1.2.1有理数的概念（教学设计）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学教学设计聚焦有理数的概念，涵盖整数、分数定义，有限与无限循环小数化分数及两种分类方法。通过回顾正数、负数及小学学过的数，引发“统一命名”认知冲突，搭建新旧知识支架，明确学习方向。 以“观察—归纳—探究”为主线，通过0.̇1化分数培养抽象能力和推理意识，小组合作分类体现无遗漏、不重合原则，集合概念引入发展模型意识。助力学生夯实数系基础，提升逻辑思维，为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

1.2.1 有理数的概念 教学设计 1.教学内容 本课为义务教育教科书·《数学》七年级上册（人教版）第一章 有理数 1.2《有理数及其大小比较》—1.2.1《有理数的概念》。核心知识点： 1.整数、分数与有理数的概念； 2.有限小数、无限循环小数的分数化及其归类； 3.有理数的两种常用分类方法与分类原则。 2.内容解析 本节以“我们已学过的数能否统一命名”为问题情境，唤起学生对正数、负数和分数的旧知，引出“有理数”概念。先通过对 等整数的共性比较，归纳“整数”；再通过 等实例，借助“小数转化为分数”体验“分数”范畴；进而发现“一切能写成 的数”即为“有理数”。随后设置多元练习与二次分类任务，引导学生从“表示形式”和“正负符号”两条主线，将有理数细分为“正整数、0、负整数、正分数、负分数”，并通过“分类三原则”提升逻辑思维品质。知识价值体现在：①夯实数系扩充的基础，为后续整数指数、分式及实数奠基；②渗透集合与分类思想，培养数学抽象与概括能力。教学重点为有理数定义及分类；难点为无限循环小数化分数与合理分类的逻辑严谨性。 1.教学目标 •理解整数、分数、有理数的概念，掌握有理数的分类标准，能正确识别正有理数、负有理数、整数、分数。 •理解有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数；知道无限不循环小数不是有理数。 •经历对有理数进行分类的过程，培养观察、比较、归纳、概括的逻辑思维能力。 2.目标解析 •通过实例辨析，学生能口述并书写整数、分数、有理数的定义，完成不少于80%正误判断 •能独立将典型无限循环小数（如 、）化为分数，正确率达70%以上；能区分无限不循环小数并说明其非有理数原因 •在小组活动中按“两种标准”完成给定数集的分类图，分类结果无遗漏、无重合，并能说出所用标准，体现初步的数学抽象与逻辑思维 3.重点难点 • 教学重点： 有理数定义及其与整数、分数的包含关系。 • 教学难点：无限循环小数转化为分数的过程与本质。 七年级学生已具备整数与分数、小数、百分数等表征经验，并初识正负数概念，具备基本的符号感和数轴直观。但对“数系扩充”与“形式决定归类”的抽象思考较弱，容易混淆“分数形式”与“实数类型”，在判断无限小数类别及进行严格分类时易出现疏漏。针对这些特点，教学中需通过丰富示例、动手转化、合作分类与数轴直观相结合，帮助学生在具体—抽象—再具体的循环中建构有理数概念，突破无限循环小数化分数与分类逻辑两大难点。 创设情景，引入新课 知识回顾： 上一节课我们学习了正数和负数，你能举例说明什么是正数，什么是负数？0 是正数还是负数？ 教师提示：正数：大于 0的数，负数：小于 0的数，0 既不是正数也不是负数 想一想：从小学到现在，我们已经学过了哪些数？ ①正整数②0③负整数④正分数⑤负分数 新课引入 从小学到现在所学的这些数，能不能统一地进行命名？ ①正整数②0③负整数④正分数⑤负分数 这些学过的数能不能统一命名？ 教师演示：我们所学过的所有的数是否有专门的命名方式？这些已经学过的数是否还可以用其他方式分类？今天我们一起来学习——有理数的概念. 【设计意图】以“我们学过哪些数”为话题，引导学生回顾旧知并产生“如何统一命名、重新分类”的认知冲突，激发学习兴趣，明确本节学习的方向与任务。 探究点1：整数与分数的概念 1.观察思考： ①1,2,3… 是正整数；-1,-2,-3… 是负整数；还有 0。这些数有什么特点？ 这些数都是整数. 归纳 正整数、0、负整数统称为整数。 拓展：引入负数后，奇数和偶数的范围也扩大了。 例如 - 2,-4,-6… 都是偶数，可写成 2n（n 为整数）； -1,-3,-5… 都是奇数，可写成 2n−1（n 为整数）。 ②..这些数有什么共同特点？ 可以发现以上这些数都是分数. 归纳 正分数和负分数统称为分数 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都属于分数。 2.思考探究 有限小数可以化为分数，那无限循环小数如何化为分数呢？ 例如：0.1=，那么0.可以化为哪个分数？ 设 。 归纳 无限不循环小数不能化为分数，因此不是分数，也不是有理数。 例如 π、3.212212221…(每两个 1 之间 2 的个数逐次增加 1)等都不是分数。 【设计意图】通过“观察—对比—归纳”培养学生从实例中抽象出概念、深化对“整数”“分数”含义的理解，为“有理数”的提出奠基。 探究点 2　有理数的概念 1.新知探究 我们所学过的数，都可以表示成什么形式呢？ 学生讨论：整数都可以表示成分母为1的分数. 例如2=,−3=,0 也可以写成分数形式。 教师归纳： 可以写成分数形式的数称为有理数 。即整数和分数统称为有理数。 补充：任何一个有理数都可以写成 (p、q是整数，q≠0)的形式。 2.概念总结 有理数的组成 ①零既不是正数，也不是负数，是有理数 ②正整数、零和负整数统称整数，可以化成分数 ③正分数和负分数都是分数 ④有限小数和循环小数都可以化成分数， ⑤有限小数和循环小数属于分数一类 ⑥可以写成分数形式的数称为有理数 3.知识巩固 下列7个数，−，1.010010001，−20%，0，π，−2，0. ̇．其中有理数有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】本题考查了有理数的定义．有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，据此逐一判断即可. 解：−和−20%是分数，是有理数； 1.010010001是有限小数，有理数； 0 和 −2 是整数，是有理数； π 不是有理数； 0. ̇ 是循环小数，是有理数； 所以有理数共有6个． 故选：D． 【设计意图】通过典型例题检测并强化“有理数判定”的三条线索：①整数；②有限小数或循环小数；③一切可化为分数的数。 探究点 3　有理数的分类 1.新知探究 将有理数进行分类，可以怎样分类呢？ ①从有理数的定义出发进行分类 这样我们就按照定义对有理数进行了分类. 提示： ①分类的标准不同,结果也不同; ②分类的结果应无遗漏、无重复; ③零是整数,但零既不是正数,也不是负数 ②根据有理数的性质符号分类 有理数的两种分类方法，最终都把有理数分成了五类：正整数、负整数、正分数、负分数和 0 2.归纳总结 有理数分类的三原则： ①分类不重合—— 所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0 和正有理数就违反了这一原则； ②分类无遗漏—— 所分各类之 “和” 必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了 0； ③标准要统一—— 必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0 和负分数，分类标准就不统一。 3.新知巩固 在数0，，−2025，−2.5中，属于负分数的是（ ） A. 0 B. C. −2025 D. −2.5 【分析】负分数的概念：负分数是小于0的分数，即负的有理数且具有分数形式，据此解答即可． 解：A、0既不是正数也不是负数，不符合题意； B、是正分数，不符合题意； C、−2025是负整数，不是分数，不符合题意； D、−2.5是负小数，可化为分数−，符合负分数定义，符合题意； 故选：D． 4.例题讲解 例 指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数： 13，4.3，−，8.5%，−30，−12%，，−7.5，20，−60，1. ̇。 【分析】根据有理数分类定义，大于 0 的有理数为正有理数，小于 0 的为负有理数；整数里大于 0 是正整数，小于 0 是负整数，逐个归类 . 解：正有理数：13，4.3，8.5%，，20，1.2 ̇；其中正整数有13，20。 负有理数：−，−30，−12%，−7.5，−60；其中负整数有−30，−60。 5.知识总结 在有理数的分类中，有一些特别的分类如下： 6.知识拓展 集合的定义 把满足一定条件的所有数放在一起，就组成了一个集合，简称数集。在对有理数进行分类时，每种分类结果都可以看成一个数集，如正整数集、负整数集、分数集等。集合可用圈或大括号表示。每个集合最后的省略符号 “…” 表示填入的数只是集合的一部分。 如正整数集{1，2，3，4，5，…}. 【设计意图】通过两种不同角度的分类与“三原则”的讨论，帮助学生经历“分类—反思—修正”的数学思想过程，培养严谨的逻辑表达。 1．下列各数：−1，，4.112134，0，，3.14，其中有理数有（ ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，据此求解即可． 解：−1，4.112134，0，，3.14都是有理数，共有5个； 只有是无理数； 故选：D． 2.下列各数中不是有理数的是（ ） A. 7π B. − C. 9 D. 3.1415926 解：∵有理数包括整数、分数及有限小数或无限循环小数， 选项 B 为分数，选项 C 为整数，选项 D 为有限小数，均为有理数； 选项 A 中 π 为无理数，7π 亦为无理数，不可表示为两整数之比 ∴7π 不是有理数， 故选 A． 3．所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合．如图，阴影部分也表示一个集合，这个集合可以包含的有理数是（ ） A．−1.5  B．−1  C．0  D． 【分析】先分析阴影部分表示的集合是整数和负数的交集，即负整数，然后逐一分析选项中的数属于哪种类型，从而选出正确答案． 解：阴影部分是整数集合和负数集合的交集，即这个集合中的数是负整数． A、−1.5是负数，但它是小数，所以不属于该集合； B、−1是负数，同时也是整数，所以属于该集合； C、0是整数，但不是负数，所以不属于该集合； D、是正数，且是分数，不是整数，所以不属于该集合． 4.把下列各数分别填在相应的集合内， −17、25%、−4.7、、3.14、0、−、、2017、−19 正数集：___________________________________ 负数集：____________________________________ 分数集：____________________________________ 有理数集：____________________________________ 解：正数集：{25%,,3.14,,2017} 负数集：{−17,−4.7,−,−19}； 分数集：{25%,−4.7,,3.14,−} 有理数集：{−17,25%,−4.7,,3.14,0,−,,2017,−19} 5.下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 【分析】理数是分数和整数的统称，有理数分为正有理数，负有理数和零，非负数是大于或等于零的数，据此逐一判断即可． 解：A、正有理数，负有理数和零统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、非负数是正数或者零，原说法错误，故此选项不符合题意； C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，原说法正确，故此选项符合题意； D、有理数包括整数和分数，原说法错误，故此选项不符合题意； 6.下列各数：15，−，−5，，0，π，−5.32，1.中． (1)非负有理数有________________ (2)非负整数有________________ (3)非正整数有________________ 解：(1)15，，0，1.7 ̇；(2)15，0；(3)−5，0 【设计意图】通过“开放性、探究性、情境化”的题目，引导学生迁移运用所学知识，在较高层次上理解“有理数”这一概念的本质和分类方法，培养学生的发散思维、归纳能力与数学表达能力。 主板书 1.2.1 有理数的概念 探究点1 整数与分数的概念 探究点 2　有理数的概念 探究点 3　有理数的分类 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $