2.2 一元二次方程的解法 第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程 备课包 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2.2 一元二次方程的解法 第3课时　用公式法解一元二次方程 夯实基础 1．解方程最适当的方法是（　　） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 2．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定、、的值．对于方程，下列叙述正确的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为（　　） A． B． C． D． 4．已知关于的方程为常数），对根的情况判断正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与值有关 5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可以是　　 ．（写出一个即可） 6．一元二次方程的根是　　 ． 7．用公式法解方程：． 8．解方程：（用公式法）． 能力提升 9．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 10．已知，，是的三边长，若一元二次方程没有实数根，则是 　　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角” ． 11．小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下： 解：，，，第一步 ，第二步 ，第三步 ，，第四步 （1）小明的解答是从第　　 步开始出错的； （2）请按照小明的方法，写出本题正确的解答过程． 12．若一元二次方程的右边被墨水污染□． （1）若方程的一个解为时，求“□”的值； （2）若“□”表示，求． 13．已知关于的方程． （1）若是该方程的一个解，求的值； （2）若该方程有实数根，求的取值范围． 思维拓展 14．当，，时，若代数式的值为3，则代数式的值为（　　） A．5 B． C．1 D． 答案详解 1．解：由的特点可知，求根公式法最适当， 故选：． 2．解： ，或 ，，或，，． 故选：． 3．解：．方程的解为：，故符合题意； ．方程的解为：，故不符合题意； ．方程的解为：，故不符合题意； ．方程的解为：，故不符合题意． 故选：． 4．解：，，， 根的判别式△， △， 原方程有两个不相等的实数根． 故选：． 5．解：将方程整理得：． 该一元二次方程有两个不相等的实数根， △． 解得． 的值可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 6．解：原方程可化为， ，，， △， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 7．解：， ，，， △， ， ，． 8．解：根据公式法求解可得： △， ， ． 9．解：由题知， 因为直线不经过第三象限， 所以． 当时，方程为， 解得， 所以此方程有1个实数根． 当时， △， 所以此方程有两个不相等的实数根， 综上所述，该方程的实数根有1个或2个． 故选：． 10．解：根据题意得且△， 即， 所以， 所以是钝角三角形． 故答案为：钝角． 11．解：（1）由小明的解答过程可知，从第一步开始出错的，因为没把方程化为一元二次方程的基本形式， 故答案为：一； （2）， ， ，，， ， ， ，． 12．解：（1）由条件可知， “□”的值为3． （2）由题意得方程为， ， △， ， ，． 13．解：（1）由条件可知， 整理得， 解得，； （2）由条件可知： ， 解得， 即时，关于的方程有实数根． 14．解：一元二次方程为的两个根为，， ， 代数式的值为3， 代数式的值为， 故选：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　用配方法解较复杂的一元二次方程 【课堂引入】 【复习导入】 1．能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：(1)(x＋3)2＝5；(2)x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？ 2．(1)回顾完全平方公式，并完成填空． ①x2＋8x＋16＝(x＋4)2； ②x2－12x＋36＝(x－6)2； ③x2＋bx＋＝(x＋)2. 观察并思考：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？ 教师点拨：常数项是一次项系数一半的平方． (2)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？ 【教学目标】 课题 第2课时　用配方法解较复杂的一元二次方程 授课人 素养目标 1.进一步掌握配方法解一元二次方程的步骤，并能灵活解答． 2．会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程． 3．经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，会用化归思想总结用配方法解一元二次方程的基本步骤. 教学重点 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程. 教学难点 理解配方法. 授课类型 新授课 【课堂流程】 教学步骤 互动探究 设计意图 回顾 提出问题： 1．定义：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 2．配方根据： (1)平方根的意义：如果x2＝a，那么x＝±； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 回顾以前学过的知识，为学习本课时打下基础. 活动1：创设情境、导入新课 【课堂引入】 (1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答)． ①x2＋2x＋________＝(x＋________)2； ②x2－4x＋________＝(x－________)2； ③x2＋________＋36＝(x＋________)2； ④x2＋10x＋________＝(x＋________)2. (2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别． ①x2＋6x＋8＝0； ②3x2＋18x＋24＝0. 探讨：方程②应如何去解呢？ 1.让学生回顾配方法，能熟练将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式． 2．让学生梳理用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤，夯实基础，为完善用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤做准备. 活动2：实践探究、交流新知 【探究新知】 1．观察【课堂引入】中方程3x2＋18x＋24＝0，它与前面我们所解的方程有什么不同？你有什么想法？ 先让学生回答这个方程与前面我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为前面我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示． 2．用配方法解一元二次方程的步骤． 教师：下面请大家仔细观察教材例2的解题过程，你能说一说用配方法解一元二次方程的步骤吗？请同学们总结一下． 交流归纳： 用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程一般步骤大致概括如下： (1)化二次项系数为1； (2)配方，使原方程变为(x＋m)2－n＝0的形式； (3)移项，使方程变为(x＋m)2＝n的形式． (4)用直接开平方法解方程. 1.让学生在实践中逐步体会用配方法求解一元二次方程的一般步骤，在学生有了初步认识的基础上，教师再展示步骤，目的是引导学生掌握这种思想，而不是让学生死记硬背这些步骤．使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、思想和方法， 2．探讨总结用配方法解一元二次方程的一般步骤，一方面可以培养学生归纳总结问题的能力及逻辑思维和语言表达能力，另一方面让学生能熟练掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的驾驭能力. 活动3：开放训练、体现应用 【典型例题】 例　(教材第38页例2)解方程：3x2＋8x－3＝0. 解：两边都除以3，得x2＋x－1＝0. 配方，得x2＋x＋(×)2－(×)2－1＝0， 即(x＋)2－＝0. 移项，得(x＋)2＝. 两边开平方，得x＋＝±， 即x＋＝或x＋＝－.所以x1＝，x2＝－3. 【变式训练】 解方程：3x2－6x－8＝0. 解：移项、二次项系数化为1，得x2－2x＝. 配方，得x2－2x＋1＝＋1， 即(x－1)2＝. ∴x－1＝±. ∴x1＝，x2＝. 引导学生合作交流，让学生熟悉利用配方法求解一元二次方程的步骤. 活动4：课堂检测 【随堂检测】 1．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(D) A．x2－4x－1＝0可化为(x－2)2＝5 B．x2＋6x＋8＝0可化为(x＋3)2＝1 C．2x2－7x－6＝0可化为(x－)2＝ D．9x2＋4x＋2＝0可化为(3x＋2)2＝2 2．解下列方程： (1)(2)2x2＋10x－9＝0. (2)9y2－18y－4＝0. 解：（1）整理，得x2＋5x＝. 配方，得x2＋5x＋＝＋， 即(x＋)2＝. 由此可得x＋＝±， ∴x1＝，x2＝. (2)y1＝1＋，y2＝1－. 学以致用，通过课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都有所收获、有所提高. 课堂小结 1.课堂小结： (1)核心思想：化归转化．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，先将方程两边同时除以二次项系数，把方程转化为二次项系数为1的形式，再沿用“移项→配方→开方→求解”的步骤，体现了“化未知为已知”的化归思想． (2)关键步骤与易错提醒：配方的核心是在方程两边加上一次项系数一半的平方．易错点：①除以二次项系数时，常数项也要同步除以该系数；②配方时要注意符号，确保等式两边变形一致，避免漏加或符号错误． 2．布置作业： 教材第39页随堂练习第1题，教材第45页习题2.2第1题. 注重课堂小结，形成知识网络，激发学生参与课堂总结的主动性. 教学反思 　本节课聚焦用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程，教学中以 “化归” 思想为核心，引导学生先将方程两边同除以二次项系数，转化为已学的二次项系数为 1 的形式，再逐步完成配方、开方求解，帮助学生构建 “化未知为已知” 的解题思维体系。课堂整体思路清晰，学生能够理解将复杂方程转化为基础方程的核心解题逻辑，基本掌握配方法的整体解题框架。 但在实操解题过程中，学生的运算规范性与细节把控仍存在明显短板。多数学生虽懂原理，但机械运算、忽视等式基本性质：在统一二次项系数时，常常只对二次项、一次项进行化简，遗漏常数项同除，造成方程变形不等价；在配方环节，对一次项系数的符号判断不准确，对 “一次项系数一半的平方” 计算失误，且容易出现只在方程左边配方、右边漏加的典型错误，直接导致完全平方式构造错误，最终开方求解出现偏差，充分反映出学生重步骤记忆、轻原理理解的问题，几何等式变形的严谨性较为欠缺。 后续教学中，我将进一步细化教学流程，拆解每一步解题要点，摒弃笼统讲解的方式。通过正误对比、易错题组专项训练，突出 “化系数为 1、移项变号、对等配方、规范开方” 四大核心步骤，引导学生系统梳理完整解题流程。同时注重强化原理讲解，让学生知其然更知其所以然，深刻理解每一步变形的依据。持续规范学生解题书写，针对性纠正运算陋习，逐步提升学生代数运算的准确性、严谨性与解题规范性。 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $