2.3 一元二次方程的解法 第3课时 用公式法一元二次方程 教案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“用公式法解一元二次方程”，通过置疑导入对比配方法解不同方程的过程，引导学生发现系数对根的影响，搭建从配方法到求根公式推导的学习支架。 特色在于以“从特殊到一般”推导求根公式，培养抽象能力和推理意识，通过小组讨论和严谨推导根的判别式，结合例题变式训练规范解题，拓展阅读高次方程历史激发创新意识，助力学生理解公式本质提升运算能力，便于教师突出重难点实施教学。

2.2 一元二次方程的解法 第3课时　用公式法解一元二次方程 夯实基础 1．解方程最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定、、的值．对于方程，下列叙述正确的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为（　　） A． B． C． D． 4．已知关于的方程为常数），对根的情况判断正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与值有关 5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可以是　　 ．（写出一个即可） 6．一元二次方程的根是　　 ． 7．用公式法解方程：． 8．解方程：（用公式法）． 能力提升 9．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 10．已知，，是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是 　　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角” ． 11．小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，，第四步 （1）小明的解答是从第　　 步开始出错的； （2）请按照小明的方法，写出本题正确的解答过程． 12．若一元二次方程的右边被墨水污染□． （1）若方程的一个解为时，求“□”的值； （2）若“□”表示，求． 13．已知关于的方程． （1）若是该方程的一个解，求的值； （2）若该方程有实数根，求的取值范围． 思维拓展 14．当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为（　　） A．5 B． C．1 D． 答案详解 1．解：由的特点可知，求根公式法最适当， 故选：． 2．解： ，或 ，，或，，． 故选：． 3．解：．方程的解为：，故符合题意； ．方程的解为：，故不符合题意； ．方程的解为：，故不符合题意； ．方程的解为：，故不符合题意． 故选：． 4．解：，，， 根的判别式△， △， 原方程有两个不相等的实数根． 故选：． 5．解：将方程整理得：． 该一元二次方程有两个不相等的实数根， △． 解得． 的值可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 6．解：原方程可化为， ，，， △， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 7．解：， ，，， △， ， ，． 8．解：根据公式法求解可得： △， ， ． 9．解：由题知， 因为直线不经过第三象限， 所以． 当时，方程为， 解得， 所以此方程有1个实数根． 当时， △， 所以此方程有两个不相等的实数根， 综上所述，该方程的实数根有1个或2个． 故选：． 10．解：根据题意得且△， 即， 所以， 所以是钝角三角形． 故答案为：钝角． 11．解：（1）由小明的解答过程可知，从第一步开始出错的，因为没把方程化为一元二次方程的基本形式， 故答案为：一； （2）， ， ，，， ， ， ，． 12．解：（1）由条件可知， “□”的值为3． （2）由题意得方程为， ， △， ， ，． 13．解：（1）由条件可知， 整理得， 解得，； （2）由条件可知： ， 解得， 即时，关于的方程有实数根． 14．解：一元二次方程为的两个根为，， ， 代数式的值为3， 代数式的值为， 故选：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 一元二次方程的解法 第3课时　用公式法解一元二次方程 【课堂引入】 【置疑导入】 在已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景． 解下列一元二次方程： (1)x2＋4x＋4＝0.(2)x2－6x＋1＝0.(3)4x2－16x＝1. 然后让学生仔细观察三个方程的解答过程，由此发现有什么相同之处，有什么不同之处？ 接着再改变上面每个方程的其中一个系数，得到三个新的方程： (1)x2＋4x＋2＝0.(2)x2－2x＋1＝0.(3)2x2－16x＝1. 思考1：变化前与变化后方程的解答过程相比，有什么相同之处和不同之处？ 由学生的观察讨论得到：用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及方程的根． 思考2：方程的根不同的主要原因是系数发生改变，可否通过系数直接求解方程？ 【教学目标】 课题 第3课时　用公式法解一元二次方程 授课人 素养目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程． 2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程． 3．能够理解一元二次方程根的判别式，会用根的判别式进行相关的计算或推理． 4．通过运用公式法解一元二次方程，培养寻求简便方法的探索精神及创新意识，提高运算能力，并在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心. 教学重点 一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算. 教学难点 一元二次方程求根公式法的推导. 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 学生活动： 用配方法解下列方程： (1)6x2－7x＋1＝0.　　　　　　　　(2)4x2－3x＝52. 总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)． (1)化二次项系数为1； (2)移项； (3)方程两边都加上一次项系数一半的平方； (4)原方程变形为(x＋n)2＝p的形式； (5)如果右边是非负数，直接开平方求出方程的解；如果右边是负数，一元二次方程无解． 探究学习： 如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的根. 总结用配方法解一元二次方程的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 张老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速做出判断的吗？下面让我们一起探究今天的新知吧！ 通过情景，学生产生疑问“如何快速判断方程根的情况”，激发深入探究新知的欲望，从而顺利完成本课知识的学习. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 问题1：利用配方法，你能解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？ 学生自主解方程，确定一名学生进行板演． 教师点拨：我们不妨把a，b，c也当成一个具体的数字，根据配方法的解题步骤一步步推下去． 解：方程两边都除以a，得x2＋x＋＝0. 配方，得x2＋x＋()2－()2＋＝0. 变形，得(x＋)2＝. ①当b2－4ac＞0时，x＋＝±. 方程有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝． ②当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－． ③当b2－4ac＜0时，方程无实数根． 教师提示： (1)在开方环节能直接开平方吗？需要注意什么？ (2)等号右边的值可能为负吗？ 学生小组内交流、讨论，达成共识． 练习：试用公式法解方程6x2－7x＋1＝0. 学生自主解方程，简述方法，教师点评． 问题2：回顾一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解过程，你能分析出它的解的情况吗？ 学生小组内交流、讨论，教师给予指导和帮助，达成共识． 得出结论： 一般地，式子b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac． 教师提示：当Δ≥0时，方程的实数根可写为x＝，这个式子称为一元二次方程的求根公式，利用求根公式解方程的方法称为公式法． 练习：判断一元二次方程2x2＋x＋1＝0的解的情况. 1.学生回顾配方法的解题思路，从数字系数过渡到字母系数进行配方，并推导公式． 2．通过解方程的感受与经验，让学生体会数式通性，进而通过对b2－4ac的值的讨论感受数学的严谨性和数学结论的确定性． 3．小组的讨论激发学生学习的积极性且有利于发挥学生互帮互助的精神，有利于发挥集体的优势，有利于突破重难点． 4．帮助学生自己构建知识体系，让学生体验获取知识的过程，感受获得知识的喜悦. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第42页例3)解方程： (1)x2－7x－18＝0.　　(2)4x2＋1＝4x. 解：(1)这里a＝1，b＝－7，c＝－18. 因为b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121＞0， 所以x＝＝， 即x1＝9，x2＝－2. (2)将原方程化为一般形式，得4x2－4x＋1＝0. 这里a＝4，b＝－4，c＝1. 因为b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0， 所以x＝＝， 即x1＝x2＝. 教师点拨：用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a，b，c的值，再判断Δ的正负． 【变式训练】 1．用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，正确的是（　D　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（　C　） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程2x2－3x＋c＝0无解，则c的取值范围为c＞． 4.解下列方程： （1）， 整理得：， △ ， ， ，． （2）， ， △， 则， 所以． 　　　　　　　　　　　　　　 培养学生分析问题、解决问题的能力. 活动4：随堂检测 【随堂检测】 1.用公式法解一元二次方程3x2－4x＝8时，方程化为一般形式后的a，b，c依次为(B) A．3，－4，8 B．3，－4，－8 C．3，4，－8 D．3，4，8 2．方程7x2－6x－5＝0的解为x1＝，x2＝． 3．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜且m≠1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4．解方程：5x2－2x－1＝0. 解：∵a＝5，b＝－2，c＝－1， ∴Δ＝(－2)2－4×5×(－1)＝24＞0. ∴x＝＝＝. ∴x1＝，x2＝.　　　　　　　　 学以致用，通过课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 1.课堂小结： (1)本节课学习内容： ①求根公式的概念及其推导过程； ②公式法的概念； ③应用公式法解一元二次方程； ④初步了解一元二次方程根的情况． (2)用公式法解方程时应注意以下几点： ①用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：a≠0且Δ≥0. ②用求根公式求一元二次方程的根，实际上就是把a，b，c的值代入代数式求值，所求的两个值即为所求方程的两个根．在代入a，b，c的值时一定注意它们的符号． ③注意表示未知数的字母．如方程t2＋2t＝3中“t”为未知数，其解为t1＝1，t2＝－3，而不要习惯写成x1＝1，x2＝－3. ④当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，而不要误认为只有一个实数根． ⑤当方程的字母系数中已含有a，b，c时，在书写时应注意回避．如解关于x的方程x2－3ax＋(2a2－ab－b2)＝0时，千万不能写成a＝1，b＝－3a，c＝2a2－ab－b2，否则就把一元二次方程一般形式中的系数a，b，c与题中的字母系数相混淆．正确的做法是：二次项系数为1，一次项系数为－3a，常数项为2a2－ab－b2，然后直接代入公式．或者记为A＝1，B＝－3a，C＝2a2－ab－b2，再代入公式求解． ⑥在解一元二次方程时，要明确哪个字母是未知数，如“关于x的方程mx2＋2x＋1＝0”是指明x为未知数，而m为未知的常数． ⑦当Δ<0 时，直接判定此方程无实数根，而这种判定一元二次方程无实数根的过程也是解方程． 2．布置作业： 教材第43页随堂练习第1～3题，教材第45页习题2.2第2题. 培养学生的归纳能力和语言表达能力，从而使学生更加系统地掌握知识和方法. 教学反思 　　本节课以学生已掌握的配方法为基础，循序渐进开展公式法解一元二次方程的教学。通过对一般形式一元二次方程进行配方推导，引导学生理解求根公式的生成过程，体会从特殊到一般的数学思想，并自然延伸至根的判别式的学习，帮助学生构建完整的一元二次方程求解知识体系。整体教学环节衔接自然，重难点突出。 课堂反馈显示，大部分学生能够识记求根公式，基本掌握利用公式求解方程的基本步骤，但学习中仍存在明显短板。部分学生机械套用公式，对根的判别式的本质意义理解不够透彻，缺乏 “先判断根的情况、再代入求解” 的解题意识，解题流程不够规范。同时，学生在代入系数、符号处理、根式化简等细节上频繁出现运算错误，运算的严谨性和准确性有待提升。 针对以上问题，后续教学中将进一步强化公式推导原理的讲解，让学生知其然更知其所以然。通过典型例题与易错错题对比训练，突出判别式优先判断的解题规范，固化 “先判别、后代入、细计算” 的解题流程。同时加强针对性运算训练，重点纠正符号、根式化简等常见错误，培养学生严谨的代数推理能力与规范解题习惯，切实提升学生灵活运用公式法解题的能力。 反思，更进一步提升. 一元三次、四次方程有求根公式吗？ 我们知道：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可用公式x＝来求得解，这个公式早在公元9世纪已由中亚细亚的阿尔·花拉子米给出． 一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有求根公式吗？有，这个公式是1945年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫作“卡当公式”．可是，事实上发现公式的人并不是卡当本人，而是塔尔塔利亚． 至于一元四次方程ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0的求根公式由卡当的学生弗拉利找到了． 三次、四次方程公式问世之后，无数数学家投入到五次方程的研究。欧拉、拉格朗日等大数学家反复尝试，耗费两百多年却始终无法找到通用求根公式。拉格朗日深入分析二、三、四次方程的解法，发现方程求解和根的排列置换密切相关，他率先提出猜想：五次方程或许根本不存在通用根式解，但没能给出严格证明。 之后意大利数学家鲁菲尼率先尝试证明五次方程没有通用求根公式，写出长篇论证，不过证明存在漏洞，当时没有得到学界普遍认可。1824 年，年轻的挪威数学家阿贝尔完善并严格证明：一般的一元五次及五次以上方程，不存在只用加减乘除、开方写出的通用求根公式，也就是阿贝尔鲁菲尼定理。但阿贝尔没有解决：哪些具体的高次方程能够用根式求解。 这个遗留难题，最终由法国数学奇才伽罗瓦彻底解决，他建立起全新的 “伽罗瓦理论”，开创了代数学崭新的研究方向。 伽罗瓦的论文在生前无人读懂，在他离世十几年之后，数学家刘维尔整理发表他的手稿，这份天才的成果才被整个数学界看见。 通过以上材料的阅读，你知道一元三次、四次方程有求根公式吗？一元五次方程呢？从中，你受到哪些启发呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $