2.4 单摆（导学案）物理人教版选择性必修第一册

该高中物理导学案围绕单摆展开，核心知识点包括单摆模型的理想化条件、回复力来源与简谐运动判定、周期公式及影响因素。课堂导入通过生活中的钟摆、秋千等实例引发思考，结合注射器墨迹实验验证振动图像，搭建从生活现象到物理模型的学习支架。 该资料突出科学探究与科学思维，采用控制变量法探究周期影响因素，详细设计实验步骤与数据处理，培养学生科学探究能力。回复力推导中运用小角度近似建构模型，等效重力场分析深化科学思维，典例变式结合傅科摆等实际情境，助力物理观念形成，分层习题设计便于自主学习与教学评估。

4. 单摆 导学案 1．理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源。 2．知道影响单摆周期的因素，掌握单摆做简谐运动的周期公式。 1．单摆回复力的来源分析与简谐运动判定条件。（重点） 2．单摆周期影响因素的实验探究与规律认知。（重点） 3．受力分解推导回复力的逻辑，以及等效重力场下单摆周期的灵活辨析。（难点） 【自主预习】 一、单摆及其回复力 1．单摆：将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比 ，球的直径和线的长度相比 ，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的 模型。 温馨提示：研究单摆时还有一个条件：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。 2．单摆的回复力 空气等对单摆的阻力可以忽略时，对小球受力分析如图所示。 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧 方向的分力F＝mgsinθ。 (2)回复力的特点：当摆角θ很小时，可认为回复力F指向 ，与位移x反向；且有sinθ≈θ＝≈，则回复力F＝ ＝－kx，因此单摆在摆角很小的情况下做 运动。 二、单摆的周期 1．影响单摆周期的因素：单摆做简谐运动的周期与摆长 ，摆长越长，周期 ；单摆的周期与摆球质量和振幅 。 2．单摆做简谐运动的周期公式 (1)提出：单摆做简谐运动的周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式： ，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成 ，与重力加速度g的二次方根成 。 说明：①公式中l是摆长，即悬点到摆球重心(一般为球心)的距离，l＝l线＋r球。 ②公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的地理位置决定。 ③公式T＝2π的适用条件：单摆的最大摆角θmax很小时，一般取θmax≤5°。 一、单摆的回复力 【情景导学】 （一）单摆 生活中你还能举出哪些类似的例子运动和钟摆相同？ 提出问题：这些运动有属于哪类运动，要想研究该类运动规律，可以怎么处理？ 让学生阅读课文，并总结动量的概念。 1.定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 2.组成单摆实验器材有什么具体要求？ 实验时要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。 简化处理：与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。 3.单摆摆动时摆球在做振动，是不是简谐运动呢？想回答这个问题，我们先回答单摆摆动时摆球在做振动，是不是简谐运动呢？ 方法一：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐振动; 方法二：如果回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，这种振动叫简谐振动。 （二）单摆的图像 我们如何设计实验进行验证图像检验单摆运动是简谐运动？ 如图，细线下悬挂一除去柱塞的注射器，其内装上墨汁。注射器摆动时，沿垂直摆动方向匀速拖动木板，观察注射器喷出的墨迹图像。 得到图像后，怎么验证单摆的振动图像是否为正弦函数图像？ 第一步：假定图像为正弦曲线，测量振幅与周期，写出正弦函数表达式。 第二步：表达式计时开始位移为0，随后位移增加并为正；将每一个点的位移时间（测量值）数值代入表达式中，比较测量值与函数值是否相等，若可视相等，则为正弦曲线。 【问题导学】思考：单摆平衡位置在哪？哪个力提供回复力？ （1）平衡位置：最低点O （2）受力分析:如图 （3）回复力来源：重力沿切线方向的分力G2 法向： （向心力） 切向： Fx = G2 = mgsinθ （回复力） 单摆的回复力为重力沿圆弧切向的分力：F回=mgsinθ θ角很小时，用弧度制表示的θ与它的正弦值近似相等 sinθ≈θ 当θ很小时，x≈弧长= L•θ F = mgsinθ 位移方向与回复力方向相反 ，， 可见，在摆角很小（θ＜50）的情况下，单摆做简谐振动。 摆球运动到最低点O（平衡位置）时回复力是否为零？合力是否为零？ 平衡位置：x=0， ，， 回复力为零 ，合外力不为零 【生成知识一】 （一）单摆及其回复力 1．单摆：将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径和线的长度相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。 温馨提示：研究单摆时还有一个条件：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。 2．单摆的回复力 空气等对单摆的阻力可以忽略时，对小球受力分析如图所示。 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ。 (2)回复力的特点：当摆角θ很小时，可认为回复力F指向平衡位置，与位移x反向；且有sinθ≈θ＝≈，则回复力F＝－x＝－kx，因此单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。 【典例1】(2025·遂宁市高二检测)如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是(　　) A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B.摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 【变式1】图a、b为一单摆及其振动图像，若从E指向G为正方向，下列说法正确的是(　　) A．图b中的A点对应着图a单摆中的E点 B．单摆摆球连续两次经过同一位置时，加速度的方向发生了变化 C．一周期内，势能增加且速度方向为正的时间范围是1.5 s到2 s时间段 D．一周期内，回复力为正且减小，并与速度同方向的时间范围是1.5 s到2 s时间段 二、单摆的周期 【实验导学】 （一）单摆的周期影响因素 提出问题：一条短绳系一个小球，它的振动周期较短；悬绳较长的秋千，周期较长；单摆的周期与哪些因素有关？ 猜想：振幅、质量、摆长、重力加速度 实验方法:控制变量法 实验1：摆球质量相同，摆长L相同，观察周期T与振幅的关系？ 结论：单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。 实验2：摆长L相同，振幅相同，观察周期T与摆球质量的关系？ 结论：单摆的振动周期与摆球质量无关。 实验3：摆球质量相同，振幅相同，观察周期T与摆长L的关系？ 结论：单摆的振动周期与其摆球质量有关。 （二）实验：探究单摆的周期与摆长的关系 问题：刚才的实验表明了单摆的周期与摆长的定性关系，那么二者之间有什么定量关系呢？ 【设计实验】请根据如下问题设计实验。 1.如果让你设计一个实验，你认为应该首先注意什么问题？ 2.你认为如何测量摆长才较为准确？ 3.你认为如何测量周期才较为准确？ 4.在探究周期和摆长关系的过程中，你认为如何更加形象直观的反映二者关系？ 待学生回答交流会，总结实验思路： （1）实验器材的选择和实验条件控制 摆线要选择弹性小的轻质细线； 选择质量大、直径小的摆球； 振幅不要太大；竖直平面内摆动；实验中摆长不变...... （2）摆长的测量 竖直悬挂测摆线长L，用游标卡尺测摆球直径d； （3）累积法测周期 摆球通过平衡位置时开始（停止）计时 (4)实验步骤 （5）数据记录： （4）数据处理方案 【生成知识二】 （二）单摆周期 1.惠更斯原理：单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。 2.周期公式： 3.单摆周期跟振幅、摆球的质量无关 4.理解: （1）单摆周期与摆长和重力加速度有关，与振幅和质量无关。 （2）摆长、重力加速度都一定时，周期和频率也一定，通常称为单摆的固有周期和固有频率。 （3）注意事项: 摆长L:悬点到球心的距离 适用条件:单摆做简谐运动θ<50 利用 单摆测重力加速度 【深化理解】 1.清楚下列图的摆长： 2.①g由单摆所在的空间位置决定。由 知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。 ②g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则重力加速度的等效值g′＝g＋a；若升降机加速下降，则重力加速度的等效值g′＝g－a。 【典例2】(2025·上海市育才中学高二期中)摆长为l的单摆在竖直平面内做小角度(小于5°)摆动，振动周期为T，为使该单摆的周期变为2T，正确的做法是(　　) A.将单摆的振幅增大为原来的2倍 B.将单摆的摆长调整为l C.将单摆的摆长调整为4l D.将摆球的质量增大为原来的2倍 【变式2】周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2， 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。 课堂小结： 1．凯里某中学的学生做了个单摆，已知该单摆做小角度摆动（简谐运动），调整摆角时仍满足小角度要求，现在想让单摆周期变长，下列方法可行的是（     ） A．加大摆角 B．减小摆角 C．加长摆长 D．缩短摆长 2．如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，细线与轻杆间的夹角为α，轻杆与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．单摆的等效摆长为 Lsinθ B．单摆的等效摆长为 C．等效重力加速度为gsinα D．等效重力加速度为gsinθ 3．上海天文馆有个展品叫傅科摆．这个巨大的装置，由16米的摆长和25千克的摆锤组成．当傅科摆在某一竖直平面内小角度摆动时，下列说法正确的是（　　） A．若仅增加摆球的振幅，则摆动周期增大 B．若仅增加摆球的振幅，则摆动周期减小 C．若仅增加摆长的长度，则摆动周期增大 D．若仅增加摆长的长度，则摆动周期减小 4．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，最大摆角小于，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球摆动时的回复力来源为重力和绳拉力的合力 B．若小球质量变大，摆动周期将会减小 C．从到的过程中，摆球的回复力先减小后增大 D．2.1s末和2.9s末，小球的势能和速度均相同 5．清明节荡秋千是我国的传统习俗，如图所示。秋千由踏板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆。等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 B．“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力 C．偏离最低点运动的过程中，“摆球”的机械能逐渐增大 D．经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的振幅将增大 6．如图所示，可视为质点的滑雪运动员从一段圆弧滑道由静止无助力下滑，圆弧半径远大于弧长。初始时，运动员和圆心的连线与竖直方向的夹角，忽略一切阻力。运动员沿圆弧轨道下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．沿滑道方向的加速度和速度都在增大 B．运动员重力的功率逐渐变大 C．若初始夹角改为，下滑时间变短 D．若初始夹角改为，重力冲量不变 7．安装吊灯时吊灯在左右轻轻晃动，为了方便研究，把晃动的吊灯看作小角度摆动的单摆，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．摆动过程中，吊灯经过最低点时回复力最大 B．摆动过程中，吊灯经过最低点时向心力最小 C．若只增加吊灯的质量，吊灯摆动的周期保持不变 D．增大初始拉开的偏角（仍满足小角度条件），吊灯摆动的周期变大 8．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取，忽略一切阻力。下列说法正确的是（    ） A．时小球位于C点 B．时小球位于B点 C．OA之间的距离为0.4m D．OP之间的距离为0.3m 9．如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4（其中（3）图两小球均带负电荷，（4）图中振动系统处于匀加速下降的电梯内），关于周期大小关系的判断，正确的是（     ） A．T1>T2>T3>T4 B．T4<T1＝T3<T2 C．T4>T1＝T3>T2 D．T1<T2<T3<T4 10．如图所示，AO'段为半径为R的光滑圆弧面，BO'段为光滑斜面，相交处平滑过渡，已知圆弧弧长≪R，且A、B等高，现有四个小球，a球从A点由静止释放沿圆弧下滑，b球从B点由静止释放沿斜面下滑，c球从圆心O点由静止释放，d球从中点P处静止释放沿圆弧下滑，若四个小球（均可看成质点）同时释放，各自第一次到达圆弧最低点的时间分别为ta、tb、tc、td，则下列判断正确的是（　　） A．ta>tb>tc> td B．ta=tb=td>tc C．ta>tb>td>tc D．tb>ta=td>tc 11．（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将摆球拉到A点由静止释放并计时，摆球在A、C之间小角度来回摆动，力传感器测出摆线上的拉力随时间变化的规律如图乙所示。已知，选向右为正方向，取重力加速度大小。（　　） A．单摆的周期为 B．单摆的摆长 C．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 D．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 12．（多选）如图甲所示，某同学利用智能手机和一个磁性小球来测量重力加速度。打开智能手机的磁传感器，将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．单摆的周期为 B．测量出的重力加速度 C．小球经过最高点时，速度为零，合力为零 D．小球拉起的幅度越小，运动周期越小 13．（多选）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AOB上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，图中t=0时刻小球从A点开始运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在A点所受的回复力为零 D．t0时刻小球的动能为零 14．如图甲所示，一条细线下面挂着一个小球，组成单摆。让它自由摆动，画出它的振动图像如图乙所示。取g=10m/s2，=10。请根据图中的数据计算： (1)自由摆动频率； (2)单摆的摆长。 15．如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，一质量为m的光滑小球从圆弧上的C点由静止释放，C到A的距离远远小于R，OC与OA之间的夹角为，小球B位于A点的正上方，不计空气阻力。 (1)小球从C点运动到A点时，对A点的压力为多大？ (2)若同时释放小球B、C，要使两小球B和C在A点相遇，AB间距H至少为多少？ (3)若同时释放小球B、C，要使两小球B和C在A点相遇，AB间距H的可能值有哪些？ 16．摆球质量为m的单摆悬挂在O点如图所示，其振动图像如图甲所示，今将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示．求：（g取，取） (1)求单摆摆动任一角度时的回复力大小P； (2)此单摆的摆长； (3)该行星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的多少倍。 17．如图甲所示，在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球，在O点的下方P点处有一个钉子，现将摆球向左拉开一个很小的角度，t＝0时将摆球由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到钉子，此后摆球又向右摆动一个很小角度（不超过5°），设向左为正方向，摆球的振动图像如图乙所示（图线与两轴的交点已在图中标出，x1、x2分别为最低点到两侧最高点的位移），不计摆线和钉子相碰时的能量损失，取重力加速度g＝π2m/s2，求： (1)单摆的振动周期； (2)钉子的位置P点到悬点O的距离； (3)摆球摆到两侧最高点的位置是否等高？请论证； (4)图像中x1与x2的比值。 处理单摆问题注意事项 (1)单摆和弹簧振子不同，单摆在平衡位置时，摆球所受回复力为零，但所受合力不为零。 (2)单摆做简谐运动的周期只由摆长和重力加速度决定。 (3)在单摆做简谐运动时，单摆的振幅A指的是摆球偏离平衡位置的最大位移大小，可以近似等于摆球偏离平衡位置的最大弧长。 (4)单摆周期公式T＝2π仅适用于单摆做简谐运动时的情形，即单摆偏离竖直方向的最大偏角θm<5°时的情形。若题目没有明确说明单摆做简谐运动，应用公式T＝2π计算时，应注意检验单摆的最大偏角是否满足θm<5°，即验证振幅A与摆长l是否满足条件<×2π＝。 。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4. 单摆 导学案 1．理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源。 2．知道影响单摆周期的因素，掌握单摆做简谐运动的周期公式。 1．单摆回复力的来源分析与简谐运动判定条件。（重点） 2．单摆周期影响因素的实验探究与规律认知。（重点） 3．受力分解推导回复力的逻辑，以及等效重力场下单摆周期的灵活辨析。（难点） 【自主预习】 一、单摆及其回复力 1．单摆：将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径和线的长度相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。 温馨提示：研究单摆时还有一个条件：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。 2．单摆的回复力 空气等对单摆的阻力可以忽略时，对小球受力分析如图所示。 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ。 (2)回复力的特点：当摆角θ很小时，可认为回复力F指向平衡位置，与位移x反向；且有sinθ≈θ＝≈，则回复力F＝－x＝－kx，因此单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。 二、单摆的周期 1．影响单摆周期的因素：单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大；单摆的周期与摆球质量和振幅无关。 2．单摆做简谐运动的周期公式 (1)提出：单摆做简谐运动的周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。 (2)公式：T＝2π，即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比。 说明：①公式中l是摆长，即悬点到摆球重心(一般为球心)的距离，l＝l线＋r球。 ②公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的地理位置决定。 ③公式T＝2π的适用条件：单摆的最大摆角θmax很小时，一般取θmax≤5°。 一、单摆的回复力 【情景导学】 （一）单摆 生活中你还能举出哪些类似的例子运动和钟摆相同？ 提出问题：这些运动有属于哪类运动，要想研究该类运动规律，可以怎么处理？ 让学生阅读课文，并总结动量的概念。 1.定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。 2.组成单摆实验器材有什么具体要求？ 实验时要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。 简化处理：与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。 3.单摆摆动时摆球在做振动，是不是简谐运动呢？想回答这个问题，我们先回答单摆摆动时摆球在做振动，是不是简谐运动呢？ 方法一：如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐振动; 方法二：如果回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，这种振动叫简谐振动。 （二）单摆的图像 我们如何设计实验进行验证图像检验单摆运动是简谐运动？ 如图，细线下悬挂一除去柱塞的注射器，其内装上墨汁。注射器摆动时，沿垂直摆动方向匀速拖动木板，观察注射器喷出的墨迹图像。 得到图像后，怎么验证单摆的振动图像是否为正弦函数图像？ 第一步：假定图像为正弦曲线，测量振幅与周期，写出正弦函数表达式。 第二步：表达式计时开始位移为0，随后位移增加并为正；将每一个点的位移时间（测量值）数值代入表达式中，比较测量值与函数值是否相等，若可视相等，则为正弦曲线。 【问题导学】思考：单摆平衡位置在哪？哪个力提供回复力？ （1）平衡位置：最低点O （2）受力分析:如图 （3）回复力来源：重力沿切线方向的分力G2 法向： （向心力） 切向： Fx = G2 = mgsinθ （回复力） 单摆的回复力为重力沿圆弧切向的分力：F回=mgsinθ θ角很小时，用弧度制表示的θ与它的正弦值近似相等 sinθ≈θ 当θ很小时，x≈弧长= L•θ F = mgsinθ 位移方向与回复力方向相反 ，， 可见，在摆角很小（θ＜50）的情况下，单摆做简谐振动。 摆球运动到最低点O（平衡位置）时回复力是否为零？合力是否为零？ 平衡位置：x=0， ，， 回复力为零 ，合外力不为零 【生成知识一】 （一）单摆及其回复力 1．单摆：将一小球用细线悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径和线的长度相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。 温馨提示：研究单摆时还有一个条件：与小球受到的重力及线的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略。 2．单摆的回复力 空气等对单摆的阻力可以忽略时，对小球受力分析如图所示。 (1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsinθ。 (2)回复力的特点：当摆角θ很小时，可认为回复力F指向平衡位置，与位移x反向；且有sinθ≈θ＝≈，则回复力F＝－x＝－kx，因此单摆在摆角很小的情况下做简谐运动。 【典例1】(2025·遂宁市高二检测)如图所示，单摆在竖直平面内的A、C之间做简谐运动，O点为单摆的固定悬点，B点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是(　　) A.摆球受到重力、拉力、回复力三个力的作用 B.摆球在B点时，动能最大，回复力最大 C.摆球在A点和C点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大 D.摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大 【答案】　C 【解析】　摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，故A错误；单摆做简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，动能最大，回复力为零，故B错误；摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确；摆球由A点向B点摆动过程中，速度增大，细线拉力增大，回复力减小，故D错误。 【变式1】图a、b为一单摆及其振动图像，若从E指向G为正方向，下列说法正确的是(　　) A．图b中的A点对应着图a单摆中的E点 B．单摆摆球连续两次经过同一位置时，加速度的方向发生了变化 C．一周期内，势能增加且速度方向为正的时间范围是1.5 s到2 s时间段 D．一周期内，回复力为正且减小，并与速度同方向的时间范围是1.5 s到2 s时间段 [答案]　D [解析]　图b中的A点对应着摆球位于正向最大位移处，即对应着图a单摆中的G点，故A错误；单摆摆球连续两次经过同一位置时，受力相同，故加速度也相同，方向不变，故B错误；势能增加说明摆球正在远离平衡位置，速度方向为正，说明x­t图线的斜率为正，结合图b可知，对应的时间段为0～0.5 s，故C错误；回复力为正且减小，并与速度同方向，即速度方向也为正，说明x<0，且x­t图线的斜率为正，结合图b可知，对应的时间段为1.5～2 s，故D正确。 二、单摆的周期 【实验导学】 （一）单摆的周期影响因素 提出问题：一条短绳系一个小球，它的振动周期较短；悬绳较长的秋千，周期较长；单摆的周期与哪些因素有关？ 猜想：振幅、质量、摆长、重力加速度 实验方法:控制变量法 实验1：摆球质量相同，摆长L相同，观察周期T与振幅的关系？ 结论：单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。 实验2：摆长L相同，振幅相同，观察周期T与摆球质量的关系？ 结论：单摆的振动周期与摆球质量无关。 实验3：摆球质量相同，振幅相同，观察周期T与摆长L的关系？ 结论：单摆的振动周期与其摆球质量有关。 （二）实验：探究单摆的周期与摆长的关系 问题：刚才的实验表明了单摆的周期与摆长的定性关系，那么二者之间有什么定量关系呢？ 【设计实验】请根据如下问题设计实验。 1.如果让你设计一个实验，你认为应该首先注意什么问题？ 2.你认为如何测量摆长才较为准确？ 3.你认为如何测量周期才较为准确？ 4.在探究周期和摆长关系的过程中，你认为如何更加形象直观的反映二者关系？ 待学生回答交流会，总结实验思路： （1）实验器材的选择和实验条件控制 摆线要选择弹性小的轻质细线； 选择质量大、直径小的摆球； 振幅不要太大；竖直平面内摆动；实验中摆长不变...... （2）摆长的测量 竖直悬挂测摆线长L，用游标卡尺测摆球直径d； （3）累积法测周期 摆球通过平衡位置时开始（停止）计时 (4)实验步骤 （5）数据记录： （4）数据处理方案 【生成知识二】 （二）单摆周期 1.惠更斯原理：单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比。 2.周期公式： 3.单摆周期跟振幅、摆球的质量无关 4.理解: （1）单摆周期与摆长和重力加速度有关，与振幅和质量无关。 （2）摆长、重力加速度都一定时，周期和频率也一定，通常称为单摆的固有周期和固有频率。 （3）注意事项: 摆长L:悬点到球心的距离 适用条件:单摆做简谐运动θ<50 利用 单摆测重力加速度 【深化理解】 1.清楚下列图的摆长： 2.①g由单摆所在的空间位置决定。由 知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。 ②g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则重力加速度的等效值g′＝g＋a；若升降机加速下降，则重力加速度的等效值g′＝g－a。 【典例2】(2025·上海市育才中学高二期中)摆长为l的单摆在竖直平面内做小角度(小于5°)摆动，振动周期为T，为使该单摆的周期变为2T，正确的做法是(　　) A.将单摆的振幅增大为原来的2倍 B.将单摆的摆长调整为l C.将单摆的摆长调整为4l D.将摆球的质量增大为原来的2倍 【答案】C 【解析】由单摆周期公式T=2π可知，使单摆周期变为原来的2倍，应将摆长调整为原来的4倍，与振幅和摆球质量无关。故A、B、D错误，C正确。 【变式2】周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多少时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2， 月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，π2取9.8。 【答案】　1 m　175 s 【解析】　根据单摆周期公式T=2π可得l= 代入数据解得l= m=1 m 秒摆拿到月球上，其与地球上的秒摆的周期关系为= 它在月球上做50次全振动所用的时间为 t=50T'=50T=50×2× s=175 s。 课堂小结： 1．凯里某中学的学生做了个单摆，已知该单摆做小角度摆动（简谐运动），调整摆角时仍满足小角度要求，现在想让单摆周期变长，下列方法可行的是（     ） A．加大摆角 B．减小摆角 C．加长摆长 D．缩短摆长 【答案】C 【详解】在摆角较小的条件下，单摆周期公式为 由此可知，单摆周期只与摆长和当地重力加速度有关。 A．在小角度摆动范围内，增大摆角不会改变单摆周期，故A错误； B．在小角度摆动范围内，减小摆角不会改变单摆周期，故B错误； C．加长摆长使增大，由可知，单摆周期变大，故C正确； D．缩短摆长使减小，由可知，单摆周期变小，故D错误。 故选C。 2．如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，细线与轻杆间的夹角为α，轻杆与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．单摆的等效摆长为 Lsinθ B．单摆的等效摆长为 C．等效重力加速度为gsinα D．等效重力加速度为gsinθ 【答案】D 【详解】根据题图可知等效重力加速度沿斜面向下，则等效重力加速度为 单摆的等效摆长为杆长。 故选D。 3．上海天文馆有个展品叫傅科摆．这个巨大的装置，由16米的摆长和25千克的摆锤组成．当傅科摆在某一竖直平面内小角度摆动时，下列说法正确的是（　　） A．若仅增加摆球的振幅，则摆动周期增大 B．若仅增加摆球的振幅，则摆动周期减小 C．若仅增加摆长的长度，则摆动周期增大 D．若仅增加摆长的长度，则摆动周期减小 【答案】C 【详解】AB．根据单摆周期可知单摆周期与振幅无关，故AB错误； CD．以上分析可知，若仅增加摆长的长度，单摆周期则增大，故C正确，D错误。 故选 C。 4．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，最大摆角小于，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　） A．小球摆动时的回复力来源为重力和绳拉力的合力 B．若小球质量变大，摆动周期将会减小 C．从到的过程中，摆球的回复力先减小后增大 D．2.1s末和2.9s末，小球的势能和速度均相同 【答案】C 【详解】A．重力沿切线方向的分力提供小球摆动时的回复力，故A错误； B．根据周期表达式可知，若小球质量变大，摆动周期保持不变，故B错误； C．由题图可知，从到的过程中，小球从负向最大位移处运动到平衡位置，再运动到正向最大位移处，则摆球的回复力先减小后增大，故C正确； D．由题图根据对称性可知，2.1s末和2.9s末，小球的势能相同，速度大小相等，方向相反，故D错误。 故选C。 5．清明节荡秋千是我国的传统习俗，如图所示。秋千由踏板和绳构成，人在秋千上小幅度摆动时可以简化为单摆。等效“摆球”的质量为m，摆绳长为l，忽略空气阻力。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．经过最低点时“摆球”处于平衡状态 B．“摆球”偏离最低点位移为x时，回复力 C．偏离最低点运动的过程中，“摆球”的机械能逐渐增大 D．经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的振幅将增大 【答案】B 【详解】A．摆球经过最低点时具有向心加速度，所以摆球处于非平衡状态，故A错误； B．根据简谐运动公式，当摆角很小时，摆球运动的圆弧可以看作直线，可知摆球偏离最低点位移为时，回复力为，故B正确； C．摆球偏离最低点运动的过程中，动能向重力势能转化，但机械能保持不变，故C错误； D．经过最低点时，人顺势轻轻跳下，踏板的能量未增大，则振幅不变，故D错误。 故选B。 6．如图所示，可视为质点的滑雪运动员从一段圆弧滑道由静止无助力下滑，圆弧半径远大于弧长。初始时，运动员和圆心的连线与竖直方向的夹角，忽略一切阻力。运动员沿圆弧轨道下滑到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．沿滑道方向的加速度和速度都在增大 B．运动员重力的功率逐渐变大 C．若初始夹角改为，下滑时间变短 D．若初始夹角改为，重力冲量不变 【答案】D 【详解】A．沿滑道方向的加速度即切向加速度，由重力的切向分力产生 下滑过程中逐渐减小，随之减小，因此切向加速度减小。 因此速度从零开始增大，但加速度在减小，故A错误； B．重力的瞬时功率，其中是重力与速度方向的夹角。 初始时，；最低点时速度最大，但重力与速度垂直，， 中间某位置功率为正，因此功率从零先增大后减小，并非一直增大，故B错误； C．初始摆角很小，满足单摆做简谐运动的条件。运动员从最高点，即最大位移处，由静止释放，沿圆弧滑向最低点，即平衡位置。 单摆简谐运动的周期，与振幅（初始角度）无关。从最大位移处到平衡位置的时间为 初始角度改为，仍在很小范围内，周期不变，因此下滑时间不变，故C错误； D．重力的冲量，方向竖直向下。 下滑时间不变，重力恒定，因此重力冲量不变，故D正确。 故选D。 7．安装吊灯时吊灯在左右轻轻晃动，为了方便研究，把晃动的吊灯看作小角度摆动的单摆，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．摆动过程中，吊灯经过最低点时回复力最大 B．摆动过程中，吊灯经过最低点时向心力最小 C．若只增加吊灯的质量，吊灯摆动的周期保持不变 D．增大初始拉开的偏角（仍满足小角度条件），吊灯摆动的周期变大 【答案】C 【详解】A．单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，大小为（为摆角） 在最低点时，回复力为零，故A错误； B．吊灯摆动过程中机械能守恒，经过最低点时重力势能最小，动能最大，速度最大，根据向心力公式 可知，此时向心力最大，故B错误； C．根据单摆的周期公式 可知，单摆的周期与摆球的质量无关，若只增加吊灯的质量，摆长和重力加速度不变，则周期保持不变，故C正确； D．单摆具有等时性，在小角度（）摆动范围内，周期与振幅（偏角）无关，增大初始拉开的偏角（仍满足小角度条件），吊灯摆动的周期不变，故D错误。 故选C。 8．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，现将小球拉开一定的角度后开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示，重力加速度g取，忽略一切阻力。下列说法正确的是（    ） A．时小球位于C点 B．时小球位于B点 C．OA之间的距离为0.4m D．OP之间的距离为0.3m 【答案】A 【详解】AB．由图像可知，内应该对应着摆球在CB之间的摆动；内应该对应着摆球在BA之间的摆动，因时摆线拉力最小，可知小球位于C点，时小球位于A点，选项A正确，B错误； C．摆球在AB之间摆动的周期为T1=0.8πs，根据，可得L1=1.6m 即OA之间的距离为1.6m，选项C错误； D．摆球在BC之间摆动的周期为T2=0.4πs，根据，可得L2=0.4m 即PB之间的距离为0.4m，OP之间的距离为1.2m，选项D错误。 故选A。 9．如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同的条件下的周期分别为T1、T2、T3、T4（其中（3）图两小球均带负电荷，（4）图中振动系统处于匀加速下降的电梯内），关于周期大小关系的判断，正确的是（     ） A．T1>T2>T3>T4 B．T4<T1＝T3<T2 C．T4>T1＝T3>T2 D．T1<T2<T3<T4 【答案】C 【详解】对于（1）图中的常规单摆，根据单摆周期公式有 对于（2）图中的双线摆，小球只能在垂直于纸面方向做简谐运动，等效摆长为，根据单摆周期公式有 对于（3）图中的单摆，由于悬点处与小球均带有负电荷，两者相互排斥，库仑力始终沿着绳子方向，不改变单摆垂直于绳子方向的切向回复力，系统等效重力加速度不变，根据单摆周期公式有 对于（4）图中的单摆，振动系统处于匀加速下降的电梯内，小球处于部分失重状态，系统等效重力加速度为，根据单摆周期公式有 联立上述公式比较解得 故选C。 10．如图所示，AO'段为半径为R的光滑圆弧面，BO'段为光滑斜面，相交处平滑过渡，已知圆弧弧长≪R，且A、B等高，现有四个小球，a球从A点由静止释放沿圆弧下滑，b球从B点由静止释放沿斜面下滑，c球从圆心O点由静止释放，d球从中点P处静止释放沿圆弧下滑，若四个小球（均可看成质点）同时释放，各自第一次到达圆弧最低点的时间分别为ta、tb、tc、td，则下列判断正确的是（　　） A．ta>tb>tc> td B．ta=tb=td>tc C．ta>tb>td>tc D．tb>ta=td>tc 【答案】D 【详解】已知圆弧弧长≪R，可知a球距球面最低点的距离远远小于R，因此a球的运动可视为单摆，由单摆的周期公式可得a球运动到点的时间为 做c球与b球的连线，其连线与竖直方向的夹角为θ，则有b球运动到点的距离满足 b球沿斜面下滑的加速度为 由位移时间公式 可得b球运动到点的时间为 c球做自由落体运动，c球到达点的时间为 d球从中点P处静止释放沿圆弧下滑，根据单摆周期可知d球和a球的周期相同，可知d球的时间 可知，，， 可得 故选D。 11．（多选）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将摆球拉到A点由静止释放并计时，摆球在A、C之间小角度来回摆动，力传感器测出摆线上的拉力随时间变化的规律如图乙所示。已知，选向右为正方向，取重力加速度大小。（　　） A．单摆的周期为 B．单摆的摆长 C．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 D．单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式 【答案】BC 【详解】A．单摆的周期为，A错误； B．根据，可得单摆的摆长，B正确； CD．因振幅，初相位，可知单摆偏离平衡位置的位移随时间的表达式，C正确，D错误。 故选BC。 12．（多选）如图甲所示，某同学利用智能手机和一个磁性小球来测量重力加速度。打开智能手机的磁传感器，将磁性小球由平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录磁感应强度的变化曲线如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．单摆的周期为 B．测量出的重力加速度 C．小球经过最高点时，速度为零，合力为零 D．小球拉起的幅度越小，运动周期越小 【答案】AB 【详解】AB．小球经过最低点时手机软件记录的磁感应强度最大，由图乙可知单摆的周期为；根据单摆周期公式 解得重力加速度为 故AB正确； C．小球经过最高点时，速度为零，但合力等于重力沿切线方向的分力，不为零，故C错误； D．根据单摆周期公式，可知单摆的周期与小球拉起的幅度无关，故D错误。 故选AB。 13．（多选）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AOB上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示，图中t=0时刻小球从A点开始运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．该圆弧轨道的半径为 B．小球的质量为 C．小球在A点所受的回复力为零 D．t0时刻小球的动能为零 【答案】AD 【详解】A．小球运动的周期为 根据单摆周期公式可得 所以，故A正确： B．小球在A点，有 在O点时，根据牛顿第二定律可得 小球从A点运动到O点，根据机械能守恒定律可得 联立解得小球的质量为，故B错误； C．小球在A点回复力最大，所受的合力不为零，故C错误； D．t0时刻小球到达B点，则此时的动能最小，故D正确。 故选AD。 14．如图甲所示，一条细线下面挂着一个小球，组成单摆。让它自由摆动，画出它的振动图像如图乙所示。取g=10m/s2，=10。请根据图中的数据计算： (1)自由摆动频率； (2)单摆的摆长。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）从图乙的振动图像可知，单摆完成一次全振动的时间 根据频率与周期的关系 解得 （2）根据单摆周期公式 可得摆长 解得 15．如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，一质量为m的光滑小球从圆弧上的C点由静止释放，C到A的距离远远小于R，OC与OA之间的夹角为，小球B位于A点的正上方，不计空气阻力。 (1)小球从C点运动到A点时，对A点的压力为多大？ (2)若同时释放小球B、C，要使两小球B和C在A点相遇，AB间距H至少为多少？ (3)若同时释放小球B、C，要使两小球B和C在A点相遇，AB间距H的可能值有哪些？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球从运动到点，由机械能守恒定律可得   在点有   联立解得   （2）小球做自由落体运动，根据题意得   由单摆的周期可知小球做简谐运动的周期   小球从点运动到点的时间至少为   若两小球B和C在A点相遇则，解得   （3）由单摆的周期可知，小球从点运动到点的时间可能值为 自由落体公式 代入，联立解得 16．摆球质量为m的单摆悬挂在O点如图所示，其振动图像如图甲所示，今将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示．求：（g取，取） (1)求单摆摆动任一角度时的回复力大小P； (2)此单摆的摆长； (3)该行星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的多少倍。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）摆球偏离平衡位置的角度为时，重力沿圆弧切线方向的分力指向平衡位置，该分力即回复力，因此回复力大小为 （2）由图甲可知，摆球从正向最大位移运动至负向最大位移所用时间为，该时间等于半个周期，因此单摆在地球上的周期为，根据单摆周期公式有 解得 （3）由图乙可知，摆球从平衡位置沿正方向运动，经过再次以相同方向通过平衡位置，因此单摆在该行星表面的周期为，设该行星表面的重力加速度为，同一单摆的摆长不变，根据单摆周期公式分别有， 联立解得 17．如图甲所示，在天花板上的O点用一定长度的摆线悬挂一个摆球，在O点的下方P点处有一个钉子，现将摆球向左拉开一个很小的角度，t＝0时将摆球由静止释放，当摆球运动到最低点时，摆线碰到钉子，此后摆球又向右摆动一个很小角度（不超过5°），设向左为正方向，摆球的振动图像如图乙所示（图线与两轴的交点已在图中标出，x1、x2分别为最低点到两侧最高点的位移），不计摆线和钉子相碰时的能量损失，取重力加速度g＝π2m/s2，求： (1)单摆的振动周期； (2)钉子的位置P点到悬点O的距离； (3)摆球摆到两侧最高点的位置是否等高？请论证； (4)图像中x1与x2的比值。 【答案】(1)T＝1.8s (2)L＝0.36m (3)等高；见解析 (4)x1：x2 【详解】（1）由图像可知单摆的振动周期为T＝1.8s （2）设摆线长度为L1，摆线碰到钉子后长度为L2，则， 钉子的位置P点到悬点O的距离为L＝L1﹣L2 联立解得L＝0.36m （3）不计摆线和钉子相碰时的能量损失，所以整个过程机械能守恒，由机械能守恒定律可知mgh1＝mgh2 所以摆球摆到两侧最高点的位置是等高。 （4）单摆在OP左侧最大偏角为θ，因摆角θ较小，则向左的最大位移近似等于弦长，则由数学知识得 同理，单摆在OP右侧最大偏角为α，由数学知识得 由机械能守恒定律得mgL1（1﹣cosθ）＝mgL2（1﹣cosα） 其中 带入解得 联立解得 处理单摆问题注意事项 (1)单摆和弹簧振子不同，单摆在平衡位置时，摆球所受回复力为零，但所受合力不为零。 (2)单摆做简谐运动的周期只由摆长和重力加速度决定。 (3)在单摆做简谐运动时，单摆的振幅A指的是摆球偏离平衡位置的最大位移大小，可以近似等于摆球偏离平衡位置的最大弧长。 (4)单摆周期公式T＝2π仅适用于单摆做简谐运动时的情形，即单摆偏离竖直方向的最大偏角θm<5°时的情形。若题目没有明确说明单摆做简谐运动，应用公式T＝2π计算时，应注意检验单摆的最大偏角是否满足θm<5°，即验证振幅A与摆长l是否满足条件<×2π＝。 。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $