第2章 整式及其加减全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材华东师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦整式加减全章高频题型，构建"概念辨析-运算应用-综合提升"三阶训练体系，强化抽象能力与运算能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|5题型25题|单项式/多项式概念、合并同类项等基础题型|从整式概念生成到加减运算规则的递进| |核心提升|3题型15题|化简求值、无关型问题、实际应用|运算技能向代数推理与模型应用的拓展| |题型专练|3类30题|含规律探索、跨情境应用等综合题|通过变式训练深化符号意识与逻辑推理|

第2章 整式及其加减全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1：单项式与多项式的概念 题型2：整式的相关概念 题型3：合并同类项 题型4：整式的加减运算 题型5：规律探索 核心提升：重难题型归纳 题型1：整式加减中的化简求值 题型2：“与......无关”型问题 题型3：整式加减的应用 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 单项式与多项式的概念 1．下列各式：，，，，，，，中，是单项式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据单项式定义逐个判断即可，注意是常数不是字母，分母含字母的式子不是单项式，多项式不属于单项式． 【详解】解：根据单项式的定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式， ∵ 是数与字母的积，∴是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 展开后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 是常数，是常数与字母的积，∴是单项式； ∵ 整理后为，是两个单项式的和，属于多项式，∴不是单项式； ∵ 分母含有字母，∴不是单项式； ∵ 是常数，是单独的常数，∴是单项式； ∵ 是单独的常数，∴是单项式； 综上，符合要求的单项式共有个． 2．单项式的系数和次数分别是（   ） A．，2 B．，3 C．，2 D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的系数与次数的定义，解题的关键是明确单项式系数（数字因数）和次数（所有字母指数和）的概念． 根据单项式系数和次数的定义，找出的数字因数作为系数，计算所有字母的指数和得到次数，再匹配选项． 【详解】解：单项式 的数字部分是 ， 系数为 ． 又变量 的指数为 2， 的指数为 1， 次数为 ． 故选 D． 3．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 4．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【分析】根据单项式的系数、次数，同类项，多项式的项、次数的定义，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 5．下列说法中正确的是（    ） A．的系数是，次数是6 B．单项式的系数是，次数是9 C．多项式的次数是8，项数是3 D．是二次四项式 【答案】C 【详解】解：A、的系数是，次数是3，故A不符合题意； B、单项式的系数是，次数是，故B不符合题意； C、多项式的次数是8，项数是3，故C符合题意； D、是二次三项式，故D不符合题意． ◆题型2 整式的相关概念 6．在，，，，，0，，中，整式的个数是（   ） A．3个 B．6个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，正确理解单项式和多项式统称为整式是解题的关键． 根据整式的定义进行判断即可． 【详解】解：是多项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 因为除数是字母，所以不是整式． 是单项式，属于整式． 是单项式，属于整式． 是多项式，属于整式． 因为除数是字母，所以不是整式． 综上所述：整式的个数共有6个； 故选：B ． 7．下列说法正确的是（   ） A．是六次单项式 B．的项是、3x，1 C．3与不是同类项 D．是整式 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式、多项式与单项式和同类项、正确把握多项式的次数确定方法是解题关键． 直接利用同类项、单项式、多项式以整式的相关定义分析得出答案． 【详解】解：A、是单项式，次数是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、是多项式，每一项是、，1原说法错误，故此选项不符合题意； C、3与都是常数，是同类项，原说法错误，故此选项不符合题意； D、，是二次多项式，属于整式原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：D． 8．下列说法：①的系数是；②多项式是二次三项式；③的常数项为；④在，，，，中，整式有个．其中正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了单项式、多项式和整式，根据单项式、多项式的有关概念及整式的定义逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：①的系数是，该选项说法错误； ②多项式是三次三项式，该选项说法错误； ③的常数项为，该选项说法错误； ④在，，，，中，整式有，，，共个，该选项说法正确； ∴正确的有个， 故选：． 9．在下列说法中，正确的是（   ） A．不是整式 B．系数是2，次数是2 C．是单项式 D．多项式的次数是8 【答案】C 【分析】本题考查了整式的认识、单项式的次数和系数以及多项式的次数，熟练掌握相关定义是解题的关键； 整式包括单项式和多项式，单项式的数字因数是系数，字母的指数和是次数，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是整式，此选项不符合题意； B、系数是，次数是，此选项不符合题意； C、是单项式，此选项符合题意； D、多项式的次数是，此选项不符合题意； 故选：C 10．（多选）下列语句正确的是（   ） A．一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的系数． B．有限个单项式求和得到的代数式叫作整式．单项式也是整式． C．单项式就是一次式． D．一个五次整式与一个五次整式的和是一个次数不大于五次的整式． 【答案】BD 【分析】本题考查单项式的次数，单项式与多项式，整式的概念，整式的加减，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数，故选项不正确； B．有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，单项式也是整式，故选项正确； C．单项式并不一定是一次式，故选项不正确； D．一个五次整式与一个五次整式的和是一个次数不大于五次的整式，故选项正确； 故选：BD． ◆题型3 合并同类项 11．如果单项式与的差仍然是一个单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的差仍为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：由题意可知，单项式与是同类项. 故， 解得，. 将，代入得： . 12．若多项式合并同类项后的结果是3，则的值为（   ） A． B． C．10 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项． 合并后结果为常数，说明含x、y的项的系数均为0，据此求出a、b的值，再计算即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后的结果是3， ∴含x的项系数为0，含y的项系数为0， 即，， 解得，， ∴． 故选：A． 13．如果单项式与的差是单项式，那么的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查了由同类项求参数，两个单项式的差为单项式，则它们必须是同类项，即相同字母的指数相同，由此列出方程求解m和n，再计算的值，最后算乘方即可． 【详解】解：单项式与的差是单项式， 它们为同类项， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：1． 14．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接合并同类项即可； （2）原式先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．化简的结果为（   ） A．0 B． C．m D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项，弄清式子的规律是解本题的关键． 与结合，与结合，以此类推相减结果为，得到253对与的和，计算即可得到结果． 【详解】解： 故选：B． ◆题型4 整式的加减运算 16．已知，，，，求的值． 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 17．的结果是________． 【答案】 【分析】先去括号，再合并即可； 【详解】解： ． 18．计算： 【答案】 【详解】解： ． 19．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ， ； （3）解：， ， ； （4）解： ， ． 20．一个多项式加上的2倍等于，求这个多项式． 【答案】 【分析】这个多项式为，化简求解即可． 【详解】解：根据题意，得这个多项式为：， ． ◆题型5 规律探索 21．已知为实数，规定运算：，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入进行计算，可知数列3个为一次循环，按此规律即可进行求解． 【详解】解：由题意可知，时，，，，，…， 其规律是3个为一次循环， ∵， ∴． 22．活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）．按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要火柴棒的根数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴，进而求出摆条小鱼需要火柴棒的根数． 【详解】解：观察图形可知：第一个图形有根火柴，后一个图形比前一个图形多根火柴， ∴摆条小鱼需要火柴棒的根数为根． 23．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 24．（1）有一列数2，9，8，2，6，…从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．这列数中的第2012个数是( )． （2）1，8，27，64，…这列数中第n个数是( )． 【答案】 4 【分析】（1）根据规则写出数列，找到循环规律，通过计算余数确定第2012个数； （2）分析每个数和对应序号的关系，推导第n个数的表达式。 【详解】解：（1）按照题目规则写出数列找循环：前两个数是，，从第三个数起依次计算：，个位是，即第三个数是；，个位是，即第四个数是；，个位是，即第五个数是；，个位是，即第六个数是；，个位是，即第七个数是；，个位是，即第八个数是；，个位是，即第九个数是，开始重复前面第三个数的结果；因此，去掉前个不参与循环的数，循环节为，长度为。计算：，，没有余数，因此第个数对应循环节的最后一个数，即； （2）观察数列规律：第个数为，第个数为，第个数为，第个数为，以此类推，第个数为． 25．已知一列数，，，…满足，，，，…，依此类推，则，，…，，这2022个数的积为________． 【答案】 【分析】先根据递推公式计算前几项，得到数列的循环周期，计算出一个周期内三个数的乘积，再根据是周期的整数倍计算总乘积． 【详解】解：∵ ， ∴． ∵, ∴． ∵, ∴， 由此可知，数列每个数为一个周期循环. 计算一个周期内三个数的乘积：． ∵，即个数包含个完整的周期， ∴这个数的积为． ◆题型1 整式加减中的化简求值 26．先化简，再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，原式的值为 【详解】解： 当，时， 原式 27．若，则代数式___________． 【答案】4050 【分析】先化简所求代数式，将其整理为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 28．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式； 当时，原式. 29．先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式的代入求值．先进行整式的加减运算，先去括号，再合并同类项，根据同类项的含义列方程解得，，将数值代入化简后的代数式计算即可得到答案． 【详解】∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ， 当，时， 原式． 30．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对原式去括号、合并同类项得到最简结果，再利用平方和绝对值的非负性求出的值，代入最简结果计算即可得到最终答案． 【详解】解：原式 ， ∵，，且， ∴，， 解得， 将，代入， 得． ◆题型2 “与......无关”型问题 31．如果关于x的多项式中不含项，则k的值为（   ） A．0 B．3 C． D．3或 【答案】D 【分析】根据不含项即该项系数为0，先合并同类项再列方程求解． 【详解】解：， ∵多项式不含项， ∴， ∴， ∴或． 32．已知：．（为常数） (1)若不含项，求出的值； (2)在（1）的基础上化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先代入A、B计算，合并同类项后，根据不含项即项的系数为0，求解的值； （2）将（1）得到的代入，计算，合并同类项得到化简结果． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ， 解得． （2）解：当时， ， ， ． 33．当=______时，关于的多项式中不含有项． 【答案】 【分析】当多项式不含某一项时，该项合并同类项后的系数为，先合并多项式中的同类项，再令项的系数为，即可求解的值。 【详解】解：对多项式合并同类项得： ， 多项式不含有项， 项的系数为，即， 解得． 34．如果多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次．求m，n的值． 【答案】， 【详解】解：原式 ； ∵多项式的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次， ∴， ∴，． 35．已知，，且的值不含a的一次项，求m的值． 【答案】 【详解】解： 因为的值不含a的一次项 所以 解得． ◆题型3 整式加减的应用 36．某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 【答案】 总运费最少为23400元． 【分析】设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨，根据题意，求出的范围，列出代数式，表示出总运费，即可得出结果． 【详解】解：设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨， 又因为运输到每个地方的水泥数量都为非负数， 所以， 由题意，总运费为 元； 因为， 所以当时，总运费最小为元． 答：总运费最少为23400元． 37．对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记． (1)最小的“叁叁数”是_____． (2)已知都是“叁叁数”，其中（，且a，b，c，d，均为整数），若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则的值为多少？ 【答案】(1)4125 (2)6314 【分析】（1）设，，则，要取最小的“叁叁数”，则a取最小值4，则b最小值为1，又各个数位上的数字均不为零且互不相等，所以d取最小值5，则c最小值为2，从而求得结果； （2）先表示出，从而得，然后求出，则有，然后可得或或或，再求出，即可求出结果． 【详解】（1）解：设， ， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴要取最小的“叁叁数”，则a取最小值4，则b最小值为1， d取最小值5，则c最小值为2， 最小的“叁叁数”是4125； （2）解：设，， ． ， ， ， ，， ， 除以5的余数为1，， 或， 当时，不是“叁叁数”舍去， 当时，， ， 或或或， 即或或或， ∵b，c均为正整数， 或（舍） ， 若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则s的值为6314． 38．新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶．大垃圾桶单价元/个，小垃圾桶单价比大垃圾桶单价的多20元，此次预计采购大垃圾桶5个，小垃圾桶7个． (1)用含的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？ (2)若大垃圾桶单价为120元/个，学校预算1200元，是否够用？请说明理由． 【答案】(1)（元） (2)解：将代入得（元）， 因为， 所以学校预算够用． 【分析】（1）先根据小垃圾桶单价和大垃圾桶单价的数量关系，用含的代数式写出小垃圾桶的单价，因为总付款等于大垃圾桶总费用加上小垃圾桶总费用，所以分别计算两种垃圾桶的总费用后相加，化简得到总付款的代数式即可； （2）将代入第一问得到的总付款代数式，计算出实际总费用，如果计算出的实际总费用小于等于1200元，那么预算够用，反之则不够用． 【详解】【小题1】解：（元）； 【小题2】略． 39．阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 40．数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值．探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为 ；将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为 ； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，， ， 可得 ， ， 则 ； (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B两题中任选一题作答． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由； B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)0；0 (2)；；；0 (3)选择A；的值均为0，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为0． 选择B；的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴， ∴的值均为． 【分析】（1）把去括号，计算即可得答案；将的方框移动到图1中的其他位置，根据题目情境即可列式，去括号计算即可得答案为0，探究发现，无论移动到哪，总有：，，，进一步计算即可得答案． （2）设，根据题目情境，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． （3）选择A，设，根据“Z型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案；选择B，设，根据日历中用“Y型框”框住位置，用含的代数式表示出，，，代入计算即可得答案． 【详解】（1）解：， 将的方框移动到图1中的其他位置，如，则， 无论移动到哪，总有：，，， ∴． （2）解：设，根据题意得：，，， ∴，， ∴． （3）略 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东茂名·期末）在下列说法中，正确的是（     ） A．的系数为 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．若与是同类项，则 【答案】D 【分析】直接利用单项式的定义以及多项式的次数和项数的定义，同类项的概念分别分析得出答案即可． 【详解】解：A选项，的系数为，原说法错误，不符合题意； B选项，的次数为5，原说法错误，不符合题意； C选项，的最高次项次数为3，是三次三项式，原说法错误，不符合题意； D选项，∵与是同类项， ∴，， ∴，原说法正确，符合题意. 2．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 【答案】B 【分析】设甲、乙机器人数量为正整数x、y，用x、y表示A、B零件总数a、b，推导是9的倍数，从选项中选9的倍数． 【详解】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x，y， 则，， ，一定是9的倍数， 359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除， 则的值可能为360． 3．（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）如图，按此规律，第行最后一个数字是，第（　　）行最后一个数是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每一行的最后一个数字分别是，，， 易得第行的最后一个数字为，求得最后一个数是在哪一行即可． 【详解】解：每一行的最后一个数分别是，，， ， ∴第行的最后一个数字为， ∴当时，， ∴第行最后一个数是． 4．（25-26九年级下·四川达州·期中）图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【分析】设，根据题意得到，，进而作差，利用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：设， 根据题意，，， ∴． 5．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）按照如下程序，输入x的值并计算．规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于0”为一次程序操作．若输入9，程序输出的值为（   ） A．73 B．75 C．72 D．70 【答案】A 【分析】根据程序框图，将代入计算，若结果不大于则继续代入计算，直到结果大于为止． 【详解】解：当时，， ， 需再次输入计算． 当时，， ， 输出结果为． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 二、填空题 8．（25-26六年级下·山东烟台·阶段检测）如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成一个新长方形．用含，的代数式表示拼成的长方形的周长______________． 【答案】 【分析】先根据题意画出新长方形，然后用代数式表示出新长方形的长和宽，进而可得新长方形的周长．本题考查了长方形的周长、列代数式问题，解题的关键是用代数式表示出新长方形的长和宽． 【详解】解：拿掉边长为的小正方形纸板后，剩下的三块拼成一个新长方形如图所示， 新长方形的长为，宽为， ∴周长为． 9．（25-26六年级下·山东泰安·期末）若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 【答案】4 【分析】根据题意可得的值，再把代入到得到，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，的值为， ∴， ∴， ∴当时， ． 10．（23-24七年级上·上海·阶段检测）一个多项式加上得到 ，则这个多项式是_____________． 【答案】 【分析】根据加法的含义列式，再计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ∴这个多项式是． 11．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）一个三位自然数，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字比十位数字大2，我们称这个三位自然数为“兄弟数”，记．比如，各位数字互不相等且均不为0，百位数字4比十位数字2大2，所以427是“兄弟数”，．当“兄弟数”取最小值时，_________，若一个“兄弟数”，使恰为7的倍数，则满足题意的最大“兄弟数”是_________． 【答案】 【分析】根据“兄弟数”定义确定最小，再计算；求最大“兄弟数”时从最大百位开始验证，结合整除条件得到结果． 【详解】解：∵“兄弟数”要求各位数字互不相等且均不为0，百位数字比十位数字大2，即，求最小的“兄弟数”时，优先让百位最小， ∵不为0，即， ∴，得最小为，对应， 再取最小的个位，不为0，且不等于、，得最小， ∴最小的“兄弟数”，． 设，则，，且互不相等， ∴， ∴， ∵是7的倍数， ∴能被7整除，整理得能被7整除。 要找最大的“兄弟数”，优先让尽可能大，最大为，此时，代入得，要求能被7整除， 可得，即，下一个符合条件的超出个位数范围，舍去， 此时，互不相等且均不为0，满足所有条件，所以满足题意的最大“兄弟数”是． 三、解答题 12．（25-26七年级上·陕西西安·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 13．（22-23七年级下·广西柳州·开学考试）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了其中一个多项式，形式如下．试问：老师用手捂住的多项式是什么？ 【答案】 【详解】解：老师用手捂住的多项式是． 14．（24-25七年级上·广东茂名·期末）某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； (1)某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 【答案】(1)； (2)方案一收费方式比较合算．通话5小时时，方案一费用为150元，方案二费用为180元． 【分析】（1）根据两种方案，列出代数式即可； （2）求出两种方案所需费用，比较大小即可. 【详解】（1）解：方案一收费方式下应支付的费用为元，方案二收费方式下应支付的费用为元； （2）解：方案一收费方式比较合算，理由如下： 5小时300分钟， 当时， 方案一应支付的费用：（元）， 方案二应支付的费用：（元）， ， 方案一收费方式比较合算， 答：当一个月打电话的时间为5小时，方案一收费方式比较合算． 15．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （2）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合平方数的非负性判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （3）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章整式及其加减全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1：单项式与多项式的概念 题型2：整式的相关概念 题型3：合并同类项 题型4：整式的加减运算 题型5：规律探索 目核心提升：重难题型归纳 题型1：整式加减中的化筒求值 题型2：“与…无关”型问题 题型3：整式加减的应用 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1单项式与多项式的概念 2x-1121 1.下各式：2am2xx-,3b?2中，是单项式的有 A.7个 B.6个 c.5个 D.4个 y 2.单项式4 的系数和次数分别是() 1 1 A.42 B.43 C.4,2 D. 4,3 3.在式子①ab2c3,②a2-b,③ b2-2b+1 ③，④- ，®驰0b1中下列结论正确的是（） A.①、③是单项式 B.②、⑤是多项式 C.②④⑤都是多项式 D.都是整式 4.下列说法中正确的是() 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。1 A.单项式的次数为1，系数是写 B.单项式2mn和3nm是同类项 C.多项式2xy+3xy-4是二次三项式 D.多项式-x2+2x-1的项是-x2,2x和1 5.下列说法中正确的是() A.-2x2y的系数是-2，次数是6 B.单项式-πam2b7-m的系数是几，次数是9 C.多项式-5xy+4x2+π的次数是8，项数是3 D. 2-2b+4是二次四项式 ◆题型2整式的相关概念 a2+b2 5在y+1,号，-Xy,吧-1，-8x,0,3一，m+中，整式的个数是 c n A.3个 B.6个 C.4个 D.5个 7.下列说法正确的是() A.-2π2ab是六次单项式 B.6x2-3x+1的项是6x2、3x,1 C.3与π不是同类项 D.受-1见整式 8.下列说法：①3 的系数是3；②多项式2x+Xy+3y是二次三项式；③2x2-2x+4的常数项为-4： @在，2x+4y,子a6,头，0中，秘式有3个，其中正确的有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.在下列说法中，正确的是() m2n3 A.5 不是整式 B系数是2，次数是： C.-1是单项式 D.多项式-π3x2y3+4xy2-1的次数是8 10.(多选)下列语句正确的是() A.一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的系数. 219 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.有限个单项式求和得到的代数式叫作整式.单项式也是整式。 C.单项式就是一次式 D.一个五次整式与一个五次整式的和是一个次数不大于五次的整式 ◆题型3合并同类项 11.如果单项式-x3ym2与xy的差仍然是一个单项式，则m-n= 12.若多项式6x+3+ax+4y-by合并同类项后的结果是3，则a+b的值为() A.-2 B.-6 C.10 D.6 13.如果单项式xy与2xy”的老是单项式，那么m+n的值为 14.化简： o吃mn-am号mn+名m, 6 (2)23xy2-2x2y-32xy2-x2y+4xy2-2x2y: 15.化简m-3m+5m-7m+… ·的结果为() A.0 B.507m C.m D.以上答案都不对 ◆题型4整式的加减运算 16.已知，A=a3-a2-a,B=a-a2-a3,C=2a2-a,求A-2B+3C的值. 17.3x2-2x-x2-3x+1的结果是 18计，3ab-ab-3ab号b+迪j3a 19.先去括号，再合并同类项： (1)5a-a+3b: (2)a2+2ab+b2-a2-2ab+b2; (3)32x2-y2-23y2-2x2: (4-x2+5x+4+25x-4+2x2. 20.一个多项式加上2x2y-3xy2-2X+1的2倍等于4x2y+5xy2+3x-2y+5,求这个多项式. ◆题型5规律探索 21.已知1为实数，规定运算：，=1- a,a,s1-1 a,a,1-1 aan=1一一，按上述方法 3/9 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 计算：当a1=3时，a202s的值等于() 2 A.3 B.3 D.3 22.活动课上，小亮用火柴棒摆成了“小鱼”（如下图）·按照这样的规律摆下去，摆条“小鱼”需要 火柴棒的根数是()· A.8+6(n-1)B.8+6(n+1) C.8+6n-1 D.8+6n 23.有一列式子，按一定规律排列成2a2,-4a5,8a3,-16aⅡ，32a“,…,则第n个式子为() A.-2"a3n-1 B.(-2"a-1 C.-1Pa3-1 D.-1+12”a3n-1 24.(1)有一列数2,9,8,2,6，…从第三个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字.这列数中 的第2012个数是( (2)1,8,27,64,…这列数中第n个数是( 1 1 25.已知一列数a,a2,a，…满足a1=2,a=1 1. 1 1-a1 a3 1-a’ a4=1-a,…,依此类推，则a1,a, …,a2022,这2022个数的积为 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1整式加减中的化筒求值 26.先化简，再求值：×2y-2xy-4y+2xy-y.共中X=-1,y=克 27.若2x+3y=2025,则代数式23x-2y-x-y+-x+9y= 28.先化简，再求值：2x2+4x-3-4x-x2,其中x=-3. 29.先化简，再求5ab2-6a2b-3ab2+2a2b的值，其中单项式3x2y与-2x1-y3b-1是同类项. 30.先化商，再求值：53b-ab-3-a5+3ab。共中a+1心+b2-0, ◆题型2“与…无关”型问题 31.如果关于x的多项式3x3+k2x2-9x2+3x-9中不含x2项，则k的值为() A.0 B.3 C.-3 D.3或-3 32.已知：A=ax2-x+1,B=3x2-2x+4.(a为常数) (1)若2A+B不含x项，求出a的值： 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在(1)的基础上化简：B-4A. 33.当k= 时，关于x,y的多项式-x2+2kxy-4y+xy-5x+1中不含有y项. 34.如果多项式5x2-y+1-mx2-3x2+1的值与x的取值无关，且该多项式的次数是三次.求m,n的 值. 35.已知A=2a+3ma-2a-2,B=a+ma-1,且A-B的值不含a的一次项，求m的值. ◆题型3整式加减的应用 36.某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥， Y市需要60吨水泥.而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥 已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请 求出总运费最少为多少元？ 终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 37.对于任意一个四位正整数m,若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位 上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”m的千位、十位上的数字 交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数m,记Fm=m+m 1111 (1)最小的“叁叁数”是 (2)已知s,t都是“叁叁数”，其中s=1000a+100b+10c+d,t=1100x+3036(1≤b,c,x≤6，且a, b,c,d,x均为整数)，若3Fs+2Ft+7b为完全平方数，且满足Ft除以5的余数为1，则s的值为多 少？ 38.新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶.大垃圾桶单价元/个，小垃圾桶 单价比大垃圾桶单价的多20元，此次预计采购大垃圾桶5个，小垃圾桶7个. (1)用含m的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？ (2)若大垃圾桶单价为120元/个，学校预算1200元，是否够用？请说明理由. 39.阅读与思考 如图1是2026年1月份的日历，乐乐在其中画出一个3×3的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图2 所示位置的四个数“b+c-a+d”的值，探索其运算结果的规律， 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四 五 六 日 2 3 4 5 6 个 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 a b 19 20 21 22 23 24 25 26 27282930 31 d 图1 图2 (1)初步分析：计算图1中8+20-6+22的结果为_ 将3×3的方框移动到图1的其他位置，通过计算可以发现b+c-a+d的值为_， (2)数学思考：乐乐认为(1)中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整. 解：设a=x,则b=x+2,c=,d=_. (b+c)-a+d) 所以，b+c-a+d的值为_。 (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个3×3方框中的日期看不到了，但他记得在 探究过程中方框中a+b+c+d=64,请你类比(2)中探究思路帮乐乐求出a的值， 40.数学活动-探究日历中的数字规律：如图1是2025年1月份的日历，小乐在其中画出一个3×3的方框 (粗线框)，框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“b+c-a+d”的值.探索其运算结果的 规律」 日一三 四五六 1234 567891011 12131415161718 a b a b 19202122232425 ab 2627282930 d c d d 图1 图2 图3 图4 (1)初步分析：计算图1中10+22-8+24的结果为_：将3×3的方框移动到图1中的其他位置，通过计算 可以发现b+c-a+d的值均为_： (2)数学思考：小乐认为(1)中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整. 解：设a=x,则b=x+2,c=x+14,d=, 可得b+c=,a+d=, 则b+c-a+d=_: (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历，继续进行如下探究.请从下列A、B两题中任 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 选一题作答. A.在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数，探究“b+C-a+d”的值的规律，写出你的 结论，并说明理由： B.在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数，探究“b+c-a+d”的值的规律，写出你的 结论，并说明理由。 题型专练 高频重难特训 一、单选题 1.(24-25七年级上·广东茂名·期末)在下列说法中，正确的是（) 22a3b A.5 的系数为 B.-2πx的次数为6 C.2x3-y2+34是四次三项式 D.若7x2y与-3yx是同类项，则b=8 2.(25-26九年级下山东济南·自主招生)某科技公司研发了两款机器人甲和乙.已知甲机器人需要A零 件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个，现生产两款机器人共使用A零件a个，B零 件b个，则a+b的值可能为() A.359 B.360 C.361 D.362 3.(26-27七年级上广东深圳开学考试)如图，按此规律，第6行最后一个数字是16，第()行最 后一个数是2020 1 234 34567 45678910 … A.673 B.674 c.1008 D.1010 4.(25-26九年级下·四川达州期中)图1是长为a,宽为b(>b)的小长方形纸片，将6张如图1的纸 片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影 部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1,S2,若a=8,b=4,则S1-S2的值是() S2 图1 图2 A.8 B.16 C.32 D.64 5.(25-26七年级下·湖北襄阳·期末)按照如下程序，输入x的值并计算.规定从“输入一个数x到“判 719 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 断结果是否大于0为一次程序操作.若输入9，程序输出的值为() 是 输入/ ×3 -2 >70 输出 否 A.73 B.75 C.72 D.70 6.(25-26七年级下·安徽合肥·期末)若x2-4x-4=0,则-2x2+8x+14的值为() A.-6 B.6 C.22 D.-22 7.(25-26七年级下-山东德州阶段检测)已知7Xy与-x“y2+是同类项，那么a+b的值是 1 () A.1 B.3 C.-3 D.-1 二、填空题 8.(25-26六年级下山东烟台阶段检测)如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两 个长方形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成一个新长方形.用含m,的代数式表示拼 成的长方形的周长 m n 9.(25-26六年级下山东泰安期末)若当x=1时，ax3-2bx+3的值为2，那么当x=-1时， ax3-2bx+3的值为 10.(23-24七年级上·上海阶段检测)一个多项式加上-3+x-x得到x2-5x-7,则这个多项式是 11. (25-26七年级下.重庆荣昌·期末)一个三位自然数m=bc,其各位数字互不相等且均不为0，百位数 字比十位数字大2，我们称这个三位自然数为“兄弟数”，记Fm=a+bc.比如m=427,各位数字互不 相等且均不为0，百位数字4比十位数字2大2，所以427是“兄弟数”，F427=4+27=31.当“兄弟 数”m取最小值时，Fm= ,若一个“兄弟数”m,使Fm-5恰为7的倍数，则满足题意的最 大“兄弟数”是 三、解答题 12.(25-26七年级上陕西西安期末)先化简，再求值：x3-y2+3x-y2-x-3y2+x3,其中x=-3, 819 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=-2. 13.(22-23七年级下·广西柳州·开学考试)老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手捂住了其中 一个多项式，形试知飞号ab-2ab+abh7-2b+ab 试问：老师用手捂住的多项式是什么？ 14.(24-25七年级上：广东茂名·期末)某电信公司手机收费有两种方案. 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟： ()某用户某月打电话时间为x分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为 元：方案二收费方式下 应支付的费用为 元 (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 15.（25-26七年级下.宁夏中卫期末)【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式 的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一， 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小. 对于任意的两个代数式A,B要比较大小，只要计算A-B的值，即若A-B>0,则A>B;若A-B=0, 则A=B;若A-B<0,则A<B,反过来也成立， 【解快月国1的室号和名的大小我阿以用号爱引9名-高0，即号冒 6.7 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若a-b>0,则4a+3b 3a+4b;(填“><”或“=) (2比较2x2-X+1与x2-X-3的大小： 试比较A与B的大小. 919函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章整式及其加减全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1：单项式与多项式的概念 题型2：整式的相关概念 题型3：合并同类项 题型4：整式的加减运算 题型5：规律探索 目核心提升： 重难题型归纳 题型1：整式加减中的化筒求值 题型2：“与…无关”型问题 题型3：整式加减的应用 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1单项式与多项式的概念 1.D 2.D 3.B 4.B 5.c ◆题型2整式的相关概念 6.B 7.D 8.A 9.C 1/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.BD ◆题型3合并同类项 11.-4 12.A 13.1 2 21 14.(05mn-3mn (2)4xy2-9x2y 15.B ◆题型4整式的加减运算 16.3a3+7a2-6a 17.4x2-5x-1 18.a2b+2ab2+2ab 19.(1)4a-3b (2)4ab 3)10x2-9y2 (4)3x2+15x-4 20.11xy2+7x-2y+3 ◆题型5规律探索 21.C 22.A 23.D 24. 4 25. 1 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1整式加减中的化简求值 26. 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 化简结果为x2y+2y, 原式的值为2 27.4050 28.6x2-3,51 29.8ab2,-32 30.6ab-2ab,2 ◆题型2“与无关”型问题 31.D 0a=号 (2)9x2+2x 33. -1 34.m=-2,n=2 35.m=1 ◆题型3整式加减的应用 36. 总运费最少为23400元. 37.(1)4125 (2)6314 17 38.(102m+140(元) (②)解：将m=120代入得 17x120+140=1160(元)， 因为1160<1200， 所以学校预算够用。 39.(1)0,0 (2)x+14,x+16, =x+2+x+14-x+x+16, =X+2+x+14-x-X-16, =0, 3/5 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 (3)a=8 40.(1)0:0 (2)x+16;2x+16:2x+16:0 (3)选择A;b+c-a+d的值均为0，理由如下： 设a=x,则b=x+1,c=x+8,d=x+9, .b+c-a+d=x+1+x+8-x+x+9=2x+9-2x-9=0, .b+c-a+d的值均为o. 选择B:(b+c-a+d的值均为-5，理由如下： 设a=X,则b=x+2,c=x+8,d=x+15, :.b+c-a+d=x+2+x+8-x+x+15=2x+10-2x-15=-5, .b+c-a+d的值均为-5 题型专练 高频重难特训 1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.B 7.A 8.4m 9.4 10.2x2-6x-4 11. 15 973 12.-y2+2x,-10 13.3ab-ab2 14.(①)30+0.4x:0.6x (2)方案一收费方式比较合算.通话5小时时，方案一费用为150元，方案二费用为180元. 4/5 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(1)> (2)2x2-x+1>x2-X-3 3)A<B 5/5