6.3 哪个团队收益大 同步讲义 2026-2027学年北师大版 数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦算术平均数与方差核心知识点，系统梳理算术平均数的定义、计算及与加权平均数的关系，衔接方差的概念、公式及反映数据波动的作用，为数据统计分析提供基础学习支架。 资料以“解题知识+典例+变式+过关验收”设计，典例结合箱线图考查平均数，变式融入射击成绩等实际情境，培养数据意识与运算能力。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生巩固知识，提升用数学思维分析数据的能力。

第6章 6.3 哪个团队收益大 内 容 导 航 题型1 算术平均数 题型2 方差 考 点 演 练 题型1 算术平均数 解｜题｜知｜识 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 【典例1】有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 C．墨水污染的数据有一个是15 D．这组数据的平均数是10 【变式1】若x1，x2，x3，x4的平均数为4，x5，x6，x7，⋯，x10的平均数为6，则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为（　　） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【变式2】若一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则a等于　 　 ． 【变式3】射击比赛中，某选手的10次射击成绩如表所示： 成绩/环 10 9 8 7 6 次数 3 4 1 0 2 则该选手的平均成绩是 　 　 环． 题型2 方差 解｜题｜知｜识 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】已知一个样本数据x1，x2，…，xn﹣1，xn的平均数和方差分别为，s2＝2，则新数据2x1+3，2x2+3，…，2xn﹣1+3，2xn+3的平均数和方差分别是（　　） A．9 4 B．9 8 C．6 4 D．6 7 【变式1】某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为196cm的队员换下场上身高为190cm的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【变式2】某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式3】甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 过 关 验 收 1．已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在函数y＝2x﹣5的图象上，若数据x1，x2，x3的平均数为3，方差是2，则另一组数据y1、y2、y3的平均数是　 　 ，方差是　 　 ． 2．求一组数据方差的算式为：s2[]．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 3．已知一组数：3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为M，方差为N，那么数组：x1，x2，x3，x4的平均数及方差分别是（　　） A．3M+2，9N B．， C．， D．， 4．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（　　） A． B． C． D． 5．某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差s2＝38.4．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分．该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（　　） A．平均分和方差都不变 B．平均分不变，方差变大 C．平均分不变，方差变小 D．平均分和方差都改变 6．初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如下： 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 那么被遮盖的两个数据依次是（　　） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 8．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是　 　 （填“甲”或“乙”）． 9．某中学八年级（1）班甲、乙两名学生参加同一学期的五次数学测试，两人的平均分和方差分别为 ，，，，那么成绩较稳定的是 　 　 ． 10．小丽计算数据方差时，使用公式s2[（5）2+（8）2+（13）2）2+（15）2]，则公式中　 　 ． 11．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是　 ． 12．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，将多轮选拔赛的成绩的数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差s2如下表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，那么应选择的学生是　 　 ． 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 s2 1 1 1.2 1.3 13．已知数据1，2，4，4，6，x的平均数为4，则这组数据的方差为　 　 ． 14．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么3，4，6，m+1，n+1五个数据的方差是　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.3 哪个团队收益大 内 容 导 航 题型1 算术平均数 题型2 方差 考 点 演 练 题型1 算术平均数 解｜题｜知｜识 （1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标． （2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数． （3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数． 【典例1】有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法错误的是（　　） A．这组数据的下四分位数是4 B．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 C．墨水污染的数据有一个是15 D．这组数据的平均数是10 【答案】D 【解答】解：有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，15，10，4，4，11，则： A．由图可知这组数据的下四分位数是4，说法正确，故该选项不符合题意； B．由箱线图可知最小值是3，最大值是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法正确，故该选项不符合题意； C．由B可知其中两个★分别为3和18，将最后一个未知的★外的数据进行排列，得3，4，4，4，7，10，11，14，15，17，18， 由上四分位数是15，共12个数据，则从小到大排列后的第9和第10个数据的平均数为15，只有当最后个未知的★＝15时，从小到大排列后的第9和第10个数据的平均数为15，则被墨水污染的数据有一个是15，说法正确，故该选项不符合题意； D．这组数据的平均数是，说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】若x1，x2，x3，x4的平均数为4，x5，x6，x7，⋯，x10的平均数为6，则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为（　　） A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4 【答案】C 【解答】解：x1+x2+x3+x4＝16， x5+x6+x7+x8+x9+x10＝36， 则x1，x2，x3，⋯，x10的平均数为： ＝5.2， 故选：C． 【变式2】若一组数据为4，2，a，5，1，这组数据的平均数为3，则a等于　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：由题意得，a＝3×5﹣4﹣2﹣5﹣1＝3． 故答案为：3． 【变式3】射击比赛中，某选手的10次射击成绩如表所示： 成绩/环 10 9 8 7 6 次数 3 4 1 0 2 则该选手的平均成绩是 　8.6　 环． 【答案】8.6． 【解答】解：该选手的平均成绩是（10×3+9×4+8+6×2）＝8.6（环）， 故答案为：8.6． 题型2 方差 解｜题｜知｜识 （1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． （2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是： s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”） （3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【典例1】已知一个样本数据x1，x2，…，xn﹣1，xn的平均数和方差分别为，s2＝2，则新数据2x1+3，2x2+3，…，2xn﹣1+3，2xn+3的平均数和方差分别是（　　） A．9 4 B．9 8 C．6 4 D．6 7 【答案】B 【解答】解：由题意，得， ， 新数据平均数为 ＝9， 新数据方差为 ＝8， 故选：B． 【变式1】某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为196cm的队员换下场上身高为190cm的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（　　） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】C 【解答】解：原数据的平均数为（190+194+198+200+202）＝196.8（cm）， 新数据的平均数为（196+194+198+200+202）＝198（cm）， 原数据的方差为[（190﹣196.8）2+（194﹣196.8）2+（198﹣196.8）2+（200﹣196.8）2+（202﹣196.8）2]＝15.464， 新数据的方差为[（196﹣198）2+（194﹣198）2+（198﹣198）2+（200﹣198）2+（202﹣198）2]＝8， 所以平均数变大，方差变小， 故选：C． 【变式2】某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解答】解：∵乙和丁的平均数最高，甲和乙的方差最小， ∴乙同学平均数最高且方差最小， 故选：B． 【变式3】甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（　　） A．甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B．甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C．乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D．乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【答案】D 【解答】解：根据方差、平均数的意义进行判断如下：甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定； 甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 过 关 验 收 1．已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在函数y＝2x﹣5的图象上，若数据x1，x2，x3的平均数为3，方差是2，则另一组数据y1、y2、y3的平均数是　1　 ，方差是　8　 ． 【答案】1；8； 【解答】解：当每一组数据的每一个数据发生变化其平均数也会发生变化， ∵y＝2x﹣5， ∴y1＝2x1﹣5，y2＝2x2﹣5，y3＝2x3﹣5， ∴另一组数据y1，y2，y3的平均数是数据x1，x2，x3的平均数的2倍并减去5， ∵数据x1，x2，x3的平均数为3， ∴数据y1，y2，y3的平均数是1， 设这组数据x1，x2，x3的平均数为，则另一组新数据2x1﹣5，2x2﹣5，2x3﹣5的平均数为，方差为， ∵， ∴ ＝4S2＝4×2＝8， 故答案为：1；8； 2．求一组数据方差的算式为：s2[]．由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．n的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【解答】解：∵这组数据为6、6，7、8、8， ∴n的值是5，故选项A说法正确，不符合题意； 该组数据的平均数是7，故选项B说法正确，不符合题意； 众数为6，8，故选项C说法错误，符合题意； 若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．已知一组数：3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为M，方差为N，那么数组：x1，x2，x3，x4的平均数及方差分别是（　　） A．3M+2，9N B．， C．， D．， 【答案】C 【解答】解：设x1，x2，x3，x4的平均数为a，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的平均数为3a+2＝M， 解得a； 设x1，x2，x3，x4的方差为b，则3x1+2，3x2+2，3x3+2，3x4+2的方差为32×b＝N， 解得， 故选：C． 4．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意得：甲所中学5名学生的成绩为70，80，80，70，90， 乙所中学5名学生的成绩为60，70，70，60，80， ∴， ， ， ， ∴，． 故选：B． 5．某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差s2＝38.4．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分．该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（　　） A．平均分和方差都不变 B．平均分不变，方差变大 C．平均分不变，方差变小 D．平均分和方差都改变 【答案】C 【解答】解：∵小亮的成绩和其他49人的平均数相同，都是9（0分）， ∴该班50人的测试成绩的平均分为9（0分）， ∴新数据的每个数据与平均数差的平方和保持不变，而总人数在原数据的基础上增加1， ∴新数据方差变小． 故选：C． 6．初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如下： 编号 1 2 3 4 5 方差 平均成绩 得分 38 34 ■ 37 40 ■ 37 那么被遮盖的两个数据依次是（　　） A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3 【答案】B 【解答】解：∵这组数据的平均数是37， ∴编号3的得分是：37×5﹣（38+34+37+40）＝36； 被遮盖的方差是：[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]＝4； 故选：B． 7．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是（　　） A．2， B．2，1 C．4， D．4，3 【答案】D 【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5＝2×5＝10． ∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是： ′[（3x1﹣2）+（3x2﹣2）+（3x3﹣2）+（3x4﹣2）+（3x5﹣2）][3×（x1+x2+…+x5）﹣10]＝4， s′2[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x5﹣2﹣4）2]， [（3x1﹣6）2+…+（3x5﹣6）2]＝9[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x5﹣2）2]＝3． 故选：D． 8．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，则这两种小麦长势更整齐的是　甲　 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲． 【解答】解：∵两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为， ∴， 由方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得：两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 9．某中学八年级（1）班甲、乙两名学生参加同一学期的五次数学测试，两人的平均分和方差分别为 ，，，，那么成绩较稳定的是 　乙　 ． 【答案】乙． 【解答】解：甲、乙两个班的平均分相同，而s甲2＞s乙2， 因此成绩较稳定的是乙． 故答案为：乙． 10．小丽计算数据方差时，使用公式s2[（5）2+（8）2+（13）2）2+（15）2]，则公式中　11　 ． 【答案】11 【解答】解：∵s2[（5）2+（8）2+（13）2）2+（15）2]， ∴11， 故答案为：11． 11．一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是　7.6　 ． 【答案】7.6． 【解答】解：由题意可知，这组数据为3，5，8，8，11， 平均数为， 则方差 ＝7.6． 故答案为：7.6． 12．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，将多轮选拔赛的成绩的数据进行分析得到每名学生的平均成绩及其方差s2如下表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，那么应选择的学生是　乙　 ． 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 s2 1 1 1.2 1.3 【答案】乙． 【解答】解：由条件可知乙、丙平均成绩高于甲、丁． ∵乙，，1＜1.2， ∴乙的方差更小，发挥更稳定． 故答案为：乙． 13．已知数据1，2，4，4，6，x的平均数为4，则这组数据的方差为　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为数据1，2，4，4，6，x的平均数为4， 所以（1+2+4+4+6+x）÷6＝4， 解得x＝7， 故这组数据的方差为：， 故答案为：． 14．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么3，4，6，m+1，n+1五个数据的方差是　2　 ． 【答案】2 【解答】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为1， 则原来的方差[（x1）2+（x2）2+…+（x5）2]＝2， 现在的方差[（x1+11）2+（x2+11）2+…+（x5+11）2] [（x1）2+（x2）2+…+（x5）2]＝2， 所以方差不变． 故答案为2． 学科网（北京）股份有限公司 $