陕西汉中市汉台中学2025-2026学年高三上学期第四次月考数学试题

汉台中学2026届高三年级第四次月考数学科 试题命题：李少毓 审题：韩昕形 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（） A. B. C. D. 2. 若命题：，则命题的否定是（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则实数k为（ ） A. 2 B. 3 C. －3 D. －2 4. 若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 6. 已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（   ） A. B. C. 4052 D. 7. 设函数在区间内恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：） A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 当或13时，取得最大值 D. 若．则数列的前36项和 11. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线上存在点，使得 C. 直线与曲线只有一个交点 D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则复数的虚部为______． 13. 函数在区间上的值域为______． 14. 已知为无穷数列，构造新数列，满足满足满足．若为非零常数列，则称为阶等差数列．若数列为2阶等差数列，且其前5项分别为3，6，10，15，21，则数列的通项公式___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求A： （2）若，的面积为，求的周长． 16. 为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》，某地响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表： 单个家庭生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年 补贴方案二 每月补助1000元，共补贴3年 通过人口普查，可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率： 单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3 概率 由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在0～3的情况． （1）若采用补贴方案一，随机选取某家庭，其补助不低于1100元/月，求其共生育2个婴儿的概率； （2）试从期望的角度讨论这两种补贴方案哪套的补贴额更高． 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别是，，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆（）的离心率为． （1）求E的方程； （2）记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积． 19. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 汉台中学2026届高三年级第四次月考数学科 试题命题：李少毓 审题：韩昕形 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）采用补贴方案二的补贴额更高 【17题答案】 【答案】（1）证明：分别是的中点， ，且， 在三棱柱中，是的中点，，且， 且， 四边形为平行四边形，， 又平面平面， 平面. （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）1； （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $