专题03 反比例函数压轴（压轴题专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以解题通法为核心，通过题型归纳与压轴挑战构建反比例函数压轴题的系统性方法体系，强化几何直观与代数推理的融合，培养模型观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|5大核心方法|设点技巧、联立求交点、面积计算（k几何意义/割补法）、几何条件代数翻译、答案检验三步法|从基础概念（k意义）到解题工具（代数化），形成问题解决闭环| |题型归纳|5题型（每题型含典例+变式）|面积求k值（基础/中点模型）、函数综合（解析式/面积/不等式）、存在性问题（平行四边形/等腰三角形）、特殊图形综合（矩形/菱形）、几何变换（旋转/平移）|按中考难度梯度递进，从单一知识点到多模块综合，强化知识迁移| |压轴挑战|综合题（选择7+填空3+解答11）|复杂图形面积计算、动态存在性论证、跨模块综合应用|对接中考命题趋势，突出高频考点与难点突破，培养批判性思维|

专题03 反比例函数压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用面积求k值（选择、填空压轴高频） 题型二、反比例与一次函数综合（大题必考） 题型三、反比例函数存在性问题（压轴重难点） 题型四、反比例与特殊几何图形综合（矩形、正方形、菱形） 题型五、几何变换与反比例综合（压轴难点） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 设点技巧（压轴核心技巧） 双曲线上动点常设：P，仅用1个参数t表示横纵坐标，大幅简化计算、减少未知数。 一次函数上动点常设：P(t,kt+b)，适配所有直线动点题型。 2. 求交点核心：联立方程组 联立反比例与一次函数解析式： 联立方程组：消去y整理为一元二次方程，求解横坐标后回代解析式，即可得完整交点坐标；过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点中心对称，即A()、B()，可直接秒杀对称类题型。 3. 面积计算两套核心工具 k几何意义：双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积S=|k|，围成直角三角形面积S=|k|；面积恒为非负数，求解k必须结合图像象限判断正负。 割补法/铅垂高水平宽：针对不规则三角形、四边形，通过拆分、补全为坐标轴规则图形，用面积和差求解，规避复杂几何推导。 4. 几何条件代数翻译（压轴解题关键） 线段相等：利用距离公式（取平方去根号，简化计算）； 四点构成平行四边形：对角线中点坐标重合（最简解题通法）； 三角形为等腰三角形：三边两两相等，分三类完整讨论。 5. 答案检验三步法（规避扣分） 求出坐标后务必校验：①代入函数解析式验证成立；②匹配题目给定象限范围；③舍去增根、分母为0的无效解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用面积求k值（选择、填空压轴高频） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A． B．6 C． D．9 【典例2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．4 【典例3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 题型模版 1.基础模型：单点向坐标轴作垂线，矩形面积S=|k|，直角三角形面积S=|k|； 2.中点模型：若线段中点在坐标轴上或两点共双曲线，利用坐标倍数关系建立等式求解。 【变式1-1】．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式1-2】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知A，B两点在双曲线上，A、B两点关于O点对称，垂直于y轴于C点，若的面积为6，则_______． 【变式1-3】．（24-25九年级上·安徽池州·阶段检测）如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 【变式1-4】．在平面坐标系中摆放如图，顶点A在x轴上，，轴，双曲线经过C点及的中点D，，求k的值．    题型二、反比例与一次函数综合（大题必考） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【典例5】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【典例6】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式． (2)若P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 题型模版 题型固定考法：①求两个函数解析式；②求三角形面积；③求解函数不等式解集。 【变式2-1】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图象上的一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)_____，_____． (2)当时，求的面积． 【变式2-2】．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线：与反比例函数图象相交于点和点，直线与x轴，y轴分别交于点C，点D． (1)求m，，的值； (2)不等式的解集． 【变式2-3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A点的纵坐标为6． (1)求k的值及B点坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【变式2-4】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)结合图象直接写出的解集． (3)在轴上取一点，当取得最大值时，求出点的坐标． 题型三、反比例函数存在性问题（压轴重难点） 【典例7】．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过点和．反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)若直线交x轴于，交y轴于，点为反比例函数的图象上一点，过作轴的平行线交直线于，过作轴的平行线交直线于，请问：在该反比例函数图像上是否存在点，使?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例8】．如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为． (1)求，的值： (2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由． 【典例9】．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 高频考法：是否存在动点P，使四点构成平行四边形、三点构成等腰/直角三角形。 【变式3-1】．（2025九年级上·安徽芜湖·期末）如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9． （1）求一次函数解析式； （2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标； （3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3-2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）我们规定：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“两倍点”，若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”．如点和都是“两倍点”，一次函数的图象上存在点，所以一次函数是“两倍函数”．请根据这个新定义解决下列问题： (1)下列说法正确的是（    ） A．所有一次函数(是常数，且)的图象上都存在“两倍点” B．所有反比例函数都是“两倍函数” C．二次函数的图象上一定有两个不同的“两倍点” (2)已知函数（t是常数），若该函数图象上有唯一的“两倍点”，求的值； (3)一次函数与反比例函数的图象交于点，点是线段的中点，求证：点是“两倍点”． 【变式3-3】．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 (1)当时，函数有最_____值为_____，此时_____． (2)已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． (3)如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 题型四、反比例与特殊几何图形综合（矩形、正方形、菱形） 【典例10】．如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，，以为斜边作等腰直角，边交反比例函数的图象于点，的延长线交反比例函数的图象于点，若． (1)求的值； (2)求的长． 【典例11】．如图，将等腰直角三角板的直角顶点放在坐标系的处，锐角顶点和恰好都落在反比例函数第二象限图象上． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求四边形的面积． 【典例12】．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． (1)求经过点A的反比例函数的表达式； (2)若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 题型模版 1.题型特征：正方形、矩形、菱形顶点落在双曲线上，已知边长、面积，求k值或顶点坐标。 2.经典模型：矩形两边平行于坐标轴，顶点共双曲线，直接通过坐标乘积等量关系快速求解。 【变式4-1】．如图，是边长为的等边三角形，线段在轴上，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标及反比例函数的解析式； (2)若这个反比例函数图像上有两个点，，且，请比较和的大小． 【变式4-2】．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点的坐标为．一次函数的图象经过点，，反比例函数的图象也经过点． (1)求反比例函数的关系式； (2)直接写出的解集． 【变式4-3】．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形． (1)求和的值； (2)设点是直线上一动点，且，求点的坐标． 题型五、几何变换与反比例综合（压轴难点） 【典例13】．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【典例14】．如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长． 【典例15】．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【典例16】．如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积． 题型模版 题型特征：点、图形经过折叠、平移后，落点在双曲线上，求k值或坐标参数。 【变式5-1】．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求一次函数和反比例函数解析式． (2)若将点沿轴向下平移个单位长度至点，连接、，求的面积． 【变式5-2】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【变式5-3】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，连接，，，过点作轴，垂足为点，交于点，且为中点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数的图象是否存在一点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-4】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出一次函数大于反比例函数时，自变量的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2025·安徽宿州·三模）如图，点在双曲线上，连接，点是的中点，作轴，垂足为，的反向延长线交双曲线于点，若的面积是3，则的值是（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，顶点A，B分别在轴，轴的正半轴上，点是斜边的中点．若反比例函数的图象经过两点，已知，则的值为（    ） A．8 B．4 C．32 D．16 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴平行且与反比例函数和的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．4 6．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为3．则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点M，与相交于点N，若点B的坐标为，的面积是，则的值为______． 9．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为______． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，都是等腰直角三角形，点，在（）的图象上，斜边，都在轴上，则（1）___________；（2）点的坐标为_________． 三、解答题 11．如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．    12．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标及的面积． 13．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一次函数与反比例函数相交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且，． (1)求的值； (2)直接写出不等式的解集． 14．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是线段的中点，过点作轴，交反比例函数的图像于点．求线段的长． 15．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于、两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，当的面积为12时，求点的坐标． 16．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点． (1)求的值； (2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围． 17．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，点的纵坐标为． (1)求点的坐标； (2)求该反比例函数和一次函数的表达式； (3)连接，求四边形的面积． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连接． (1)求、的值； (2)求的面积； (3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点且随的增大而增大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用面积求k值（选择、填空压轴高频） 题型二、反比例与一次函数综合（大题必考） 题型三、反比例函数存在性问题（压轴重难点） 题型四、反比例与特殊几何图形综合 题型五、几何变换与反比例综合（压轴难点） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 设点技巧（压轴核心技巧） 双曲线上动点常设：P，仅用1个参数t表示横纵坐标，大幅简化计算、减少未知数。 一次函数上动点常设：P(t,kt+b)，适配所有直线动点题型。 2. 求交点核心：联立方程组 联立反比例与一次函数解析式： 联立方程组：消去y整理为一元二次方程，求解横坐标后回代解析式，即可得完整交点坐标；过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点中心对称，即A()、B()，可直接秒杀对称类题型。 3. 面积计算两套核心工具 k几何意义：双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，围成矩形面积S=|k|，围成直角三角形面积S=|k|；面积恒为非负数，求解k必须结合图像象限判断正负。 割补法/铅垂高水平宽：针对不规则三角形、四边形，通过拆分、补全为坐标轴规则图形，用面积和差求解，规避复杂几何推导。 4. 几何条件代数翻译（压轴解题关键） 线段相等：利用距离公式（取平方去根号，简化计算）； 四点构成平行四边形：对角线中点坐标重合（最简解题通法）； 三角形为等腰三角形：三边两两相等，分三类完整讨论。 5. 答案检验三步法（规避扣分） 求出坐标后务必校验：①代入函数解析式验证成立；②匹配题目给定象限范围；③舍去增根、分母为0的无效解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用面积求k值（选择、填空压轴高频） 【典例1】．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点的横坐标为2，点的纵坐标为2， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：A． 【典例2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（   ） A．2 B．1 C．-2 D．4 【答案】A 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键． 连接，再根据反比例函数中k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点，，，是反比例函数的图象上的点， 都垂直于x轴， ∴， ∵， ∴，，． 以此类推，解得． 故选：A． 【典例3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．过点A作轴，垂足为E，先求出，，再结合，求得，由此列方程求解即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ， ， 令，则， 解得， 令，则， 解得， ，， ，，， ， 由题意得， 则， ， 解得． 故答案为：． 题型模版 1.基础模型：单点向坐标轴作垂线，矩形面积S=|k|，直角三角形面积S=|k|； 2.中点模型：若线段中点在坐标轴上或两点共双曲线，利用坐标倍数关系建立等式求解。 【变式1-1】．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，若，的面积为4，则k的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，图象点的坐标特征．延长交于点E，得到，，再根据题意得到，计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵点A，B在反比例函数的图象上，，， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得，（舍去）． 故选：B． 【变式1-2】．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知A，B两点在双曲线上，A、B两点关于O点对称，垂直于y轴于C点，若的面积为6，则_______． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，利用面积求反比例函数参数，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 关于原点对称得出相等的线段，求出，然后根据直角三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵A、B两点关于O点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∵垂直于y轴， ∴， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】．（24-25九年级上·安徽池州·阶段检测）如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 【答案】10 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 如图，连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵由图像可知， ∴． 故答案为：10． 【变式1-4】．在平面坐标系中摆放如图，顶点A在x轴上，，轴，双曲线经过C点及的中点D，，求k的值．    【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】，，则点坐标，点坐标，，根据，得出得出①，先求得的坐标，根据点在双曲线上，得出，则②，结合①②，即可求得的值． 【详解】解：设，，则点坐标，点坐标，， ， ， ， 得， 点坐标，， 点在抛物线上，点坐标，， 则， 则， 解， 得．    题型二、反比例与一次函数综合（大题必考） 【典例4】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与双曲线（）相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点的坐标，然后根据即可以解决问题． 【详解】（1）解：将，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； （2）解：∵直线的解析式为与轴交点， ∴点的坐标为， 由， 解得或， ∴点的坐标为， ∴． 【典例5】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想． （1）根据题意先将点A代入一次函数求得m的值，再将点A代入反比例函数即可求得解析式； （2）先求出一次函数与反比例函数在第三象限交点的横坐标，结合图象可判断出x的解集． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 为， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：当， 解得，， 经检验，是方程的根， 所以一次函数与反比例函数在第三象限交点的横坐标为， 观察函数图象，发现： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 【典例6】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式． (2)若P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、求直线围成的图形面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）先求解点，，再利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得，， 解得：， 点，． 把，代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， ∵一次函数的解析式为， 当时，， ∴． ∵点，点， ． 设点， 由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 题型模版 题型固定考法：①求两个函数解析式；②求三角形面积；③求解函数不等式解集。 【变式2-1】．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，点位于第一象限，且是反比例函数图象上的一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接． (1)_____，_____． (2)当时，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数图象的交点问题，准确求出函数解析式和数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图像在第一象限交于点， ∴，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知反比例函数为，一次函数为， 当时，即点的横坐标为， 当时，，， ∴，， ∴的面积． 【变式2-2】．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线：与反比例函数图象相交于点和点，直线与x轴，y轴分别交于点C，点D． (1)求m，，的值； (2)不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线与轴交点，再利用图象求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象过点和点， ∴， 解得． ∴，， ∴， 把，分别代入， 得：， ∴， 即，，； （2）解：由（1）知直线：， 当时，则， 解得， ∴， ∴不等式的解集为． 【变式2-3】．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A点的纵坐标为6． (1)求k的值及B点坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，B点坐标为； (2)或． 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）把代入求出，把代入得到，联立两解析式得到B点横坐标为6，即可求出B点坐标； （2）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：把代入得， 即 把代入得 解得， 由 解得 当时 ∴B点坐标为 （2）解：由图可知不等式的解集为或． 【变式2-4】．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为，的面积为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)结合图象直接写出的解集． (3)在轴上取一点，当取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、反比例函数的几何意义、不等式与函数图象的关系以及利用轴对称求线段差的最值，熟练掌握函数图象上点的坐标特征、函数解析式的求法和几何最值的转化方法是解题的关键． （1）先利用的面积和反比例函数的几何意义求出反比例函数的值，确定其解析式；再将、两点坐标代入反比例函数求出、的值；最后将、坐标代入一次函数解析式，通过解方程组求出、，得到一次函数解析式． （2）将不等式转化为一次函数值小于等于反比例函数值的情况，结合函数图象的交点，直接写出满足条件的的取值范围． （3）利用三角形两边之差小于第三边的几何原理，作点关于轴的对称点，连接并延长交轴于点，此时取得最大值；再求出直线的解析式，计算其与轴交点的坐标，即为点的坐标． 【详解】（1）解：轴，点在反比例函数图象上，且的面积为． ， 反比例函数图象分布在第二、四象限， ， 反比例函数解析式为，把点和点坐标代入反比例函数解析式得：， 将代入得， ， 解得， 一次函数解析式为． （2）解：∵，即，， ∴不等式的解集为：或． （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接延长交轴于点，此时点满足取得最大值，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线解析式为， 当时， ． 题型三、反比例函数存在性问题（压轴重难点） 【典例7】．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过点和．反比例函数图象经过点． (1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； (2)若直线交x轴于，交y轴于，点为反比例函数的图象上一点，过作轴的平行线交直线于，过作轴的平行线交直线于，请问：在该反比例函数图像上是否存在点，使?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) 不存在，理由如下： 设点， 由题意可得：，，即 将代入得，，即 将代入得，，即 ∴ ∵ ∴，即 化简可得： 判别式： ∴无实根 ∴不存在点使得 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、反比例函数与几何综合、全等三角形的性质、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将两点代入一次函数解析式，求得一次函数解析式以及点坐标，再将代入反比例函数，即可求解； （2）设点，求得的长度，根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：将两点代入一次函数解析式，可得： ，解得 即：， 将代入得，，解得 即 （2）略 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及了全等三角形的性质，一元二次方程根与判别式的关系，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 【典例8】．如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为． (1)求，的值： (2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等三角形综合问题 【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入即可求得，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入求得；（2）由可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标． 【详解】（1）如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F， ∵， ∴∠AOE+∠BOF=90°， 又∵∠AOE+∠EAO=90°， ∴∠BOF=∠EAO， 又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB， ∴△AOE≌△BOF（AAS）， ∴AE=OF，OE=BF， ∵点A的坐标为， ∴AE=1，OE=4， ∴OF=1，BF=4， ∴B（4，-1）， 将点A、B分别代入和， 解得，，； （2）由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称， ∵， ∴OC=OA=OB=OD， 只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示， ∴点C（4，1），点D（1，-4）． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 【典例9】．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、利用平移的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可； （2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得， 解得， ， 把代入反比例函数，得， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：令，解得或， 当时，，即， 当时，， ， ； （3）解：存在，理由如下： 当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即； 当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即； 当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即； 综上，P点坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 题型模版 高频考法：是否存在动点P，使四点构成平行四边形、三点构成等腰/直角三角形。 【变式3-1】．（2025九年级上·安徽芜湖·期末）如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9． （1）求一次函数解析式； （2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标； （3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线AP解析式为y＝x+2；（2）Q（0.8，0）；（3）R坐标为（4，1.5）． 【知识点】反比例函数与几何综合、反比例函数与一次函数的综合 【分析】（1）由直线AP解析式得到直线恒过A（-4，0），得到OA=4，设OB=a，PB=b，由P在反比例图象上得到ab=6，再由OA+OB表示出AB，根据AB与PB乘积的一半表示出三角形PAB面积，根据已知三角形PAB的面积求出a与b的值，确定出P坐标，将P代入直线AP解析式求出k的值即可； （2）找出C关于x轴的对称点C′，连接PC′与x轴交于点Q，确定出直线PC′解析式，求出与x轴交点即可确定出Q坐标； （3）由直线AP解析式求出OA与OC的长，若△BTM与△AOC全等，则有BT=OC，MT=OA，确定出M坐标，代入直线AP检验即可得到结果． 【详解】（1）直线AP解析式y＝kx+4k＝k（x+4）， 得到A（﹣4，0），即OA＝4， 设OB＝a，PB＝b，即P（a，b）， 代入反比例解析式得：ab＝6， ∵S△PAB＝AB•PB＝9， ∴（a+4）b＝9，即ab+4b＝6+4b＝18， 解得：a＝2，b＝3，即P（2，3）， 将P（2，3）代入直线y＝kx+4k中得：3＝2k+4k， 解得：k＝， 则直线AP解析式为y＝x+2； （2）对于直线y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即C（0，2），OC＝2， 找出C关于x轴的对称点C′（0，﹣2），连接PC′，交x轴与Q点，此时QC+QP最短， 设直线C′P解析式为y＝mx+n， 将P（2，3）与C′（0，﹣2）代入得：， 解得：m＝2.5，n＝﹣2， ∴直线C′P解析式为y＝2.5x﹣2， 令y＝0，得到x＝0.8，即Q（0.8，0）； （3）若△BTM≌△COA，则有BT＝OC＝2，MT＝OA＝4， ∴OT＝OB+BT＝2+2＝4，即M（4，4）， 将x＝4代入直线OP解析式得：y＝×4+2＝2+2＝4，即M在直线AP上， 将x＝4代入反比例解析式得：y＝＝1.5， 此时R坐标为（4，1.5）． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式3-2】．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）我们规定：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“两倍点”，若一个函数的图象上存在“两倍点”，则称这个函数为“两倍函数”．如点和都是“两倍点”，一次函数的图象上存在点，所以一次函数是“两倍函数”．请根据这个新定义解决下列问题： (1)下列说法正确的是（    ） A．所有一次函数(是常数，且)的图象上都存在“两倍点” B．所有反比例函数都是“两倍函数” C．二次函数的图象上一定有两个不同的“两倍点” (2)已知函数（t是常数），若该函数图象上有唯一的“两倍点”，求的值； (3)一次函数与反比例函数的图象交于点，点是线段的中点，求证：点是“两倍点”． 【答案】(1)C (2) (3) 证明：由和可得， 即， ∵， ∴， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 设其两根为，则， ∵点是的中点， 点的横坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点是“两倍点”． 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据“两倍点”和“两倍函数”的定义，列方程组计算即可判断； （2）根据“两倍点”的定义，列方程计算，利用根的判别式计算即可求解； （3）根据“两倍点”的定义，列方程计算，利用根与系数的关系计算即可证明． 【详解】（1）解：A、根据新定义，对于满足，整理得，即，当，时，方程组无解， ∴原说法错误； B、根据新定义，对于满足，整理得，当时，方程组无解， ∴原说法错误； C、根据新定义，对于满足，整理得，解得或， ∴二次函数的图象上一定有两个不同的“两倍点”和； 故选：C； （2）解：根据新定义，对于（t是常数）满足， ，整理得， 函数图象上有唯一的“两倍点”， 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得； （3）略 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“两倍点”和“两倍函数”的综合运用，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义． 【变式3-3】．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 (1)当时，函数有最_____值为_____，此时_____． (2)已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． (3)如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 【答案】(1)小；；； (2)周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2； (3)①点；②的最大值是1． 【分析】（1）根据题意把式子变成题目中举例的形式，运用整体思想，把两个变量进行整体变换，再根据题目中的例子得到答案即可； （2）先根据扇形的面积公式得到圆心角和半径的关系，再根据扇形周长公式列出等式，把上面的关系代入即可得到题目中举例的性质即可解决问题； （3）①先根据一次函数和反比例函数的交点问题得到交点坐标，再根据将军饮马模型得到点，根据一次函数待定系数法求出直线解析式即可得到点的坐标，即可解决问题； ②根据题意先设出点和点的坐标，用含的式子表示出的长度，把式子变成题目中举例的形式即可解决问题； 【详解】（1）解：∵ ∴ 即 令 ∴ 由题意可知：当，有最小值是 ∴ 故答案为：小，4，3； （2）解：设扇形的半径为，圆心角为，则 即， ∴扇形的周长， 由上可知：当即时，扇形的周长有最小值为． 故扇形周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2； （3）①解：由题意可得：， 解得：或， 经检验：或都是原方程的解， ∴，， 如图，作点关于轴的对称点， ∴， 连接交轴于点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， 令时，， 解得：， ∴点； ②由题可设点，点， 由题可得：， 即， 则当时，则， ∴， 故的最大值是1． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数，将军饮马模型，不等式的计算等知识点，解决此题的关键是合理的利用题目中举例的性质． 题型四、反比例与特殊几何图形综合 【典例10】．如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，，以为斜边作等腰直角，边交反比例函数的图象于点，的延长线交反比例函数的图象于点，若． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，待定系数法求反比例函数解析式； （1）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理求得，根据已知得出，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，进而求得，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）过点作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，设，则得出，代入反比例函数解析式，得出的坐标，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，如图所示， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 代入，； （2）解：如图，过点作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形， 设，则，， ∵在上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴， ∴． 【典例11】．如图，将等腰直角三角板的直角顶点放在坐标系的处，锐角顶点和恰好都落在反比例函数第二象限图象上． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、全等三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，得到，，证明可得，，得到，即可求解； （2）由勾股定理求出，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则， 和， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由（1）知，，， ， ， ， 四边形的面积． 【典例12】．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． (1)求经过点A的反比例函数的表达式； (2)若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 【答案】(1) (2) 证明：设点M的坐标为， 轴， 点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， 点D在图象上， 点D的坐标为， 由知，，即， 点M的坐标为， ， 是的中点， ； 轴，轴， 轴，轴， 即， 四边形是菱形． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、证明四边形是菱形 【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 设点M的坐标为，根据点M在反比例函数上，求出，根据轴，M是的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数的表达式为，代入点A的坐标即可解答； 根据题意证明与互相垂直平分即可得证． 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， 轴，M是的中点， 点A的坐标为， 设经过点A的反比例函数的表达式为， 把代入可得， 即， 又， ， 则反比例函数的表达式为； 题型模版 1.题型特征：正方形、矩形、菱形顶点落在双曲线上，已知边长、面积，求k值或顶点坐标。 2.经典模型：矩形两边平行于坐标轴，顶点共双曲线，直接通过坐标乘积等量关系快速求解。 【变式4-1】．如图，是边长为的等边三角形，线段在轴上，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标及反比例函数的解析式； (2)若这个反比例函数图像上有两个点，，且，请比较和的大小． 【答案】(1)， (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，根据勾股定理得，继而得到点的坐标，再根据函数图像上点的坐标特征可求得的值； （2）根据的值确定该反比例函数的图像经过的象限，继而确定函数的增减性，可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由（1）知：， ∴该反比例函数的图像经过第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， 又∵这个反比例函数图像上有两个点，，且， ∴． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法确定函数的解析式，反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 【变式4-2】．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点的坐标为．一次函数的图象经过点，，反比例函数的图象也经过点． (1)求反比例函数的关系式； (2)直接写出的解集． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数和反比例函数，中等难度，会求一次函数和反比例函数的解析式，并会观察函数图象得出不等式的解集是解题关键． （）作辅助线，证明≌，根据已知求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （）根据反比例函数和一次函数图像的性质，找到直线在双曲线下方的图像即可解题． 【详解】（1）解：过作垂直于轴于，如下图， ∵点坐标为，点的坐标为， ∴，， 在中， 在平面直角坐标系中，等腰直角三角板放在第二象限， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直于， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴， ∴B的坐标，代入， 解得：， ∴反比例函数的关系式； （2）把B，，代入， 得， 解得， ∴一次函数的关系式， 反比例函数与一次函数， 联立得：， 解得，， 即两个函数的交点和， ∵不等式的解集，即是不等式的解集， 由图可知：图象上一次函数在反比例函数下方的的范围即可， 当时，图象上一次函数在反比例函数下方， 当时，图象上一次函数在反比例函数下方， ∴的解集或 【变式4-3】．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形． (1)求和的值； (2)设点是直线上一动点，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求面积、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题．关键是利用菱形的对称性确定点的坐标，再结合函数解析式求解参数，最后通过面积公式确定点的坐标． （1）利用菱形关于对角线对称的性质结合点在第一象限的位置确定其坐标；再将点代入双曲线和直线的解析式，求解和的值． （2）先计算菱形的面积，根据题意得到的面积；设点的坐标为，利用三角形面积公式建立方程，求解得到的值，进而确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴与关于即轴对称， ∵点， ∴点的坐标为． ∵点在双曲线上， ∴； ∵点在直线上， ∴， 解得； （2）解：如图，连接，设直线与轴的交点为，则． ∵四边形为菱形，，， ∴根据菱形对称性，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 点是直线上一动点，设点的坐标为，则 ①当时，，解得 ∴； ②当时：，解得 ∴． 综上，点的坐标为或． 题型五、几何变换与反比例综合（压轴难点） 【典例13】．小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在y轴上，含角的三角板的直角顶点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键． （1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为， 反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上，且横坐标为8， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴． 【典例14】．如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、勾股定理与折叠问题、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，，结合点C的坐标为，得到，再由中点的定义得到点E的坐标为，代入到，即可求出反比例函数的表达式； （2）设与轴交于点，则，由翻折的性质得，，利用勾股定理求出的长，通过证明四边形是矩形得到，再证明得到，代入数据即可求出线段的长． 【详解】（1）解：正方形， ，，， 点C的坐标为， ， ， 点E为的中点， ， 点E的坐标为， 代入点到，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：如图，设与轴交于点，则， 由（1）得，， ，轴， ，， 由翻折的性质得，， ，， 轴， ， ，， 四边形是矩形，， ， ，， ， ，即， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质、翻折的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【典例15】．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)点E坐标为． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查反比例函数性质，一元二次方程的解法，熟知求解反比例函数解析式是解题的关键． （1）由平移的性质可得点B的坐标为，结合点、B都在反比例函数图象上，可得，再进一步求解即可； （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意点B的坐标为， ∵点、B都在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵点A坐标为，点E坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数图象上， ∴， 解得，， 因为点A坐标为， 所以舍去，所以点E坐标为． 【典例16】．如图，正比例函数和反比例函数的图像交于点．    (1)求反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图像交于点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)3 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）根据平移的性质求得平移后函数解析式，确定B点坐标，然后待定系数法求直线的解析式，从而利用三角形面积公式分析计算． 【详解】（1）解：把代入中，， 解得， ∴， 把代入中，， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为， 当时，， ∴点B的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入可得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得， ∴C点坐标为， 过点C作轴，交于点，    在中，当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想解题是关键． 题型模版 题型特征：点、图形经过折叠、平移后，落点在双曲线上，求k值或坐标参数。 【变式5-1】．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点坐标为． (1)求一次函数和反比例函数解析式． (2)若将点沿轴向下平移个单位长度至点，连接、，求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)12 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，进而求得，一次函数的解析式和反比例函数的解析式联立方程求得交点、的坐标，然后根据求得即可． 【详解】（1）解：把分别代入，与中，有，， 解得，， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）将点向下平移个单位长度得到点，则． 一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点， ， 解得或， ，， ． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，平移的性质，求得交点坐标是解题的关键． 【变式5-2】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、反比例函数与几何综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式5-3】．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过两点，连接，，，过点作轴，垂足为点，交于点，且为中点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数的图象是否存在一点，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点坐标为 【知识点】换元法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，勾股定理求两点距离，等腰三角形的性质，解一元二次方程； （1）根据中点坐标公式先求出点坐标，再代入反比例函数求； （2）由（1）已得：，求出点坐标，最后用面积公式得出，根据为中点，即可求解； （3）根据，利用等腰三角形性质和反比例函数解析式求点坐标，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为中点， ∴ 将点代入得：； （2）解：由（1）已得： ∵轴，垂足为点， ∴，点的纵坐标为3，， 将代入得： ∴ ∴ ∴ 又∵点为中点， ∴的面积为 （3）解：存在点，使得是以为底的等腰三角形 当时 ， 设，，则， 解方程， 解得：或（时与重合舍去）或（舍去）或（舍去）， 此时． 【变式5-4】．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与y轴相交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出一次函数大于反比例函数时，自变量的取值范围； (3)连接，，求的面积； (4)如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接，把线段绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数的表达式，求出的值．利用反比例函数的表达式求出点的坐标，将点和点的坐标代入一次函数的表达式，求出和的值； （2）根据图象进行判断即可； （3）分别过点和点作轴的垂线，垂足为，，先求出点的坐标，利用，计算出的面积； （4）过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足为，，设点的坐标为，容易证出，则，，从而求出点的坐标为，将点的坐标代入反比例函数的表达式，求解方程即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数，得， ， 解得，， ∴反比例函数的表达式为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， 将，代入一次函数，得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2） 解： 由图象可知，在点左侧，点和点之间时，一次函数的图象高于反比例函数， ∴当或时，一次函数大于反比例函数； （3）解：分别过点和点作轴的垂线，垂足为，， 将代入，得， ∴点坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ， ， ； （4）解：如图，过点作轴的平行线，分别过点和点作的垂线，垂足为，，设点的坐标为， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 化简，得， 解得，或， ∵点在点右侧， ∴， ∴，此时点坐标为． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题关键． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2025·安徽宿州·三模）如图，点在双曲线上，连接，点是的中点，作轴，垂足为，的反向延长线交双曲线于点，若的面积是3，则的值是（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，中点坐标公式，设，根据题意表示出点的坐标，再利用三角形面积公式即可解答，正确表示出点的坐标是解题关键． 【详解】如图，作于点， 设点，则， 点是的中点， 点的坐标为， ， 轴， 点的坐标为，即 ， 的面积是3， ， ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，顶点A，B分别在轴，轴的正半轴上，点是斜边的中点．若反比例函数的图象经过两点，已知，则的值为（    ） A．8 B．4 C．32 D．16 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，过点C作轴于点E，然后证明，设点A的坐标为，可以得到点C和的坐标，代入反比例函数解析式即可解题． 【详解】解：过点C作轴于点E， 则， 设点A的坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 即点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点和在反比例函数的图象上， ∴， 解得（舍去），， 故选：D． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B，连接OB，OP，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，理解并掌握系数k的几何意义是解决本题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴， ∴ ． 故选A． 4．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，过反比例函数的图象上点，分别作轴，轴的平行线交反比例函数的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，．若，则k的值为（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形性质，熟练掌握反比例函数值几何意义是关键． 设点，则点，点，点，根据值的几何意义，可得、的值，求出的值，得到的值，即可求出k的值． 【详解】解：设点，则点，点， 点． ，在反比例函数， ． ， ． ． ． ． 点在反比例函数的图象上， ． 故选：A． 5．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴平行且与反比例函数和的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行线的性质，设直线l与y轴交于点C，连接，根据平行线的性质可得，再由反比例函数比例系数的几何意义求出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设直线l与y轴交于点C，连接， ∵直线l与x轴平行， ∴，轴， ∴， ∵直线与反比例函数和的图象分别交于点和点， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26九年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，关键是通过设的纵坐标为，求出、两点的横坐标，从而得到的长度，再结合三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∴； ∵点在轴上， ∴中边上的高为； ∴的面积为； 故选：B． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为3．则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据三角形的面积求参数，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 假设点的纵坐标为，则点的纵坐标也为，表示出两点的横坐标，然后根据三角形的面积列出方程求参数即可． 【详解】解：假设点的纵坐标为，则点的纵坐标也为， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 二、填空题 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点M，与相交于点N，若点B的坐标为，的面积是，则的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，根据图形面积求比例系数（解析式），根据矩形的性质求线段长，求矩形在坐标系中的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先用k表示出N、M两点的坐标，再根据三角形的面积列出关于k的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴点N的纵坐标为2，点M的横坐标为4， ∵反比例函数的图象与相交于点M，与相交于点N， ∴，， ∴,,，，，， ∵， ∴， ∴， 又的面积是， ∴， 解得：（负值舍去）， 故答案为：7． 9．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据函数解析式算出，，则，，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：联立， 解得：，， ∴，， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，都是等腰直角三角形，点，在（）的图象上，斜边，都在轴上，则（1）___________；（2）点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．过点作轴，由于是等腰直角三角形，可以设点的坐标是，把代入解析式即可求出，因而求出的坐标是，进一步得到，再根据是等腰直角三角形，设的纵坐标是，因而横坐标是，把的坐标代入解析式，即可求出，然后即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于， 是等腰直角三角形， ， ， 设点的坐标是， 把代入解析式得到， 的坐标是， 则， 是等腰直角三角形，过点作轴于， 设的纵坐标是， 横坐标是， 把的坐标代入解析式， ， （负值已舍去）， 点的横坐标是． 点的坐标是． 三、解答题 11．如图，反比例函数的图象分别交正方形的边于点、，若点坐标为，若是等边三角形，求的值．    【答案】 【分析】证明，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理可得，从而得到点D的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点坐标为， ∴， ∴，， ∴， 解得：，，舍去， ∴， 即点D的坐标为， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点以及反比例函数系数k的几何意义、正方形和等边三角形的性质、勾股定理等，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点的坐标及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、等边三角形的性质、一次函数解析式的求解及三角形面积的计算；解题的关键是利用等边三角形的性质求出点的坐标，进而确定反比例函数表达式，再通过求直线解析式与反比例函数的交点得到点的坐标． （1）由及为等边三角形，可得点的坐标为；将点代入反比例函数，求出，从而得到反比例函数表达式． （2）先求出直线的解析式，再联立反比例函数解析式求出点的坐标；最后以为底，点的纵坐标为高，计算的面积． 【详解】（1）解：，为等边三角形， ， 过点B作，垂足为H， 则，， ． 点在上， ，得． 反比例函数的表达式为． （2）解：点与点关于原点对称 ． 设直线的解析式为， 代入，得，， 解得， 直线的解析式为． 联立得， 解得或． 将代入得，， ． 的面积． 答：点的坐标为，的面积为． 13．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一次函数与反比例函数相交于、两点，与轴、轴分别交于点、，且，． (1)求的值； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得点A的坐标，则可求出一次函数的解析式，进而求出点B的坐标，利用勾股定理求出的长，则可得到的长，设出点D的坐标，利用两点间的距离公式建立方程求出点D的坐标，进而利用待定系数法可求出答案； （2）联立两函数解析式求出点C的坐标，再结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：∵，且点A在x轴的正半轴上， ∴点A的坐标为， 把点A的坐标代入一次函数的解析式得， ∴， ∴一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴； 设点D的坐标为，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为， 把点D的坐标代入反比例函数的解析式得， ∴； （2）解：由（1）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， 联立，解得或， ∴点C的坐标为， ∴由函数图象可得不等式的解集为或． 14．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是线段的中点，过点作轴，交反比例函数的图像于点．求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、求函数解析式、中点坐标、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）根据中点坐标公式可得，再根据题意求得，最后求线段的长即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得：，解得：， ∴反比例函数为； 将代入可得：，解得：，即， 将、代入可得： ，解得：， ∴一次函数为． （2）解：∵点是线段的中点，、， ∴点的坐标为，即， ∵轴，交反比例函数的图像于点， ∴点D的纵坐标为3，，解得：， ∴， ∴． 15．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于、两点，且． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点是轴上一点，当的面积为12时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图形面积求比例系数（解析式）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先求得点的坐标，点的坐标，再根据，点、、、共线，得出点是线段的中点，从而可求得点的坐标为，再根据点在双曲线上，可得，从而可得反比例函数解析式； （2）设点M的坐标为，从而可得，再说明点是线段的中点，从而可求得点的坐标，再根据，得到关于m的方程求解即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴点的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， ∵，点、、、共线， ∴点是线段的中点， ∴点的坐标为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：设点M的坐标为， ∴， ∵，点、、、共线， ∴点是线段的中点， ∴点的坐标为， ∴， 解得：或－5． ∴点M的坐标为或． 16．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点． (1)求的值； (2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据长方形的性质得到点的坐标，再代入到即可求解； （）由（）得到反比例函数解析式为，由反比例函数可得，，分点在的上方和下方两种情况解答即可求解； 本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的几何应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上运动（不与点重合）， ∴， 当点在的上方运动时，如图，此时， ∵轴， ∴，， ∴ ∴； 当点在的上方运动时，如图，此时， ∵轴， ∴，， ∴， ∴； 综上，． 17．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一、三象限内的两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，点的纵坐标为． (1)求点的坐标； (2)求该反比例函数和一次函数的表达式； (3)连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意，设，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）由（1）求得的，利用待定系数法，将代入反比例函数得到值即可确定该反比例函数表达式；再求出点坐标，利用待定系数法列二元一次方程组求解即可得到一次函数的表达式； （3）先求出直线与轴的交点，再由，，判断四边形为平行四边形，最后根据平行四边形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作轴，垂足为， ， 设， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 即， 解得或（负值，舍去） ， 则， 点在第三象限， 点坐标为； （2）解：由（1）知， 反比例函数的图象过点， 将代入，得， 则反比例函数表达式为； 点的纵坐标为，且反比例函数的图象过点， 则， ∴点坐标为， 一次函数的图象过、， 将、代入一次函数， 得， 解得， ∴一次函数表达式为； （3）解：由（2）知直线， 当时，，则点坐标为， ， 由（1）知，轴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及勾股定理、求点的坐标、待定系数法求反比例函数表达式、待定系数法求一次函数表达式、平行四边形的判定与性质等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和反比例函数的性质求解． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连接． (1)求、的值； (2)求的面积； (3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点且随的增大而增大． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）先将点、的坐标代入反比例函数的表达式，求出与的值，再代入一次函数的表达式，求出与的值； （2）先求出点的坐标，利用三角形面积公式求出的面积； （3）先求出点的坐标，结合一次函数的性质， 写出一个符合要求的表达式即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， ∴点的坐标为， 将，代入中得： ， 解得； （2）解：∵直线与轴交于点， ∴点的坐标为， ∴， ∴的面积为：； （3）解：由（1）可知，一次函数的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 则设经过点的一次函数解析式为， ∵随的增大而增大， ∴， ∴经过点的一次函数解析式可为（答案不唯一）. 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，反比例函数的图象，待定系数法求函数解析式，直线围成的三角形面积问题，熟练掌握相关知识是关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $