2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷03（河北省适用）

**基本信息** 以脑机接口、学习强国竞赛等真实情境为载体，覆盖函数、概率统计等核心知识，梯度设计适配高三开学学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、函数零点、导数几何意义|基础概念与运算结合，如导数切线方程考查数学思维| |多选题|3/18|二项式定理、随机变量分布、独立性检验|多选项设计考查逻辑推理，如独立性检验培养数据观念| |填空题|3/15|对数运算、函数单调性、零点存在性|抽象问题具体化，如对数取值考查数学眼光| |解答题|5/77|排列组合、概率分布列、回归分析、函数证明|脑机接口情境（17题）体现科技前沿，函数恒成立（19题）考查创新应用，适配高考命题趋势|

2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷（3）（河北省适用） （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案选项涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应区域，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则方程的实数根个数是（   ） A． B． C． D． 4．若曲线在点处的切线方程为，则（     ） A． B． C． D． 5．在的三条边上均有3个四等分点，以这9个等分点中的3个等分点为顶点的三角形的个数为（    ） A．75 B．78 C．81 D．84 6．已知高二年级有数学和物理两个兴趣小组，其中数学兴趣小组有6名男生，3名女生；物理兴趣小组有5名男生，4名女生.现从数学小组随机选取1名同学加入物理小组，从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 7．某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 （参考公式与数据：，，，），则下列叙述正确的是（     ） A．相关系数的绝对值越接近0，表示，的线性相关程度越强 B．， C．当时，残差为 D．用最小二乘法求得关于的线性回归直线方程为 8．雅礼中学数学组、信息组、物理组的竞赛生人数比为4：2：3，在今年湖南省某竞赛考试中，数学组、信息组、物理组分别有的学生进入决赛．在这三个竞赛组中随机抽取一名，已知该生进入了决赛，则该生为数学组的学生的概率为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（    ） A． B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第5项系数等于-35 10．已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（    ） （注：若，则） A． B．在上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 11．下列结论正确的有（    ） A．若离散型随机变量X服从两点分布，且，则 B．若随机变量，则 C．设随机变量，若，则 D．为了解学生对足球的喜爱与性别是否有关，随机调查了110名学生，得到如下列联表，则有99%的把握认为“喜爱足球与性别有关” 男生 女生 总计 喜爱 40 20 60 不喜爱 20 30 50 总计 60 50 110 参考数据与公式： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数，共可得___________个不同的对数值． 13．已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 14．已知函数在内有零点，则实数的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果男生和女生各选2人，那么有多少种不同的选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须参加，那么有多少种不同的选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙必须至少要有1人参加，那么有多少种不同的选法？ 16．(本小题15分）某学校组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置个不同的题目，参赛人员分为、、三组，其中组人，组人，组人． (1)已知参赛人员甲能正确作答这个题目中的个题目，求从这题中任取题，甲至少回答正确题的概率； (2)现从参加比赛的这人中随机抽取人，记抽到的组人数为，组人数为．设，求的分布列及期望； (3)已知参赛人员乙能准确作答这题中的（，且）题．若从这个题中随机抽取个让乙作答，当变化时，要使得恰好答对题的概率取到最大值，求此时的取值． 17．(本小题15分）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换，埃隆马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑，未来10到20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量(单位：亿元)与研发人员增量(单位：人)的10组数据，现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图： 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程； （ii）预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 18．(本小题17分）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，； (3)若恒成立，求的取值范围． 19．(本小题17分）已知函数，． (1)若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； (2)若，，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷（3）（河北省适用） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D C B C B BC ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】由解得或，可得集合； 由可得，解得或，可得集合； 所以. 2．A 【详解】，对应点在第一象限. 3．D 【分析】根据函数的表达式分段求解方程即可. 【详解】已知， 当时，方程等价于，解得，因此方程在有个实根； 当时，方程等价于，即，解得和， 由于，因此方程在有个实根； 综上所述，方程有个实根，故D正确. 4．D 【详解】，；，，则切点， 曲线在点处的切线方程为，即； ，解得. 5．C 【详解】从9个点中任取3个点共有种方法， 当取得的三点在一条直线上时，构不成三角形，故这样的三角形的个数是. 6．B 【详解】情况1：从数学小组调去物理小组的是男生 ，数学小组共人，调男生的概率为； 调整后物理小组共人，男生变为人， 此时选出男生的概率为； 该情况的联合概率为：， 情况2：从数学小组调去物理小组的是女生， 调女生的概率为； 调整后物理小组共人，男生仍为人，此时选出男生的概率为​；该情况的联合概率为：， 故从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为. 7．C 【详解】对于A，根据表格作出散点图如下所示，    由图可知，变量和正相关，但相关系数的绝对值越接近1，线性相关程度越强，越接近0，相关程度越弱，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，根据公式计算回归系数， ，所以回归直线方程为，故D错误； 对于C，当时，预测值，残差为，故C正确. 8．B 【详解】设抽取的一名学生来自数学组、信息组、物理组为事件，该学生进入决赛为事件，则 则. 9．BC 【详解】对于A，的二项展开式共有8项，则 ，即，故A错误； 对于B，二项式展开式中各项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C，因该二项展开式共有8项，则可得中间两项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，故C正确；对于D，因，则第5项的系数是35，故D错误.故选：BC. 10．ACD 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小，在上是减函数，B错误；对于C,，根据对称性，将替换为， 即， 图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，，根据对称性得， 因此，即,关于对称，D正确． 11．BCD 【详解】选项A，因为X服从两点分布，所以，又， 可得，，所以，故A错误； 选项B，随机变量，则，故B正确； 选项C，随机变量，所以， 则，又， 所以，故C正确； 选项D，零假设：喜爱足球与性别无关， , 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球与性别有关， 此推断犯错误的概率不大于0.01，即有99%的把握认为“喜爱足球与性别有关”，故D正确. 12．53 【详解】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数共有：种情况，当时，不管取何值，相应的对数值都是0； 当时，，，，，共有4对相同的对数值. 所以共可得不同的对数值的情况为：种. 13． 【详解】因为，所以，因为函数在区间上存在单调递减区间，即在区间上存在使得，即在有解，即， 令，即，因为对称轴为，所以， 所以，所以实数的范围是. 14． 【详解】对求导得：. 当时，且，故，因此在上单调递减. 因为在内有零点，结合单调函数的零点存在性质，可得： ， 计算端点函数值： ，， 代入不等式得： ，解得，即. 15．【详解】（1）男生和女生各选2人共有种选法. （2）因为男生中的甲和女生中的乙必须参加，所以只需从另外的8人中再选2人即可， 所以男生中的甲和女生中的乙必须参加的选法有种. （3）方法一：男生中的甲和女生中的乙必须至少要有1人参加，可分为甲参加乙不参加，甲不参加乙参加，甲､乙都参加三种情况. 若甲参加乙不参加，则再从另外8人中选3人即可，有种选法； 若甲不参加乙参加，则同样再从另外8人中选3人即可，有种选法； 若甲､乙都参加，则再从另外8人中选2人即可，有种选法. 故共有种选法. 方法二：从这10人中选4人有种选法，其中甲､乙都不参加有种选法， 所以男生中的甲和女生中的乙必须至少要有1人参加的选法有种. 16．【详解】（1）由题知题甲都回答错误的概率， 所以甲至少回答正确题的概率为． （2）由题知的所有可能取值为、、、、， 所以，， ，，， 则的分布列为： X P 所以． （3）从这个题中随机抽取个让乙作答，恰好答对题的概率为， 设，由，且，得， 所以 显然，， 令， 当时，有，，即， 此时； 当时，有，，即， 此时，即，所以． 17．【详解】（1）选择模型②，理由如下 由残差图可知，模型②的残差点比较均匀地落在水平带状区域中，且带状区域宽度比模型①窄，说明模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故模型②比较合适. （2）（i）根据模型②，令，则与可用线性回归来拟合，有. 由表中数据可知，，，， ，则，， 所以与的经验回归方程为，即与的经验回归方程为. （ii）由题意，要使年收益增量超过8亿元，则，即， 整理得，，即，解得， 因为为研发人员增量，需为正整数，所以，故预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少9人. 18．【详解】（1）因为，所以，， ①当时，，在上单调递减； ②当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）(2)当时，， 要证明，只要证，即证， 设，，则，令得， 列表得 1 0 减 极小值 增 所以，即，所以． （3）变形得，.令，，， ， 在上单调递增，在上单调递减，所以 所以. 19．【详解】（1）（i）当时，，定义域为， 则，令，解得， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； （ii）令， 则， 当时，，所以为减函数，所以， 从而当时，，即． （2）令，则． 因为，所以，从而当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为 因为，所以，即，从而， 故的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $