立体几何线面、面面垂直证明专题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以垂直证明为主线，系统整合线面（直接/间接）、面面、线线垂直的判定与性质，提炼12种证明方法，形成“概念-定理-应用”三层逻辑链，培养空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面垂直(直接证明)|1例+5变式|勾股/余弦定理、特殊图形性质、三垂线定理|定义→判定定理→性质→三垂线定理应用| |线面垂直(间接证明)|1例+5变式|传递性、面面平行/垂直性质、线线-线面转化|判定定理拓展→多维度转化策略| |面面垂直的判定|1例+5变式|线面垂直证面面垂直|判定定理→线面垂直向面面垂直转化| |面面垂直的性质|1例+5变式|交线垂线证线面垂直|性质定理→面面垂直向线面垂直转化| |线线垂直|1例+5变式|三线合一、勾股逆定理、菱形/正方形性质、垂直性质|线面/面面垂直性质→线线垂直证明|

专题一线面垂直（直接证明：勾股、余弦定理、特殊图形） 1、直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线1与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直 线l与平面a互相垂直，直线I叫做平面a的垂线，平面a叫 ILa 做直线1的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 2、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与平面内的两条 、/a 相交直线都垂直，则这条直线与这 l⊥a 个平面垂直 3、直线与平面垂直的性质 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 →a∥b 图形语言 文字语言 两条平行直线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面 符号语言 →b⊥a 4、三垂线定理及其逆定理 (1)射影：已知空间中的平面@以及点A,过A作Q的垂线l,设1与a相交于点A',则A就是点A在平面 a内的射影也称为投影)；空间中，图形F上所有点在平面@内的射影所组成的集合F,称为图形F在平面 a内的射影 (2)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂 直 (3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平 面内的射影垂直. 【例1】(25-26高一下贵州铜仁期末)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形， 第1页共19页 ∠ABC=120°AB=2.AD=1,PB=PD=5且AD⊥PD D 2-- B 证明：AD⊥平面PBD; ABCD-ABCD中，B为 D中点，F为 B 【变式1-1】(25-26高一下北京期末)如图，在正方 中 BC⊥BCD 点，证明： 平面 D E A B D B 第2页共19页 【变式1-2】(25-26高二下.上海宝山·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱 PA⊥底面ABCD,E是PD的中点，F是AC的中点. B 证明：BD⊥平面PAC. 【变式1-3】(25-26高二上北京怀柔期中)如图，已知AB是圆的直径，A垂直于圆所在的平面，C为圆 上任意一点.求证：BC⊥平面AC. 第3页共19页 【变式1-4】25-26高一下·安徽蚌埠.期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PB=PC,AB=AC,D,E分别是 BC,PB的中点. D E D ⊙ 求证：BC⊥平面PAD 【变式1-5】如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA=PC=PD,AB/1CD,∠ADC=90°，O是AC的中 点 D 证明：PO⊥平面ABCD; 第4页共19页 专题二线面垂直（间接证明） 1.利用线面垂直的传递性： 2.借助面面平行的性质 3.运用面面垂直的性质： 4.通过证明直线垂直于平面内一组平行线中的一条且平面内存在与该组平行线相交的直线垂直于这条直线： 这是对线面垂直判定定理的灵活运用，本质是在平面内构造出两条相交直线与已知直线垂直。 5,利用线线垂直与线面垂直的相互转化：证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直又常需借助 线面垂直的性质，合理转化判定定理与性质定理是证明线面垂直的基本思想。 【例1】(25-26高一下·安徽蚌埠·期末)如图，在正方体 BCD-ABCD中，AB=2. BD⊥ ACD 证明： 平面 D B A D B 第5页共19页 【变式1-1】(25-26高一下新疆省直辖县级单位期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD ADIIBC,∠BAD=90°，AD=2BC,PA=AD=AB=2,E为PD的中点. E 求证：BC⊥平面PAB: 【变式1-2】(25-26高二上北京昌平·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形， PD上平面 BCD,AB=2PD=2 求证 .MCL平面PBD B 第6页共19页 【变式1-3】(25-26高一下宁夏银川期末)如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD 是正方形，PD=AB=2,E为PC中点， E D B 求证：DE⊥平面PCB: 【变式1-4】(25-26高二下河南洛阳期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB, AP=AC=2,D是PC的中点，DE⊥PB于E. 第7页共19页 E B 求证：PB⊥平面ADE: 【变式1-5】(25-26高一下·江苏准安·期末)己知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥平面ABCD,M 为PC的中点，平面PADO平面PBC=I. 公 D A B (1)求证：PAII平面MBD; (2)求证：1⊥平面PAB 第8页共19页 专题三面面垂直的判定 面面垂直 判定定理 文字语言 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 1⊥a→a1B IcB 注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直通常我们 将其记为“线面垂直，则面面垂直”·因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线 垂直问题以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可： 【例1】(25-26高一下·全国课前预习)在直三棱柱 BC-4C中，4C1BC求证：平面4BCL 平面 AACC C B B 第9页共19页 【变式1-1】(25-26高一下江苏南京期末)如图，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BCE,BE1EC，点 F为线段BE的中点 D 求证：平面ABE⊥平面ACE; 【变式1-2】(25-26高一下·云南德宏·期末)如图，在正三棱柱 BC-4BG中，点D是BC的中点 AB=AA=4 C B AB/I ADC (1)求证： 平面 第10页共19页 ADC⊥ BCC B (2)求证：平面 平面 【变式1-3】(25-26高一下湖南衡阳期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AD/IBC AB LBC AB-BC-1 AD=2.CD-2 PA-2 PAABCD P (1)求证：AB⊥平面PAD; (2)求证：平面PCD⊥平面PAC: 【变式1-4】(25-26高一下广东珠海阶段检测)如图，已知正三棱柱ABC-ABC1中，点P为BC的中点. A A B (1)证明：AB/平面APC: 第11页共19页 (2)证明：平面APC1⊥平面BCCB. 【变式1-5】(25-26高一下河北沧州期中)如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径， 点C在底面圆周上，点D为BC的中点. B长 ○ (1)证明：OD11平面PAC: (2)证明：平面POD⊥平面PBC. 第12页共19页 专题四面面垂直的性质 面面垂直 性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 图形语言 Q a⊥B IcB 符号语言 →1⊥ anβ=a l⊥a 【例1】(25-26高一下·青海西宁·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， 侧面PAD是正三角形，侧PAD⊥平面ABCD,M是PD的中点. D B 求证：AM⊥平面PCD: 【变式1-1】(25-26高一下湖北武汉期末)已知三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面 第13页共19页 PBC 求证：BC⊥平面PAB: 【变式1-2】(25-26高一下·青海西宁·期末)如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1, BD=V2BD⊥C ,将其沿对角线BD折成四面体4BCD,使平面4BDL平面BCD. B 求证：平面A'CD⊥平面A'BD: 第14页共19页 【变式1-3】(25-26高二下·云南楚雄期末)如图，AC=2ED,AC11平面EDB,AC⊥平面BCD,平面 ACDE⊥平面ABC, E B (1)求证：AC/ED: (2)求证：DC1BC: 【变式14】(25-26高一下·甘肃兰州期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD, BC1I平面PAD,PB⊥BC,∠PBA≠90°.用几何法证明： D B (1)AD/I平面PBC: (2)平面PBC⊥平面PAB. 第15页共19页 【变式1-5】(25-26高一下·青海西宁·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方 形，侧面PAD是正三角形，侧PAD⊥平面ABCD,M是PD的中点. B 求证：AM⊥平面PCD: 专题五线线垂直 证明线线垂直的方法 1. 等腰（边）三角形的三线合一证线线垂直 2. 勾股定理的逆定理证线线垂直 3. 菱形、正方形的对角线互相垂直 4. 线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直 【例1】(2026湖南长沙模拟预测)如图，底面是正方形的直棱柱 BCD-ABCD中，MB=3,MM=4 D D B 第16页共19页 AC⊥D,B 求证： 【变式1-1】(25-26高一下山东菏泽阶段检测)如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，G为 AD的中点，四边形ABCD是∠DAB=6O°且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面 ABCD.求证： B (1)BG⊥平面PAD: (2)AD⊥PB. 【变式1-2】(25-26高一下福建漳州阶段检测)S是矩形ABCD平面外一点，M,N分别是SM,BD的中点， S D N B (1)求证：MW/平面SBC, (2)若SD⊥平面ABCD,求证：AB⊥SA. 第17页共19页 【变式1-3】(25-26高一下全国期末)如图，在长方体 BCD-ABCD中，D=2MB,点E,F分别 是棱AD,BC的中点. A D C - A D E BD/1 ABE (1)求证： 平面 BE⊥平面 4AF (2)求证： 【变式14】(25-26高一下河北承德期末)已知平面1BCD 的轴截面，E是 002 是圆柱 上异于AB 的点，P为DE上的动点，1E=5MD=5,∠EAB=30 第18页共19页 D B E 证明：BE⊥AP: 【变式1-5】(25-26高一下·吉林延边期中)如图所示，在正方 ABCD-ABGD中，MB=1证明： D C A B AB//平面DBC (1)证明 (2)4D,1 BC 第19页共19页 线面、面面垂直专题 专题一线面垂直(直接证明:勾股、余弦定理、特殊图形) 1 专题二 线面垂直(间接证明) 7 专题三 面面垂直 12 专题四 面面垂直的性质 17 专题五 线线垂直 21 专题一线面垂直(直接证明:勾股、余弦定理、特殊图形) 1、直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 l⊥α 2、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直 ⇒l⊥α 3、直线与平面垂直的性质 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 文字语言 两条平行直线中有一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面 符号语言 ⇒b⊥α 4、三垂线定理及其逆定理 （1）射影：已知空间中的平面以及点A，过A作的垂线l，设l与α相交于点A'，则A'就是点A在平面内的射影(也称为投影)；空间中，图形F上所有点在平面内的射影所组成的集合F`，称为图形F在平面α内的射影. （2）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直. （3）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 【例1】（25-26高一下·贵州铜仁·期末）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且． 证明：平面； 【答案】， 在中，，由余弦定理得，解得， ，， 平面， 平面. 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理得到，结合勾股定理得到，再结合线面垂直的判定定理求解即可. 【变式1-1】（25-26高一下·北京·期末）如图，在正方体中，E为中点，F为中点，证明：平面；    【答案】因为平面，且平面所以. 侧面是正方形，正方形对角线互相垂直，因此. 又，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直 【分析】利用线面垂直及正方形对角线垂直，找平面内两条相交直线均与垂直，由判定定理得线面垂直； 【变式1-2】（25-26高二下·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．    证明：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图，连    平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 【变式1-3】（25-26高二上·北京怀柔·期中）如图，已知AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C为圆上任意一点．求证：平面PAC． 【答案】证明见解析 【详解】因为平面ABC，平面PAC，所以平面平面ABC． 因为AB是圆的直径，所以． 因为平面ABC，平面平面，所以平面PAC． 【变式1-4】25-26高一下·安徽蚌埠·期末）如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点． 求证：平面． 【答案】见解析. 【详解】证明：由题知,D是的中点, , 平面,平面且, 故平面得证. 【变式1-5】如图，在四棱锥中，已知是的中点. 证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】是的中点，， 连接，，， 在和中，，， ，， 平面，平面. 专题二 线面垂直(间接证明) 1.利用线面垂直的传递性： 2.借助面面平行的性质 3.运用面面垂直的性质： 4.通过证明直线垂直于平面内一组平行线中的一条且平面内存在与该组平行线相交的直线垂直于这条直线：这是对线面垂直判定定理的灵活运用，本质是在平面内构造出两条相交直线与已知直线垂直。 5.利用线线垂直与线面垂直的相互转化：证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直又常需借助线面垂直的性质，合理转化判定定理与性质定理是证明线面垂直的基本思想。 【例1】（25-26高一下·安徽蚌埠·期末）如图，在正方体中，． 证明：平面； 【答案】在正方体中，连结， 由平面平面， 所以， 又， 平面，且， 因此平面， 又平面，因此， 同理，， 又平面，且， 平面． 【变式1-1】（25-26高一下·新疆省直辖县级单位·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． 求证：平面； 【答案】证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． 【知识点】证明线面垂直 【分析】先证垂直平面内两条相交直线、，再由线面垂直判定定理推出平面； 【变式1-2】（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面．求证：平面；    【分析】证明即可得证； 【答案】因为平面，又因为平面， 所以. 在正方形中，易知， 又因为，平面， 因此平面. 【变式1-3】（25-26高一下·宁夏银川·期末）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． 求证：平面； 【答案】因为平面，平面，则， 又因为底面是正方形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 因为，为中点，则， 且，平面，所以平面. 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明面面垂直 【分析】根据题意可证平面，即可得，根据三线合一可得，即可得线面垂直； 【变式1-4】（25-26高二下·河南洛阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，D是的中点，于E. 求证：平面； 【答案】平面，平面， ，又，，平面， 平面，平面，从而， 又，D是的中点，则， 由，平面，则平面， 由平面，则， 又，，平面， 平面； 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【变式1-5】（25-26高一下·江苏淮安·期末）已知四棱锥的底面为矩形，平面，为的中点，平面平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)连接，设，连接， 因为是矩形，所以是的中点， 在中，为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2)因为是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 因为是矩形，所以， 因为且平面， 所以平面，故平面. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面平行的性质 【分析】（1）连接，设，连接，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而可证平面. 专题三 面面垂直的判定 面面垂直 判定定理 文字语言 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 【例1】（25-26高一下·全国·课前预习）在直三棱柱中，.求证：平面平面；    【知识点】证明面面垂直 【分析】由题意可得，再利用线面垂直可证平面，从而可求证. 【详解】证明：在直三棱柱中，有平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面.故证：平面平面. 【变式1-1】（25-26高一下·江苏南京·期末）如图，四边形是矩形，平面，，点为线段的中点． 求证：平面⊥平面ACE； 【答案】证明：因为平面，平面，所以，        又，，平面，平面， 所以平面.                              又因为平面，所以平面⊥平面. 【变式1-2】（25-26高一下·云南德宏·期末）如图，在正三棱柱中，点是的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)连接，交于点，连接. 正三棱柱中，侧面为矩形，所以为中点. 又点是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2)正三棱柱中，为正三角形，且平面. 因为点是的中点，所以. 因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【知识点】证明面面垂直、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. 【变式1-3】（25-26高一下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明：∵，，∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面． (2)证明：因为，所以. ∵，∴在中，.∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【知识点】证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）利用面面垂直的判定定理证明即可. 【变式1-4】（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，点P为BC的中点. (1)证明：A1B//平面APC1； (2)证明：平面APC1⊥平面BCC1B1. 【答案】 连接，交于点，则是的中点。又是的中点，可得， 因为平面，平面，根据线面平行的判定定理，可得平面. (2)正三棱柱的侧棱垂直于底面，因此底面，因为底面，所以， 又底面是正三角形，是中点，因此，因为，且平面， 根据线面垂直的判定定理，可得平面，又平面，根据面面垂直的判定定理， 可得平面平面. 【知识点】证明面面垂直、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】（1）连接与得交点中点，构造三角形中位线得到，再依据线面平行判定定理完成证明； （2）结合正三棱柱性质推得平面，再依据面面垂直判定定理完成证明. 【变式1-5】（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【答案】证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面垂直、证明线面平行 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 专题四 面面垂直的性质 面面垂直 性质定理 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 图形语言 符号语言 【例1】（25-26高一下·青海西宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧平面，是的中点． 求证：平面； 【答案】证明：在正方形中，， 又侧平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为△是正三角形，M是的中点，则， 又，平面，所以平面． 【知识点】面面垂直证线面垂直 【分析】先由面面垂直性质证平面得，再结合正三角形中线，利用线面垂直判定定理证平面； 【变式1-1】（25-26高一下·湖北武汉·期末）已知三棱锥，平面，平面平面． 求证：平面； 【答案】证明：如图，过点作，垂足为． 平面平面，平面平面，平面, 平面． 平面，． 平面，平面，． 又平面， 平面． 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、求线面角 【分析】过点作，垂足为．由面面垂直的性质先证，再利用线面垂直的判定定理即得证； 【变式1-2】（25-26高一下·青海西宁·期末）如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面． 求证：平面平面； 【答案】因为，平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 又因为平面，所以平面平面. 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，即可证面面垂直； 【知识点】证明线面垂直 【变式1-3】（25-26高二下·云南楚雄·期末）如图，，平面，平面，平面平面. (1)求证：； (2)求证：； 【答案】因平面，平面，平面平面,则； (2)因平面，平面,则, 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又因平面，故； 【知识点】线面平行的性质、面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线面平行的性质易证； （2）利用线面垂直的判定定理与性质定理，以及面面垂直的性质定理即可得证； 【变式1-4】（25-26高一下·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，平面，，．用几何法证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明：因为平面，而平面， 平面平面，所以． 因为平面，平面，所以平面． (2)证明：过点作于， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，而，即点与不重合，且． 又因，平面，所以平面． 因为平面，故平面平面． 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面平行的性质、证明线面平行、证明面面垂直 【分析】（1）先利用线面平行的性质推得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）过点作于，由面面垂直推得平面，可得，再由线面垂直的判定定理证得平面，进而根据面面垂直的判定定理即可得证. 【变式1-5】（25-26高一下·青海西宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧平面，是的中点． 求证：平面； 【答案】证明：在正方形中，， 又侧平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为△是正三角形，M是的中点，则， 又，平面，所以平面． 【知识点】面面垂直证线面垂直、求点面距离、证明线面垂直、求二面角 【分析】先由面面垂直性质证平面得，再结合正三角形中线，利用线面垂直判定定理证平面； 专题五 线线垂直 证明线线垂直的方法 1. 等腰(边)三角形的三线合一证线线垂直 2. 勾股定理的逆定理证线线垂直 3. 菱形、正方形的对角线互相垂直 4. 线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直 【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，底面是正方形的直棱柱中，，． 求证：． 【答案】 证明见解析. 【知识点】线面垂直证明线线垂直 【详解】证明：因为是直棱柱，所以平面. 又因为平面，所以. 因为底面是正方形，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 【变式1-1】（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是四边形所在平面外的一点，为的中点，四边形是且边长为的菱形，为正三角形，且平面平面．求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)如图，连接，，∵四边形是菱形且， 是正三角形，为的中点，． 又平面平面，且平面平面， 平面，平面． (2)由（1）可知，为正三角形，为的中点， ，又，，平面， 平面，又平面，． 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【变式1-2】（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）是矩形平面外一点，分别是的中点，    (1)求证：平面， (2)若SD⊥平面，求证：⊥. 【答案】(1)如图，连接， 因为矩形中，为的中点，故与相交于点， 且为的中点， 是的中点，故， 因为平面，平面，所以平面；    (2)因为SD⊥平面，平面，所以⊥， 四边形为矩形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）作出辅助线，由线线平行得到线面平行； （2）先得到⊥，再结合矩形，证明线面垂直，得到结论 【变式1-3】（25-26高一下·全国·期末）如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)如图，连接，交于点，连接．    在长方体中，四边形是矩形， 因为对角线与交于点，所以为的中点， 又点是棱的中点，所以， 又平面平面，所以平面． (2)连接． 在长方体中，四边形是矩形，所以， 因为点分别是棱的中点，， 所以，所以四边形是正方形，． 在长方体中，平面， 又平面，所以． 因为平面， 所以平面． 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据中位线得到线线平行，再根据线线平行证明线面平行； （2）先证明线线垂直，然后得到线面垂直． 【变式1-4】（25-26高一下·河北承德·期末）已知平面是圆柱的轴截面，是上异于，的点，为上的动点，，．    证明：； 【答案】证明： 因为是圆柱的轴截面，所以底面， 又底面，故. 又是下底面直径，在圆弧上，故，即. 因为，且平面，所以平面. 又平面，因此，得证. 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用圆柱轴截面性质得到垂直底面圆所在平面，可得.由是底面圆直径，可求得，结合线面垂直判定定理和性质定理证明. 【变式1-5】（25-26高一下·吉林延边·期中）如图所示，在正方体中，.证明： (1)证明 (2). 【答案】(1)在正方体中，，且，故； 又，所以四边形是平行四边形； 所以，又平面，平面； 所以平面; (2)连接，因为四边形是正方形，所以, 在正方体中，平面，平面，所以, ，，且，平面； 所以平面，因为平面 故，即. 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）通过线面平行判定定理证明； （2）通过线面垂直证明线线垂直. 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $