内容正文:
第九章 静电场及其应用
综合拔高练
五年高考真题练
考点1 库仑力的计算及叠加问题
1.(多选题)(2025河北,8)如图,真空中固定在绝缘台上的两个相同的金属小球A和B①,带有等量同种电荷,电荷量为q,两者间距远大于小球直径,两者之间的静电力大小为F。用一个电荷量为Q的同样的金属小球C先跟A接触,再跟B接触②,移走C后,A和B之间的静电力大小仍为F,则Q∶q的绝对值可能是( )
A.1 B.2 C.3 D.5
①、②关键点拨相同的金属小球接触后电荷量均分。
2.(2023海南,8)如图所示,一光滑绝缘轨道水平放置,直径上有A、B两点,AO=2 cm,OB=4 cm,在A、B固定两个带电量分别为Q1、Q2的正电荷,现有一个带正电小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷),已知AP∶BP=n∶1,试求Q1∶Q2是多少( )
A.2n2∶1 B.4n2∶1 C.2n3∶1 D.4n3∶1
考点2 电场强度及叠加问题
3.(2024河北,7)如图,真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷,分别固定在正三角形ABC的顶点B、C,M为三角形ABC的中心,沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆,电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a,M点的电场强度为0①,静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为( )
A. B.(6+)
C.(3+1) D.(3+)
①言之有“物”带电细杆与B、C两点处点电荷在M点产生的场强等大反向。
4.(2023湖南,5)如图,真空中有三个点电荷固定在同一直线上,电荷量分别为Q1、Q2和Q3,P点和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°和30°。若P点处的电场强度为零,q>0,则三个点电荷的电荷量可能为( )
A.Q1=q,Q2=q,Q3=q
B.Q1=-q,Q2=-q,Q3=-4q
C.Q1=-q,Q2=q,Q3=-q
D.Q1=q,Q2=-q,Q3=4q
5.(多选题)(2025湖北,10)如图所示,在xOy平面内有一以O点为中心的正五边形,顶点到O点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、5q的正点电荷,且电荷量为3q的电荷在y轴正半轴上。静电力常量为k,则O点处的电场强度( )
A.方向沿x轴负方向
B.方向与x轴负方向成18°夹角斜向下
C.大小为(cos 54°+cos 18°)
D.大小为(2 cos 54°+cos 18°)
6.(2023全国乙,24)如图,等边三角形ABC位于竖直平面内,AB边水平,顶点C在AB边上方,3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下①,BC边中点N处的电场强度方向竖直向上,A点处点电荷的电荷量的绝对值为q,求
(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负;
(2)C点处点电荷的电荷量。
①关键点拨可判断出A、B处点电荷的电性相同,电荷量相等;C处点电荷带正电。
考点3 静电力参与的力学问题
7.(2024新课标,18)如图,两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上,下端分别系有均带正电荷的小球P、Q;小球处在某一方向水平向右的匀强电场中,平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等,则( )
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
8.(2025湖南,5)如图,两带电小球的质量均为m,小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接,小球B用固定的绝缘轻杆连接。A球静止时,轻绳与竖直方向的夹角为60°,两球连线与轻绳的夹角为30°,整个系统在同一竖直平面内,重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
A.A球静止时,轻绳上拉力为2mg
B.A球静止时,A球与B球间的库仑力为2mg
C.若将轻绳剪断,则剪断瞬间A球加速度大小为g
D.若将轻绳剪断,则剪断瞬间轻杆对B球的作用力变小
9.(多选题)(2025安徽,10)如图,两个倾角相等、底端相连的光滑绝缘轨道被固定在竖直平面内,空间存在平行于该竖直平面水平向右的匀强电场。带正电的甲、乙小球(均可视为质点)在轨道上同一高度保持静止,间距为L,甲、乙所带电荷量分别为q、2q,质量分别为m、2m,静电力常量为k,重力加速度大小为g。甲、乙所受静电力的合力大小分别为F1、F2,匀强电场的电场强度大小为E,不计空气阻力,则( )
A.F1=F2
B.E=
C.若将甲、乙互换位置,二者仍能保持静止
D.若撤去甲,乙下滑至底端时的速度大小v=
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10.(北京大学博雅计划)空间直角坐标系中,六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体,其中心O位于坐标原点,各棱方向与坐标轴平行。记与z轴平行的棱中点为A,正方体与x轴的交点为B,则A、B、O三点的电场强度( )
A.全部为0
B.全部不为0
C.有两个满足至少在两个方向上的分量不为0
D.有一个满足恰在一个方向上的分量不为0
三年高考模拟练
应用实践
1.(2026重庆拔尖强基联盟联考)如图所示,竖直面内有正方形ABCD,其中心为O,AD、BC边的中点分别是P、Q。两个电荷量均为q的正点电荷分别固定于B、C两点,另一个带负电的点电荷固定于P点。已知正方形ABCD的边长为a,Q点的电场强度大小为E,静电力常量为k。则O点的电场强度大小为( )
A.-4E B.+4E
C.+4E D.+E
2.(2026四川成都外国语学校月考)如图所示,A、B两个带异种电荷的小球,用绕过两个光滑定滑轮的绝缘细线连接,对A球施加一个水平力F(图中未标出),两球静止且处于同一水平线上,此时连接A球的细线与水平方向的夹角α=53°,连接B球的细线与水平方向的夹角θ=37°。已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,B球质量为m,重力加速度为g,将小球看作质点,则下列判断正确的是( )
A.作用于小球A的水平力方向水平向右
B.A球的电荷量小于B球的电荷量
C.小球A的质量为m
D.撤去F的一瞬间,小球B的加速度为0
3.(2026江苏南京金陵中学期中)如图所示,绝缘水平地面上固定有一带正电小球A,小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮,绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m,电荷量均为q,重力加速度大小为g,静电力常量为k,两小球均可视为点电荷。拉力F=mg时,小球B对地面恰好无压力,然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到小球A的正上方,下列说法正确的是( )
A.小球B对地面恰好无压力时,两小球间的距离为
B.小球B被拉动后,拉力F大小保持不变
C.小球B被拉动后,库仑力对小球B先做正功后做负功
D.把小球B拉到小球A正上方的过程中,拉力对小球B做的功为
4.(2026河北邯郸NT20名校联合体期末)一个半径为R=2 m的绝缘圆环固定在距地面d=1 m 的水平面内,互相垂直的两条直径AB、CD两端分别固定一个带电荷量均为Q=1×10-4 C的质点(忽略重力)。现把A处的质点取下放在圆环中心正下方地面上的P点,所带电荷量不变,质点恰好处于平衡状态。质点与地面间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力。下列说法正确的是( )
A.带电质点在P点所受的库仑力方向竖直向下
B.带电质点在P点所受的库仑力方向与竖直方向夹角的正切值等于2
C.带电质点与地面间的动摩擦因数为
D.带电质点与地面间的动摩擦因数为
5.(2026山东青岛二中期末)如图所示,水平面内的等边三角形BCD的边长为L,顶点C恰好位于光滑绝缘直轨道AC的最低点,A点到B、D两点的距离均为L,A点在BD边上的竖直投影点为O。y轴上B、D两点分别固定一个电荷量均为Q的正点电荷,在z轴两点电荷连线的中垂线上必定有两个场强最强的点,这两个点关于原点O对称。在A点将质量为m、电荷量为-q(q>0)的小球套在轨道AC上(忽略它对原电场的影响),将小球由静止释放,已知静电力常量为k,重力加速度为g,且k=mg,忽略空气阻力,下列说法正确的是( )
A.图中的A点是z轴上场强最强的点
B.轨道上A点的电场强度大小为
C.小球刚到达C点时的加速度大小为g
D.小球到达C点时受到的电场力大小为mg
迁移创新
6.(2025北京朝阳日坛中学期末)场是物质存在的一种形式,完成下列问题。
(1)在静电场中可以定义“电通量”这个概念:若电场中有一个面,面上各处的电场强度与面垂直且大小均为E,则穿过这个面的电通量Φ=ES,其中S是在垂直电场强度方向的面积的大小。如果空间固定一个电荷量为Q的点电荷,该点电荷在其周围激发静电场,以点电荷为球心有两个半径分别为R1、R2的球面S1和S2,如图甲所示。静电力常量为k。求:
a.球面S1的电通量大小;
b.比较两个球面单位面积的电通量大小,并说明原因。
(2)理论上已经证明:①电荷均匀分布的球壳在壳内产生的电场强度为零;②一个半径为R的均匀带电球体(或球壳)在球的外部产生的电场,与一个位于球心、电荷量相等的点电荷在同一点产生的电场相同。
a.现有一半径为R、电荷均匀分布的实心球体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如图乙所示。关于该带电球体产生的电场强度E随x的变化关系,下图中正确的是( )
b.推导论证a中的结论。
答案与分层梯度式解析
第九章 静电场及其应用
综合拔高练
五年高考真题练
1.AD
考教衔接 本题与教材P10第3题类似,均考查库仑定律与电荷守恒定律的结合问题。不同之处是本题中的接触小球带电,需要分情况讨论接触小球与固定小球电性相同与相反两种情况下,接触后固定小球的带电情况,再利用库仑定律求解。
若q、Q为同种电荷,则C先跟A接触后,A和C所带的电荷量相等,qA'=qC'=,C再跟B接触后,B和C所带的电荷量相等,qB'=qC″=,A和B之间的静电力大小不变,根据库仑定律F=k可知qA'qB'=q2,解得=1,A正确;若q、Q为异种电荷,同理可解得=5,D正确。
2.C 小球在P点时受到的库仑力如图所示,在△CPH中,根据正弦定理有=,其中∠CPH=∠OPB,∠CHP=∠HPD=∠APO,同理,在△APO中,有=,在△OBP中,有=,其中FA=k,FB=k,联立有Q1∶Q2=2n3∶1,选项C正确。
一题多解 小球在P点时水平方向的受力如图所示,根据三角形相似有=,根据库仑定律有FA=k,FB=k,根据几何关系得AP'=BP(点拨:△OBP∽△OAP',AO=OB),联立解得Q1∶Q2=2n3∶1,C正确。
3.D
考教衔接 本题考查电场强度的叠加。题图通过变化可联想到教材P24图9-7,此类题目应先分析电场强度已知的点的各个分场强。本题应从“M点的电场强度为0”入手,根据场强叠加原理和对称性,即可求得答案。
根据几何关系可知B、C两点到M点的距离为a,则B、C两点处的点电荷在M点产生的合场强大小为E=2 cos 60°=,方向由M指向A;因M点的合场强为0,因此带电细杆在M点产生的场强EM与B、C两点处点电荷在M点产生的场强大小相等,方向相反,故其大小关系为EM=E,EM的方向由A指向M;由对称性可知带电细杆在A点产生的场强EA的大小为EA=EM=E,EA的方向由M指向A,因此A点的合场强大小为E合=EA+2 cos 30°=(3+),故选D。
易错分析 本题中求解带电细杆在A处产生的场强时,易错误地用点电荷的电场强度公式计算,得出带电细杆在A处产生的场强EA==,与B、C处两点电荷在A点产生的场强叠加,得出E合=EA+2 cos 30°=+=(6+),从而错选B。
4.D 若三个点电荷都带正电,则三个点电荷在P点产生的场强都沿点电荷指向P的方向;若三个点电荷都带负电,则三个点电荷在P点产生的场强都沿P指向点电荷的方向。上述两种情况下P点的合场强都不可能为0,所以A、B都错误。对于C选项,设P与电荷量为Q1的点电荷间的距离为a,则P与电荷量为Q2的点电荷的距离为a,P与电荷量为Q3的点电荷间的距离为2a,故E1=,E2==,E3=,各场强方向如图,则EPx=E3x-E2x= cos 30°- cos 60°=-≠0,故C错误;同理可验证D选项中EPx=0,EPy=0,故D正确。
小题巧解 令三个点电荷所在位置从左到右依次为A、B、C,由几何关系知PB为∠APC的角平分线,P处场强为零,则A、C处点电荷在P处的合场强与B处点电荷在P处的场强等大反向,且都沿PB所在直线,则A、C两处点电荷在P处产生的场强大小相等,且带同种电荷,与B处点电荷电性相反,由E=和r3=2r1可得Q3=4Q1,故只有D正确。
5.AD 各点电荷在O点产生的场强方向如图所示
由几何关系可知θ1=18°,θ2=54°,将5个场强分别沿x、y轴分解可得:
Ex=E1 cos 54°+E2 cos 18°-E4 cos 18°-E5 cos 54°=-(2 cos 54°+cos 18°)
Ey=E1 sin 54°+E5 sin 54°-E4 sin 18°-E2 sin 18°-E3==0
可知O点电场强度方向沿x轴负方向,大小为(2 cos 54°+cos 18°),故A、D正确,B、C错误。
一题多解 根据题意,可将五个点电荷如图所示等效,
则等效电场中O点的场强大小为E=2×2E0 cos 54°+2E0 cos 18°,代入E0可得E=(2 cos 54°+ cos 18°),方向沿x轴负方向,故选A、D。
6.答案 (1)见解析
(2)q
真题降维
关键表述
过程分析与结果
AB边中点M处的电场强度方向竖直向下
M处合场强竖直向下,已知A点处点电荷的电荷量q,不知其电性,各点电荷在M处产生的场强存在两种情况:
A、B两处点电荷的电荷量大小相等、电性相同,C处点电荷带正电
BC边中点N处的电场强度方向竖直向上
N处合场强竖直向上,如图甲所示,合场强E有垂直于BC方向的分量,因为B、C处点电荷各自在N处产生的场强均平行于CB方向,所以合场强在垂直于BC方向上的分量是由A处点电荷提供的,则A处点电荷带正电,则B处点电荷也带正电,各点电荷在N处产生的场强如图乙
A、B两处点电荷带正电,电荷量均为q
解析 (1)通过前面的分析可知,A、B、C处的点电荷均为正电荷,A、B处点电荷的电荷量的绝对值均为q。
(2)分析可得EB'、EC'的合场强大小EBC'=EB'-EC',方向由N指向C,则N点处的场强情况如图所示:
由几何关系得EBC'=
即-=,其中AN=BN=CN
解得qC=q
高考风向 电场强度是描述电场的性质的物理量,它是整个电学的基本知识,起到穿针引线的作用,求解电场强度在高考中也是命题的热点。
历年高考中,既涉及点电荷电场强度的叠加,也涉及非点电荷电场强度的求解,如求解带电圆环、带电直杆、带电平面等特殊带电体产生电场的电场强度或多个带电体所产生电场的电场强度,一般运用补偿法、对称法、微元法、等效法等思维方法,可以化难为易。
未来高考仍会侧重对基本规律的考查,并重视电场中的模型建构,融合点电荷的电场、电场的力的性质、能的性质等知识点综合考查。在方法上仍会注重对称法、等效法等解题方法的应用。
在平时学习中,要理解电场强度的矢量性,对各种典型电场中电场强度的特点做到了然于心,对求解特殊电场的场强的方法做到融会贯通,突破此高考热点。
7.B
真题降维 两根细绳等长,且平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等,说明两小球等高,受到的库仑力沿水平方向。分别对两小球受力分析,都受到四个力作用处于平衡状态,如图所示。
设P和Q两球之间的库仑力大小为F,两根细绳的拉力大小分别为FT1、FT2,与竖直方向夹角为θ,对于小球P有q1E+F=FT1 sin θ,FT1 cos θ=mPg,对于小球Q有F-q2E=FT2 sin θ,FT2 cos θ=mQg,则有q1E=FT1 sin θ-F>0,q2E=F-FT2 sin θ>0,所以可得FT1>FT2,又因为=,可知mP>mQ,即P的质量一定大于Q的质量,两小球的电荷量大小关系则无法判断。故选B。
考教衔接 本题考查多力作用下的平衡问题,与教材P23 A组第3题相似,只是在原题基础上增加了一个水平方向的匀强电场,小球多受了一个电场力F=Eq,求解思路完全相同。
8.C
关键点拨 A静止时受三个力作用,大小为mg、方向竖直向下的重力,沿绳收缩方向的拉力,由A指向B的库仑力。根据共点力平衡的条件求出库仑力。剪断轻绳瞬间,绳对A球的拉力瞬间消失,但库仑力与重力均不变。
如图,对A进行受力分析,由题意可知,轻绳拉力与重力的合力沿二者夹角的角平分线方向,故T=mg,F库=2mg cos 30°=mg,A、B错误。剪断轻绳瞬间,轻绳拉力瞬间消失,A受到的重力、库仑力不变,重力和库仑力的合力与绳剪断前对A的拉力大小相等、方向相反,故加速度大小为g,C正确。轻绳剪断瞬间,B球受到的重力、库仑力不变,则轻杆对B球的作用力不变,D错误。
9.ABD 对甲、乙受力分析如图所示,设斜面的倾角为θ,则F1=mg tan θ,F2=2mg tan θ,即F1=F2,A正确。甲、乙均带正电,则F1=k-Eq,F2=2Eq+k,且F1=,联立解得E=,B正确。若将甲、乙互换位置,对甲受力分析,甲所受静电力的合力大小F1'=k+Eq>mg tan θ,受力不平衡;对乙受力分析,乙所受静电力的合力大小F2'=k-2Eq<2mg tan θ,受力不平衡,C错误。若撤去甲,设乙沿斜面向下的加速度大小为a,则2mg sin θ-2qE cos θ=2ma,结合撤去甲前,乙在沿斜面方向上受力平衡,有2mg sin θ= cos θ,联立解得a= cos θ,设乙下滑至底端时的速度大小为v,则v2=2a×,解得v=,D正确。
一题多解 设两球间的库仑力大小为F,斜面倾角为θ,对甲、乙两球进行受力分析,如图所示,根据平衡条件,对甲球有FN1 cos θ=mg,F=FN1 sin θ+Eq,对乙球有FN2 cos θ=2mg,FN2 sin θ=F+2Eq,联立解得F=4Eq,故==,根据库仑定律有F=,解得E=,故A、B正确。若将甲、乙两球互换位置,假设二者仍能保持静止,对甲有FN1' cos θ=mg,FN1' sin θ=F+Eq,对乙有FN2' cos θ=2mg,FN2' sin θ+2Eq=F,联立可得F+4Eq=0,无解,假设不成立,故C错误。若撤去甲,对乙球,根据动能定理得2mg· tan θ-2Eq·=·2mv2,根据前面分析可知tan θ=,联立解得v=,故D正确。
10.D 根据对称性可知,正方体中心O点的场强为零,B点场强在y轴和z轴方向的分量为0,在x轴方向的分量不为0,A点场强在z轴方向的分量为0,在x轴和y轴方向的分量不为0。故选D。
三年高考模拟练
1.C B、C两点处的等量正点电荷在Q点的合场强为0,设P处的点电荷所带的电荷量大小为qP,则Q点的电场强度大小E=,方向由Q指向P;由几何关系可知,B、C两点到O点的距离均为a,则B、C处点电荷在O点产生的场强大小为EBO=ECO==,方向分别由B指向O、由C指向O,如图所示,则B、C处点电荷在O点产生的合电场强度大小为EBCO===,方向由O指向P;P处点电荷在O点产生的电场强度大小为EPO===4E,方向由O指向P,则O点的电场强度大小为+4E,故选C。
2.C 由于A、B两球受到的库仑力等大反向,细线对A、B两球的拉力大小相等,由平衡条件可知,B球所受细线拉力的水平分力与库仑力等大反向,则A球所受细线拉力的水平分力小于库仑力(点拨:由于α>θ,则cos α<cos θ,T cos α<T cos θ),因此要使A球静止,作用于A球的水平力F方向应水平向左,A、B两球的受力如图所示,故A错误。由题给条件无法比较两球的电荷量大小,故B错误。根据平衡条件,对B球有T sin θ=mg,对A球有T sin α=mAg,解得mA=m,故C正确。撤去F的一瞬间,细线的拉力发生突变,小球B受到的重力和库仑力不变,因此小球B的合力不为零,加速度不为零,故D错误。
3.A 小球B对地面恰好无压力时,受力如图甲所示,设细线与竖直方向的夹角为θ,由平衡条件可知cos θ==,F库=mg tan θ=k,则θ=30°,r=,A正确。小球B缓慢移动过程中,受重力、细线的拉力和库仑力,三个力首尾相接构成的矢量三角形与几何三角形OAB相似,可得==,由于mg、h不变,L变小,则拉力F变小;由=k=可知A、B之间的距离不变(点拨:B绕A做圆周运动),则库仑力对B不做功,故B、C错误。把小球B缓慢拉到小球A正上方的过程中,根据能量守恒得W拉=mgr,代入前面求出的r值,可得W拉=,故D错误。
4.C 对P处质点进行受力分析,C、D两处质点对P处质点的库仑力的合力竖直向下,设大小为F1y,B处质点对P处质点的库仑力如图所示,质点所受库仑力有水平分量,故A错误;质点在P点所受库仑力在竖直方向的分力大小为Fy=F1y+F2y=2××cos θ+×cos θ= cos θ,在水平方向的分力大小为Fx=·sin θ,= tan θ=,即质点所受库仑力方向与竖直方向夹角的正切值等于,故B错误;质点在P点恰好处于平衡状态,满足Fx=μFN,FN=Fy,联立解得μ=,故C正确,D错误。
5.B 由几何关系可知OA=L。设P为z轴正半轴上一点,PD连线与z轴的夹角为θ,如图1所示,
根据等量同种电荷的电场分布可知P点的电场强度方向竖直向上,大小为E=·cos θ,解得E= cos θ sin2 θ,可得cos θ=时,电场强度最大,此时OP=L,由此可知,z轴上距离O为L的两点处电场强度最大,A错误;由几何关系可得∠DAO=30°,轨道上A点的电场强度大小为EA= cos 30°==,B正确;由几何关系有OA=OC=L,∠ACO=45°,由对称性可知,A、C两点的电场强度大小相等,为EC=EA=,C点的电场强度方向沿x轴正方向,小球在C点时受到的电场力大小为FC=qEC=mg,可知小球在C点时的受力情况如图2所示,沿轨道方向的合力为F=mg cos 45°-FC cos 45°=ma,解得a=0,C、D错误。
6.答案 (1)a.4πkQ b.见解析 (2)a.B b.见解析
解析 (1)a.由题可得Φ=ES=·4π=4πkQ
b.单位面积的电通量即=E=
已知R1<R2,则E1>E2
(2)设球体带电荷量为Q,球体带电密度=
当x<R时,半径为x的球体带电荷量
Q'=·πx3=x3
根据点电荷电场强度公式,当x<R时,电场强度E==x,可知E与x成正比;
当x≥R时,在球体外部,根据点电荷电场强度公式得E=,电场强度与x的二次方成反比。所以从带电球体的球心O开始,沿着坐标轴Ox方向场强的分布图是B图。
知识迁移 本题属于信息给予题,这类习题将学生较为陌生的物理情境、概念、规律展现出来,借以考查学生的阅读能力和捕捉信息、利用信息的能力。比如该题首先定义了“电通量”的概念,其次给出了两个结论,要求学生通过新的概念和结论解决相关问题,考查了学生的知识迁移能力。
7
学科网(北京)股份有限公司
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