2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷02（河北省适用）

**基本信息** 立足高三开学检测，融合函数、概率统计等核心知识，通过智能巡检机器人、旅游数据分析等真实情境，考查数学抽象、运算推理及数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|命题否定、复数运算、排列组合|基础概念与运算结合，如第5题课表排列考查相邻问题| |多选题|3/18|集合关系、充要条件、函数性质|多维度辨析，如第10题综合考查不等式与命题否定| |填空题|3/15|概率、二项式定理、排列组合|实际应用，如第14题支教安排考查有限制条件的分配| |解答题|5/77|导数极值与切线、概率分布列、线性回归|分层设计，如17题以机器人次品率考查条件概率与分布列，18题结合旅游数据设计回归分析与独立性检验，体现真实问题解决|

2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷（2）（河北省适用） （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案选项涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案选项。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应区域，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 3．复数分别对应复平面上的点，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（     ） A． B．1 C． D． 5．龙城高级中学高二某班周二上午安排语文、数学、物理、自习和英语五节课，要求数学课和自习课必须相邻，则该班周二上午可能的课表排法有（ ）种. A．12 B．24 C．48 D．120 6．某科考小组推算出某种树的高度（单位：）关于树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）（单位：）的经验回归方程为，已知某棵树的胸径为，高度为，则该样本点的残差为（    ） A． B． C． D．0 7．在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知集合，，则（   ） A． B． C． D．或 10．下列说法正确的有（   ） A．设，，则“”是“”的必要条件 B．若，，则 C．当时，的最小值是 D．若：，，则：， 11．下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得个的概率是____________． 13．的展开式中，的系数为____． 14．某学校选派甲，乙，丙，丁共4位教师分别前往A，B，C三所中学支教，其中每所中学至少去一位教师，乙，丙不去C中学但能去其他两所中学，甲，丁三个学校都能去，则不同的安排方案的种数是________（用数字作答） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知函数（ 且 ）是偶函数，. (1)求实数的值； (2)判断的奇偶性，并证明该结论； (3)若对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 16．(本小题15分）已知函数在处取极小值2． (1)求的值； (2)求曲线过点的切线方程； (3)若函数，且在上有三个零点，求实数的取值范围． 17．(本小题15分）某仓库中同一型号的智能巡检机器人由甲、乙两厂供货.已知甲厂产品的次品率为，乙厂产品的次品率为.从仓库中随机抽取一台，发现其为次品的概率为. (1)设甲厂在仓库中的供货占比为，求的值； (2)若已知抽到的产品是次品，求它产自甲厂的概率； (3)基于上述供货占比，质检员对这批机器人进行有放回的随机抽检，每次记录其生产厂.一旦累计抽到台甲厂产品，或抽取次数达到次，立即停止，记停止时已抽取的总次数为，求的分布列. 18．(本小题17分）素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩．某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了2026年1月至5月的数据统计如下： 月份 游客数量（单位：百万人） 旅游消费总额（单位：亿元） 1月 2.5 22 2月 3.5 33 3月 4 42 4月 4.5 47 5月 5.5 56 参考数据：，． (1)请根据上述数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)从2026年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据：参观万峰林的游客150名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名． （ⅰ）补充下面的列联表； 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 未参观 合计 （ⅱ）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联？ 附：，，， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 19．(本小题17分）已知函数，． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若函数的图象恒在轴的下方，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学上学期开学模拟卷（2）（河北省适用） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D A C B C A BC ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】命题“，”为全称命题， 则其否定为“，”. 2．C 【详解】， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 3．D 【详解】，对应点， ，对应点，则向量，对应复数为． 4．A 【详解】因为，所以， 因为，所以，即，故选项A正确. 5．C 【详解】该班周二上午可能的课表排法有种. 6．B 【详解】由经验回归方程当胸径时，预测值为 已知该树的实际高度为样本点的残差为 7．C 【详解】甲乙各自从4个主题中随机选择1个，共有种等可能的基本事件。 事件的对立事件为“甲乙都不选择‘玩水乐园’”，此时每人有3种可选主题，共种基本事件，因此，表示“至少一人选玩水乐园且两人选择的主题不同”，分两类：①甲选玩水乐园、乙选其他主题，共3种； ②乙选玩水乐园、甲选其他主题，共3种，因此， 根据古典概型下的条件概率公式，代入得. 8．A 【详解】显然定义域,因为, 因为函数在区间上单调递减，即内恒有, 即变形可得,，设,求导 , 所以在上单调递增，因此,要使在内恒成立，只需,即. 9．BC 【详解】因为，，所以之间没有子集关系，A不正确； 因为，所以，B正确； 因为，，所以，C正确； 因为，所以或，D不正确.故选：BC 10．ABD 【详解】对于A：当，时，，所以充分性不成立， 反之，当时，且，所以必要性成立，故A正确； 对于B：由得，又， 由不等式的性质可得，故B正确； 对于C：当时，，所， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故C错误； 对于D：由存在量词命题的否定是全称量词命题知， 命题：，的否定：，，故D正确. 11．BCD 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 12． 【详解】解：设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的事件分别为，，， 这位同学在物理、化学、政治科目考试中达的概率分别为、、， （A），（B），（C），这三门科目考试成绩的结果互不影响， 则这位考生至少得2个的概率： ．故答案为：． 13． 【详解】展开式的通项为，， 所以展开式中的系数为． 14．14 【详解】若C学校去一个人，只能从甲，丁中选1个，剩余3人选2人去1个学校，将这两人看成1人，则2人分到2个学校的方法是,所以不同的分配方案有：； 若C学校去2个人：只能是甲，丁，所以不同的分配方案有：. 所以共有种.故答案为：14 15．【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即，整理得，即， 因为， 不恒为 0，所以必须 ，所以 （2）奇函数，证明过程为:由（1）知 ，则， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，，故 是奇函数. （3）因为 单调递增， 单调递减，故 单调递增，因此 在上单调递增，不等式 可化为， 即,因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为，整数的取值集合是. 16．【详解】（1），，解得或， 当时，可得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取极大值，不符合题意， 当时，可得， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取极小值，在处取极大值，符合题意，. （2）设切点为，得到， 而，， 可得， 代入点，得到， 化简得，解得或者， 切线斜率为0时，切线方程为，在切线斜率为1时，切线方程为， 综上可得，切线方程为或者. （3）函数，且在上有三个零点， 方程在上有三个不等的实根， 函数与的图象在上有三个不同的交点， 由（1）知在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取极小值2，在处取得极大值， 又，，，解得. 17．【详解】（1）设甲厂在仓库中的供货占比为，则乙厂在仓库中的供货占比为. 设从仓库中随机抽取一台，该产品是甲厂产品为事件；该产品是乙厂产品为事件；该产品是次品为事件. 则，所以. （2）由题意得. 所以若已知抽到的产品是次品，则它产自甲厂的概率为. （3）由题意知的可能取值是. 则；； ；. 故的分布列为 2 4 18．【详解】（1），， ，则， 则关于的经验回归方程为； （2）（ⅰ）将所给数据进行整理，得到如下列联表： 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 70 30 100 未参观 80 20 100 合计 150 50 200 （ⅱ）设零假设：游客参观万峰林与参观马岭河峡谷独立， 根据列联表中的数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联. 19．【详解】（1）由，，则， 又为函数的极值点，则，解得， 验证：时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以为函数的极大值点，即满足题意．故． （2）由，，令，， 当时，，即，所以在上单调递增； 当时，是开口向下的二次函数，且其对称轴为， 又，则存在唯一正根， 则当时，，即，所以在上单调递增； 当时，，即，所以在上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由函数的图象恒在轴的下方，即在上恒成立． 结合（2）， 当时，有在上单调递增，且时，，不符合题意； 当时，是开口向上的二次函数，且其对称轴为， 则当时，，即，所以在上单调递增， 且时，，不符合题意； 当时，在处取得最大值，则只需即可， 又，得， 则，得， 即，整理得， 所以， 令，， 则， 即在上单调递增，且， 所以时，解得，即时，解得， 又，即，， 又是开口向上的二次函数，且其对称轴为， 则在上单调递增， 则当时，，所以， 故的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $