的长度OA为x尺，则OB为x尺。 因为EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， 所以EA＝EC－AC＝5－1＝4尺，OE＝OA－EA＝(x－4)尺。 在Rt△OEB中，∠OEB＝90°，OE＝x－4，OB＝x，EB＝10。 由勾股定理，可得OB²＝OE²＋EB²， 即x²＝(x－4)²＋10²。 解得x＝14.5。 因此，秋千绳索OA或OB的长度为14.5尺。 五、教学小结 反思小结，强化策略：本节课的学习，你学习到了什么？你如何学到的？ 小结：本节课通过将实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决问题。关键步骤：①理解题意，画出示意图；②标注已知量和未知量；③构造直角三角形；④应用勾股定理列方程求解。 六、作业 必做：习题1.3第1，2，3题。 选做：实践作业。问题：你能设法测量学校操场上旗杆的高度吗？工具：旗杆、旗杆上的绳子（长度可变化）和卷尺。方案：4人一组进行合作探究，将旗杆上的绳子拉直，使绳子底端与旗杆底端在同一地面上（其他小组可以改变绳子的长度），测量绳子比旗杆多出的长度，以及绳子拉直后底端与旗杆底端的距离。 预习：复习本章内容，准备单元复习。 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $