考点培优练03 复数中的运算、几何意义、复数方程及新定义问题6大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦复数6大核心考点，构建“概念-运算-几何-应用”四层方法体系，通过典例示范与跟踪训练实现知识逻辑与解题能力的双提升，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |加减运算几何意义|1典例+7题|数形结合，复数、点、向量转化，距离公式应用|从复数几何表示到距离问题，体现数学眼光| |乘方运算|1典例+8题|iⁿ周期性，(1±i)²公式，代数变形技巧|基于虚数单位性质，培养数学思维的逻辑性| |复数方程根|1典例+9题|实系数方程虚根共轭，判别式分类，求根公式|从实数方程拓展到复数域，构建知识迁移| |新定义问题|1典例+8题|欧拉公式应用，信息提取与知识整合|结合创新情境，提升数学语言表达能力| |三角表达式|1典例+8题|模与辐角转化，棣莫弗定理，三角形式特征|从代数形式到三角形式，深化数学表征| |模的轨迹问题|1典例+9题|模的几何意义，圆/椭圆/直线轨迹转化|从代数条件到几何图形，体现数形结合思维|

考点培优练03 复数中的运算、几何意义、复数方程及新定义问题6大考点 考点预览 目录 考点01 复数加减运算的几何意义 1 考点02 复数的乘方运算 2 考点03 复数范围内方程的根 3 考点04 复数中的新定义问题 4 考点05 复数的三角表达式 7 考点06 复数模相关的轨迹(图形)问题 9 考点通关 考点01 复数加减运算的几何意义 复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. （3）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 【典例1】（2026·陕西西安·三模）(多选)设，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）(多选)已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·河南信阳·阶段检测）(多选)复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江西赣州·期中）(多选)已知复数，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23高三上·湖南长沙·阶段检测）(多选)已知复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的虚部为1 C． D． 5．（25-26高一下·重庆·期中）设复数，满足，且，则____________． 6．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若复数满足，则__________. 7．（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为______． 考点02 复数的乘方运算 虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 【典例2】（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）若复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 2．（25-26高三·全国·一轮复习）若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南郴州·三模）已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高三下·河北邯郸·阶段检测）已知复数，则（   ） A． B．2 C． D． 5．（2026·吉林白山·二模）若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 6．（2026·新疆·二模）(多选)已知复数z满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·北京·强基计划）已知复数满足，则满足该方程的复数的个数为________． 8．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 考点03 复数范围内方程的根 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 【典例3】（25-26高三下·上海·阶段检测）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 【跟踪训练】1．（2026·广东·模拟预测）在复数集范围内，若是的一个根，则（   ） A．0或3 B．1或2 C．2或0 D．3或1 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）(多选)已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 4．（2026·山东济南·二模）(多选)已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北·二模）(多选)已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 6．（25-26高三上·吉林·阶段检测）(多选)在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．若复数，满足，则 C．若，，则的最小值为1 D．若是关于x的方程（p，）的根，则 7．（24-25高三下·海南·阶段检测）(多选)在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 8．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 9．（2025高三下·重庆·竞赛）若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为_______. 考点04 复数中的新定义问题 【典例4】（23-24高三上·山东青岛·期末）(多选)欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内对应的点在第三象限 B． C．的共轭复数为1 D．复数的实部为 【跟踪训练】1．（25-26高一下·安徽阜阳·期末）(多选)在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 2．（24-25高一下·江苏·期中）(多选)瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若复数的虚部为，，则的实部为 D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为 3．（25-26高一下·福建泉州·期末）(多选)欧拉公式是虚数单位巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，在涉及波动、振动、周期信号、交变场等理工领域应用广泛，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．复数的模等于 D． 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）(多选)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东滨州·一模）(多选)在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 6．（24-25高二上·安徽·开学考试）(多选)瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为1 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1 7．（疑难压轴8跨模块知识交汇的创新定义问题（小题狂练）--题型破局系列【北京专版】）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是____________.（填序号） ①        ②．        ③        ④ 8．（23-24高一下·陕西西安·阶段检测）对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)若中的为常数，则令，对任意，是否一定有常数使得？这样的是否唯一？说明理由. (3)计算，并建立它们之间的一个等式.由此发现一个一般的等式，并证明之． 考点05 复数的三角表达式 定义：一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件 它们的模与辐角的主值分别相等 复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。 辐角的主值:,记作： 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 1.求出模；2.确定辐角的主值；3.写出其三角形式 【典例5】（2025高三下·甘肃·竞赛）已知复数z满足，是虚数单位，则的最大值为_________． 【跟踪训练】1．（2026·湖北·模拟预测）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·模拟预测）(多选)已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 4．（25-26高三上·浙江宁波·期末）(多选)已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． 5．（2025·河北·模拟预测）(多选)已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D． 6．（20-21高三上·山东菏泽·期中）(多选)已知复数（其中i为虚数单位），下列说法正确的是 A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B． C． D．为实数 7．（2026·浙江嘉兴·二模）(多选)已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 8．（25-26高三下·贵州·阶段检测）(多选)设 ，则以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 考点06 复数模相关的轨迹(图形)问题 复数模的轨迹问题 （1）代表复平面内以原点为圆心，为半径的圆；是以对应点为圆心、为半径的圆。 （2）表示两点垂直平分线；为椭圆类轨迹。 （3）设代入模长公式，转化为的直角坐标方程，判断曲线类型。 【典例6】（25-26高三上·贵州安顺·期末）(多选)设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（   ） A．当时，为纯虚数 B．一定是实数 C．的最小值为2 D．在复平面内对应点的轨迹是圆 【跟踪训练】1．（25-26高三下·陕西榆林·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 2．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 3．（2026·辽宁朝阳·三模）(多选)已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则是一个等腰三角形 B．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C．若复数满足，则在复平面内对应的点为的内心 D．若复数满足，则在复平面内对应的点为的重心 4．（25-26高三下·浙江丽水·期中）(多选)已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，则 B．若复数满足，则或 C．若复数满足，则 D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 5．（2026·陕西·二模）(多选)已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（    ） A． B．的轨迹是 C．到直线的距离的最大值为 D．到圆上点的距离的最大值为 6．（2025·河南郑州·二模）(多选)已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 7．（2025·广东汕头·一模）(多选)已知复数，（x,），则下列结论正确的是（   ） A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线 8．（2024·江西·二模）(多选)设为复数，且，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则最大值为3 C．若，则 D．若，则在复平面对应的点在一条直线上 9．（25-26高三下·福建龙岩·期末）(多选)已知复数z在复平面内对应的点为P，且满足，则（    ） A．点P的轨迹是一条直线 B．复数z可以为纯虚数 C．的最小值为1 D．复数z的实部和虚部之和为0 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练03 复数中的运算、几何意义、复数方程及新定义问题6大考点 考点预览 目录 考点01 复数加减运算的几何意义 1 考点02 复数的乘方运算 5 考点03 复数范围内方程的根 9 考点04 复数中的新定义问题 14 考点05 复数的三角表达式 23 考点06 复数模相关的轨迹(图形)问题 29 考点通关 考点01 复数加减运算的几何意义 复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. （3）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 【典例1】（2026·陕西西安·三模）(多选)设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别求出和，即可判断A，求出，即可判断B；求出，并求出它的模，即可判断C；分别求出和，即可判断D. 【详解】因为，，所以， ，所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 因为，， 所以， ， 所以，故D错误. 故选：AC 【跟踪训练】1．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）(多选)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用复数模的意义、乘法运算，结合共轭复数的意义逐项计算判断. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，，，D错误. 故选：ABC 2．（24-25高三下·河南信阳·阶段检测）(多选)复数（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据共轭复数的定义，复数的模及复数的运算求解即可． 【详解】对于A，根据共轭复数的定义知，，故A正确； 对于B，互为共轭复数的两个复数的模相等，， 所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：AB． 3．（25-26高三上·江西赣州·期中）(多选)已知复数，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据复数的模、复数的四则运算规则和共轭复数的性质求解判断各选项. 【详解】对于A，由，，则， 所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，，故C正确； 对于D，由，则， ，则，故D正确. 故选：BCD 4．（22-23高三上·湖南长沙·阶段检测）(多选)已知复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的虚部为1 C． D． 【答案】AC 【分析】先化简复数，然后求出的共轭复数即可验证选项AB， 求出复数的模验证选项C，化简选项D即可 【详解】因为， 所以，故A正确； 的虚部为，故选项B错误； 由，故选项C正确， 由， 所以， 故选项D错误， 故选：AC. 5．（25-26高一下·重庆·期中）设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【分析】法一：设，，借助模长公式及复数加减运算法则计算即可得；法二：借助复数模长性质有，再利用模长公式计算即可得. 【详解】法一：设，，， 由，则， 则， 即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则， 故. 6．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）若复数满足，则__________. 【答案】3 【分析】由求解即可. 【详解】由复数的几何意义得 所以. 故答案为：3 7．（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为______． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 考点02 复数的乘方运算 虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 【典例2】（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】设，利用错位相减法求得，进而求解即可. 【详解】由，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）若复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】由复数的除法运算和纯虚数的概念，求得，再由复数的乘方运算即可求解. 【详解】由题意得，​ 因为该复数是纯虚数， 所以​，解得，即， 又 ，代入，得， 因为，所以， 所以 . 2．（25-26高三·全国·一轮复习）若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设， 因为复数满足，即， 化简得，所以，解方程组得或， 所以. 法二：由求根公式可得，所以. 3．（2026·湖南郴州·三模）已知复数满足，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】复数，根据题意求得，再计算即可得答案. 【详解】设复数，则，因为，所以， 因为，所以，即， 所以. 4．（25-26高三下·河北邯郸·阶段检测）已知复数，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数模的计算公式，即可求解.. 【详解】由复数，所以. 5．（2026·吉林白山·二模）若复数（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定满足关系，，，，再证明，由此求结论. 【详解】因为，所以， 所以，，，， 所以， 所以复数，， 所以 即， 所以的共轭复数为，其虚部为. 6．（2026·新疆·二模）(多选)已知复数z满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】因式分解求解判断A；利用实系数一元二次方程韦达定理判断B；变形判断C；利用等式性质推理判断D. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则方程的两个虚根互为共轭复数，因此，B正确； 对于C，由，得，因此，C错误； 对于D，由，得，因此， 则，D正确. 7．（25-26高三下·北京·强基计划）已知复数满足，则满足该方程的复数的个数为________． 【答案】7 【详解】当时，，，满足； 当时，则，因为，所以，所以，， 当时，有，则得，即， 而方程在复数范围内有6个不同的根， 综上所述，满足条件的复数的个数为7个. 8．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列（为虚数单位），则的前项和为___________． 【答案】 【分析】利用复数的乘方运算化简数列的通项，再利用分组求和法，结合等差、等比数列的前项和公式求解. 【详解】数列中，， 显然数列为等比数列，是等差数列， 所以. 考点03 复数范围内方程的根 1、实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 【典例3】（25-26高三下·上海·阶段检测）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，结合，再由可求b的取值范围. 【详解】由题意可知实系数方程有两个虚数根， 设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以，则， 实系数方程有虚数根， 则, 则实数的取值范围为. 【跟踪训练】1．（2026·广东·模拟预测）在复数集范围内，若是的一个根，则（   ） A．0或3 B．1或2 C．2或0 D．3或1 【答案】A 【详解】由，得，所以或， 又是的一个根，所以或， 所以或. 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是方程的根，代入方程求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）(多选)已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】方程存在两个虚数根分别为 ， 是共轭虚数，，故选项A正确； 虚数不能比较大小，故选项B错误； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，，故选项C正确； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，， ，故选项D正确. 4．（2026·山东济南·二模）(多选)已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，正确； 对B，若，则， 若，则，错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 5．（2026·湖北·二模）(多选)已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【详解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对，因此，A正确 由韦达定理可知，，所以B错误； ，C错误， ，可得，由韦达定理可知，所以， D正确. 6．（25-26高三上·吉林·阶段检测）(多选)在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．若复数，满足，则 C．若，，则的最小值为1 D．若是关于x的方程（p，）的根，则 【答案】AC 【分析】根据共轭复数的定义，复数模的运算公式，结合复数模的几何意义、实系数一元二次方程根的性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以在复平面内对应的点位于第一象限，故A正确； B：设，显然有， 但是，故B错误； C：因为，所以设， 所以， 显然当时，的最小值为1，故C正确； D：因为是关于的方程的根， 所以也是关于的方程的根， 于是有，故D错误. 故选：AC 7．（24-25高三下·海南·阶段检测）(多选)在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A将代入方程求解即可判断，对于B利用A选项得方程，求方程的根即可求，对于C计算即可判断，对于D先计算，最后利用即可求解. 【详解】对于A：是方程的根，则， 即，那么，所以，，故A错误； 对于B：由A知，，所以，，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，所以，故D正确． 故选：BCD． 8．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 9．（2025高三下·重庆·竞赛）若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】法一：设出方程的根并代入方程求解，再根据复数相等列出方程，利用参数表示，再结合二次函数性质，可得答案；法二：根据三次方程的韦达定律，表示出参数，其余步骤同法一. 【详解】法一：设方程有模为的虚根，其中满足. 代入有，从而有且. 注意，所以. 注意，所以. 另一方面，对每一个，可找到一个， 使得，，，且使方程有模为的虚根. 故的取值范围为. 法二：由实系数多项式方程虚根成对原理，可设方程的两虚根为， 其中满足，由韦达定理知此三次方程三根之和为0，从而其唯一实根为. 再由韦达定理知，. . 注意，所以. 另一方面，对每一个，可找到一个， 使得，，，且使方程有模为的虚根. 故的取值范围为. 故答案为：. 考点04 复数中的新定义问题 【典例4】（23-24高三上·山东青岛·期末）(多选)欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（    ） A．在复平面内对应的点在第三象限 B． C．的共轭复数为1 D．复数的实部为 【答案】BD 【分析】由复数几何意义可判断A，由复数模的运算可判断B，由共轭复数、实部的概念可判断CD. 【详解】对于A，在复平面对应的点为在第二象限（因为），故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，的共轭复数为，故C错误； 对于D，的实部为，故D正确. 故选：BD. 【跟踪训练】1．（25-26高一下·安徽阜阳·期末）(多选)在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】由新定义知识依次判断选项即可． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C，因为， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为， 则在复平面内分别对应点， 可得， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D正确. 2．（24-25高一下·江苏·期中）(多选)瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若复数的虚部为，，则的实部为 D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为 【答案】AB 【分析】根据欧拉公式及复数得模即可判断A； ，整理即可判断B； 根据欧拉公式及复数的虚部为，，结合三角恒等变换，求出，即可求出的实部，从而判断C； 根据题意可得，点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积的最大值，从而判断D. 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C， ， 因为复数的虚部为，所以， 又，所以， 故，所以， 所以， ， ， 即的实部为，故C错误； 对于D，由题意，， 则点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆， 又，， 当，即时，取最大值， 所以三角形面积的最大值为，故D错误. 故选：AB. 3．（25-26高一下·福建泉州·期末）(多选)欧拉公式是虚数单位巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，在涉及波动、振动、周期信号、交变场等理工领域应用广泛，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．复数的模等于 D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，解法一：， 解法二：， 所以，故C选项错误； 对于D选项， ，故D选项正确． 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）(多选)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，，所以,得出，故选项C正确； 对于D，由C选项的分析得，推不出，故选项D错误. 故选：ABC. 5．（2026·山东滨州·一模）(多选)在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 6．（24-25高二上·安徽·开学考试）(多选)瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为1 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1 【答案】AC 【分析】A选项，根据题意得到，得到虚部；B选项，求出，故对应的点坐标为，得到B错误；C选项，计算出，故C正确；D选项，计算出，，则，故，得到面积最大值为. 【详解】A选项，，故的虚部为1，A正确； B选项，， 故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项，若，， 故，， 则，故， 当，即时，面积取得最大值，最大值为，D错误. 故选：AC 7．（疑难压轴8跨模块知识交汇的创新定义问题（小题狂练）--题型破局系列【北京专版】）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是____________.（填序号） ①        ②．        ③        ④ 【答案】②④ 【分析】对由递推公式生成的不同数列情况进行分析，结合收敛点的定义判断即可. 【详解】对于①，由可得数列随的增大不断增大，①错误． 对于②，由可得数列，，当时，，则恒成立，存在一个正数，使得对任意都成立，②正确． 对于③，由可得数列，不满足题意，③错误． 对于④，由可得数列，，从第二项起为周期数列，周期为2，因为，所以存在一个正数，使得对任意都成立，④正确． 故选：②④ 8．（23-24高一下·陕西西安·阶段检测）对任意复数，定义. (1)若，求相应的复数； (2)若中的为常数，则令，对任意，是否一定有常数使得？这样的是否唯一？说明理由. (3)计算，并建立它们之间的一个等式.由此发现一个一般的等式，并证明之． 【答案】(1)， (2)，，m不唯一，理由见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由复数相等的性质分析可得到结果； （2）利用诱导公式，即可说明理由. （3）计算，发现，从而有，利用定义证明. 【详解】（1）由，, 得， 即，由得，进而， 当时，，解得，此时； 当时，，无解，舍去. 所以，，故. （2）由题意得，， 因为，，， 所以， 所以令，，则有， 同时取不同值时，也有相应的不同值，故不唯一. （3）, , , 所以， 一般的，对于任意复数，有， 证明如下， ， 而， 所以. 【点睛】关键点点睛：利用已知中的定义：对任意复数，定义，对问题中的进行计算. 考点05 复数的三角表达式 定义：一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 两个用三角形式表示的复数相等的充要条件 它们的模与辐角的主值分别相等 复数的辐角 以x轴的正半轴为始边、向量所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角。 辐角的主值:,记作： 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤 1.求出模；2.确定辐角的主值；3.写出其三角形式 【典例5】（2025高三下·甘肃·竞赛）已知复数z满足，是虚数单位，则的最大值为_________． 【答案】37 【分析】设复数z的三角形式，计算，利用辅助角公式求最大值. 【详解】因为，令，则，. 令， 则， （其中满足）， 所以，当时，取得最大值，且. 【跟踪训练】1．（2026·湖北·模拟预测）已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】， 则. 2．（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，然后由棣莫弗定理得，即可求解其虚部. 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 3．（2026·山东济南·模拟预测）(多选)已知方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位圆．下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】ACD 【详解】，A正确；，B错误； 依题意方程的个根在复平面内对应的点九等分单位圆， 已知是其中一个根，则个根的幅角依次为， 即根为， 当时，有，C正确； 当时，有，D正确. 4．（25-26高三上·浙江宁波·期末）(多选)已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（     ） A．的三角形式为 B．若，则实数的值为3 C．，，……，中有44个正整数 D． 【答案】BC 【分析】对于A，直接代入结合复数三角形式即可求解；对于B，根据复数运算得的虚部为，再由复数的概念即可求；对于C，根据题意，先求得，再判断即可；对于D，由即可判断． 【详解】对于A，当时，， 则对应的三角形式为，故A错误； 对于B， ， 又， 所以， 则的虚部为， ，，解得，B正确； 对于C，先求，根据复数模的性质：若，则， 对于，模为， 所以 ， 要使为正整数，则必须是完全平方数， 即（），则， 因为，所以，即， 因为，，， 又因为，所以，故， 所以从到，共个正整数，选项C正确； 对于D，由， ， ， ，故D错误． 故选：BC． 5．（2025·河北·模拟预测）(多选)已知复数，则（    ） A．的虚部是 B． C． D． 【答案】AB 【分析】由复数的概念及四则运算逐个判断即可. 【详解】，其虚部是A正确； B正确； C不正确； D不正确， 故选：AB. 6．（20-21高三上·山东菏泽·期中）(多选)已知复数（其中i为虚数单位），下列说法正确的是 A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B． C． D．为实数 【答案】CD 【解析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断；复数的模判断；复数的乘法判断；复数的解法与除法，判断． 【详解】复数（其中为虚数单位）， 复数在复平面上对应的点不可能落在第二象限，所以不正确； ，所以不正确； ．所以正确； 为实数，所以正确； 故选：CD 7．（2026·浙江嘉兴·二模）(多选)已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可. 【详解】. 进一步，即数列周期为. 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为. 选项A.，A错误. 选项B.，因此，B正确. 选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，. 表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离， 两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 8．（25-26高三下·贵州·阶段检测）(多选)设 ，则以下选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的运算法则计算即可判断 【详解】对于A： ，A正确; 对于B： ，故B正确; 对于C：因为， 所以 ，故 C 错误; 对于 D： ，故 D 正确. 考点06 复数模相关的轨迹(图形)问题 复数模的轨迹问题 （1）代表复平面内以原点为圆心，为半径的圆；是以对应点为圆心、为半径的圆。 （2）表示两点垂直平分线；为椭圆类轨迹。 （3）设代入模长公式，转化为的直角坐标方程，判断曲线类型。 【典例6】（25-26高三上·贵州安顺·期末）(多选)设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（   ） A．当时，为纯虚数 B．一定是实数 C．的最小值为2 D．在复平面内对应点的轨迹是圆 【答案】AC 【分析】根据复数的分类判断A，特殊值法计算判断B，结合模长公式判断C，根据复数在复平面内对应点的轨迹判断D. 【详解】因为复数， 当时，为纯虚数，A选项正确； 当时，不是实数，B选项错误； ，所以的最小值为2，C选项正确； 设在复平面内对应点为， 所以在复平面内对应点的轨迹是直线，D选项错误. 故选：AC. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·陕西榆林·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 【答案】A 【详解】记复数在复平面中的点为， 表示点到原点的距离，表示点到的距离， 因为，所以在复平面内对应的点形成的轨迹为线段的中垂线， 即一条直线. 2．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】求出对应的坐标，消去，即可得到点的轨迹. 【详解】设对应点的坐标为，则， 消去得，则点的轨迹为圆． 故选：B． 3．（2026·辽宁朝阳·三模）(多选)已知复数在复平面内对应的点分别为，且点连接后构成三角形，则下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则是一个等腰三角形 B．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹是以为直径的圆 C．若复数满足，则在复平面内对应的点为的内心 D．若复数满足，则在复平面内对应的点为的重心 【答案】AD 【分析】对A、B和C，根据选项条件，利用复数的几何意义，即可求解；对D，根据条件，利用复数的几何意义及复数的运算，得到，即可求解. 【详解】对于A，由，知，故为等腰三角形，所以A正确； 对于B，设复数在复平面内对应的点为P，由，得到， 若与A，B两点重合，不满足，所以点P的轨迹一定不是以AB为直径的圆，故B错误； 对于C，设复数在复平面内对应的点为P，由， 得到，所以点P为的外心，故C错误； 对于D，设，设复数z在复平面内对应的点为P， 则，所以， 则，所以点P为的重心，D正确． 4．（25-26高三下·浙江丽水·期中）(多选)已知为虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，则 B．若复数满足，则或 C．若复数满足，则 D．若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【分析】由复数求出其共轭复数，并求出，即可判断A；设复数，根据复数模的几何意义，得到复数所对应的点的轨迹方程，即可判断B；取满足的特殊复数，，验证是否成立，即可判断C；设复数，分别求出和，并将等式变形化简得到，即可判断D. 【详解】若复数，则其共轭复数，所以，故A正确； 设复数，若，则， 所以复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 所以复数不是只有或这4个值，故B错误； 设复数，，此时，满足， 但是，，显然，故C错误； 设复数， 则，， 若，将其两边平方可得， 即，即. 所以复数在复平面内对应的点的轨迹为直线，故D正确. 5．（2026·陕西·二模）(多选)已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（    ） A． B．的轨迹是 C．到直线的距离的最大值为 D．到圆上点的距离的最大值为 【答案】AC 【分析】对A，利用复数模的三角不等式求解判断；对B，由复数的几何意义判断；对CD，数形结合求解判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，设，则， 所以表示点与点距离之和等于2， 所以点的轨迹为线段，即，故B错误； 对于C，由前面知，的轨迹为线段，即， 如图，到直线的最大距离为点到直线的距离，即，故C正确； 对于D，因为点的轨迹为线段，即，且在圆内， 设点到圆上的点的距离为，则 所以到圆上点的距离的最大值为，此时的坐标为，故D错误. 6．（2025·河南郑州·二模）(多选)已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】设，得到其在复平面的点坐标，设，证明，从而得到点的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可. 【详解】设，则复数在复平面内对应点，设， 则，同理， ∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径， ∴短半轴，∴点的轨迹方程为：， A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确； D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误. 故选：ABC. 7．（2025·广东汕头·一模）(多选)已知复数，（x,），则下列结论正确的是（   ） A．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线 D．方程表示的z在复平面内对应点的轨迹是直线 【答案】AD 【分析】根据复数的几何意义逐个选项判断即可. 【详解】根据复数的几何表示知： 对A，方程表示到定点的距离等于2的动点轨迹，即圆，A正确； 对B，方程表示到定点与距离的和为2的动点轨迹，而与的距离也为2，所以z在复平面内对应点的轨迹为线段，B错误； 对C，方程表示到定点与的距离的差为1的动点轨迹，即双曲线的一支，C错误； 对D，方程表示到定点与的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D正确． 故选：AD 8．（2024·江西·二模）(多选)设为复数，且，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则最大值为3 C．若，则 D．若，则在复平面对应的点在一条直线上 【答案】BD 【分析】通过举反例判断A和C；由复数的几何意义判断B和D． 【详解】对于A，令，满足，但不成立，故A错误； 对于B，设，， 因为，则复数的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义为到的距离，其最大值为，故B正确； 对于C，令，则，， 满足，但，故C错误； 对于D，因为，设对应的点为， 若，则在复平面内对应点到和的距离相等，即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上，所以在复平面对应的点在一条直线上，故D正确； 故选：BD． 9．（25-26高三下·福建龙岩·期末）(多选)已知复数z在复平面内对应的点为P，且满足，则（    ） A．点P的轨迹是一条直线 B．复数z可以为纯虚数 C．的最小值为1 D．复数z的实部和虚部之和为0 【答案】AB 【分析】设出复数，根据条件代入解得，再根据复数的概念以及模求解即可. 【详解】设复数（），对应点. 因为，所以，整理得，即点的轨迹是复平面的虚轴， 选项A.点的轨迹是，即虚轴，是一条直线，正确. 选项B.因为，因此可以为纯虚数，正确. 选项C.，因此的最小值为，错误. 选项D.的实部为，虚部为，和为，可以是任意实数，不一定为，错误. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $