第15讲 弹性碰撞和非弹性碰撞 反冲现象 火箭（暑假预习举一反三讲义）新高二物理人教版选择性必修第一册

第15讲 弹性碰撞和非弹性碰撞 反冲现象 火箭 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（4个知识归纳+6个题型）+暑假作业】 【情景引入】 同学们生活中随处可见碰撞与反冲现象：小球相撞后速度改变、皮球碰撞后不再弹回原高度，这对应不同的碰撞类型。气球放气时向前飞行、火炮发射时炮身后退，都是典型的反冲运动。人在静止小船上行走，船会反向移动，这就是经典的人船模型。火箭升空更是利用反冲原理实现飞行。今天我们系统区分各类碰撞，探究反冲规律，掌握人船模型与火箭的核心原理。 【知识点1】 弹性碰撞和非弹性碰撞 1．弹性碰撞：碰撞过程中机械能守恒的碰撞叫弹性碰撞． 2．非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒的碰撞叫非弹性碰撞． 二、弹性碰撞的实例分析 在光滑水平面上质量为m1的小球以速度v1与质量为m2的静止小球发生弹性正碰．根据动量守恒和能量守恒： m1v1＝m1v1′＋m2v2′；m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2 碰后两个物体的速度分别为 v1′＝v1，v′2＝v1. (1)若m1>m2，v1′和v2′都是正值，表示v1′和v2′都与v1方向同向．(若m1≫m2，v1′＝v1，v2′＝2v1，表示m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去) (2)若m1<m2，v1′为负值，表示v1′与v1方向相反，m1被弹回．(若m1≪m2，v1′＝－v1，v2′＝0，表示m1被反向以原速率弹回，而m2仍静止) (3)若m1＝m2，则有v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后两球速度互换． 【例1】（25-26高二下·福建福州·期末）如图，光滑水平面上一质量为m、速度大小为v的A球与质量为2m、静止的B球发生对心正碰。碰后A的速度方向与碰撞前相反，则碰后B的速度大小可能是（     ） A．0.40v B．0.50v C．0.60v D．0.80v 【变式1-1】（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）质量相等的A、B两球在光滑水平面上，沿同一直线，同一方向运动，A球的动量为，B球的动量为，当A球追上B球时发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动， ，当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是（　　） A． B． C． D． 【知识点2】 反冲现象 1．定义 一个静止的物体在内力的作用下分裂为两部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动的现象． 2．规律：反冲运动中，相互作用力一般较大，满足动量守恒定律． 3．反冲现象的应用及防止 (1)应用：农田、园林的喷灌装置利用反冲使水从喷口喷出时，一边喷水一边旋转． (2)防止：用枪射击时，由于枪身的反冲会影响射击的准确性，所以用枪射击时要把枪身抵在肩部，以减少反冲的影响． 【例2】（1.6反冲现象火箭随堂测试）一质量为M的火箭，其发动机喷出的气体相对喷气前火箭的速度大小恒为v0。以地面为参考系，该火箭正以速度v在太空中飞行，某一时刻火箭接到加速的指令后，发动机瞬间向后喷出质量为m的气体，已知喷出气体质量m远小于火箭初始质量M，则加速后火箭相对地面的速度大小等于（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）在郊外的军事体验基地里，有一门模拟小火炮（总质量），里面装着一枚训练用橡胶炮弹（质量）。基地的地面是特别处理过的光滑硬化地面，几乎没有摩擦力。当体验者按下发射按钮，炮弹从炮口以速率与水平地面成θ的角度飞出，如图所示，则火炮后退的速度大小为（设水平地面光滑）（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）水火箭利用反冲原理，不用燃料也能冲向高空。已知水火箭瓶身质量为m，水的质量为M，向瓶内充气，当压强达到一定值时，水会瞬间冲开瓶塞且全部喷完，此时瓶子沿竖直方向的速度为u，则此瞬间（　　） A．瓶子速度与水的速度大小之比为 B．瓶子速度与水的速度大小之比为 C．水的速度大小为 D．水的速度大小为 【知识点3】 火箭 1．工作原理：喷气式飞机和火箭的飞行应用了反冲的原理，它们靠喷出气流的反冲作用而获得巨大的速度． 2．决定火箭增加的速度Δv的因素 (1)火箭喷出的燃气相对喷气前火箭的速度． (2)火箭喷出燃气的质量与火箭本身质量之比． 【例3】（25-26高二下·河南郑州·期末）水火箭又称气压式喷水火箭、某社团用废弃的饮料瓶制作成一个简易的水火箭。其升空的原理是利用压缩空气把水从火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，水火箭在反作用力的推动下快速上升。下图为水火箭原理图，若发射过程中水火箭将壳内的水以相对地面的速度在时间内竖直向下快速喷出，忽略空气阻力，取。则水火箭箭体在时间内受到水的平均推力为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二下·北京丰台·期末）图甲是某同学自制的水火箭，图乙是水火箭的简易原理图。用打气筒向水火箭内不断打气，当内部气体压强增大到一定程度时，可近似认为在极短的时间内，水以相对地面v0的速度与水平方向成θ角斜向下喷出，使箭体升空。已知水和箭体的质量分别为2m、m，忽略空气阻力、重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．水喷出的过程中，箭体和水组成的系统机械能守恒 B．水喷完时，箭体的速度接近2v0cosθ C．箭体从静止到最高点的过程中，重力的冲量小于推力的冲量 D．若θ=45°，箭体可上升的高度最大 【变式3-2】（25-26高二下·宁夏银川·期中）总质量为的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，线速度大小为，为了使卫星到达较高轨道运行，需要加速做离心运动，卫星发动机在极短时间内以相对于喷气前卫星的速度向后喷出速度为，质量为的燃气，则喷气结束时卫星的速度大小是（     ） A． B． C． D． 【知识点4】 “人船模型” 1．“人船模型”问题 两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒． 2．人船模型的特点 (1)两物体满足动量守恒定律：m11－m22＝0. (2)运动特点：人动船动，人停船停，人快船快，人慢船慢，人左船右，人、船位移比等于它们质量的反比，即＝. 【例4】（25-26高二下·安徽安庆·期中）如图所示，一质量为M的窄长木板放在光滑的水平冰面上，板长为L，质量为m的人站在距木板左端为x处，当人走到木板右端的过程中，人对地的位移为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】．（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）如图所示，一个质量为的半圆槽形物体P放在光滑水平面上，半圆槽半径为R，可看作质点的小球Q质量为3m，从半圆槽的最左端与圆心等高位置无初速释放，然后滑上半圆槽右端，各接触面均光滑，Q从释放到滑至半圆槽右端最高点的过程中，下列说法正确的是（    ） A．P、Q组成的系统满足机械能守恒和动量守恒 B．小球运动到最右端时与半圆槽共速，高度低于释放点高度 C．Q滑至最低点时的速度为 D．Q的位移大小为 【变式4-2】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）如图，在一次特警训练中，质量为140kg的小车静止在光滑的水平面上，A、B为小车的两端。质量为70kg的特警站在A端，起跳后恰好落到B端，相对地面的位移为2m。该过程不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小车后退了2m B．小车后退了 C．小车AB长为3m D．小车AB长为2m 【例5】（25-26高二下·云南大理·阶段检测）一枚在空中飞行的火箭质量为 ，在某时刻的速度为，方向水平，燃料即将耗尽。此时，火箭突然炸裂成两块（如图），其中质量为的一块沿着与相反的方向飞去，速率为。求炸裂后另一块的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二下·北京顺义·期中）如图所示，光滑水平地面上紧挨着的两个滑块A、B之间有少量炸药（质量不计），爆炸后A、B沿水平地面向左、右滑行的速度分别为2m/s、4m/s。已知滑块A的质量为mA=4kg，重力加速度g=10m/s2，炸药爆炸释放的化学能全部转化为滑块A、B的动能。下列说法正确的是（　　） A．滑块B的质量为1kg B．滑块B的质量为3kg C．炸药爆炸释放的化学能为16J D．炸药爆炸释放的化学能为24J 【变式5-2】．（25-26高二上·山东·阶段检测）2025年春节，我国产的烟花火遍全球，新的烟花研发设计层出不穷。现有某烟花筒的结构如图甲所示，其工作原理为：点燃引线，引燃发射药燃烧发生爆炸，礼花弹获得一个竖直方向的初速度并同时点燃延期引线，当礼花弹到最高点时，延期引线点燃礼花弹并炸开形成漂亮的球状礼花。现假设某礼花弹在最高点炸开成a、b两部分，速度均为水平方向。炸开后a、b的轨迹图如图乙所示。忽略空气阻力的作用，则（　　） A．a、b两部分落地时的速度大小之比为1∶3 B．a、b两部分的初动能之比为1∶9 C．a、b两部分落地时的重力功率之比为1∶3 D．从炸开到两部分落地的过程中，a、b两部分所受重力的冲量之比为3∶1 【例6】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）如图甲所示，光滑水平面上有P、Q两物块，它们在时发生碰撞，两物块的位移—时间图像如图乙所示。已知物块Q的质量，由此可知（　　） A．碰撞前P的动量为 B．物块P的质量为1kg C．两物块的碰撞无机械能损失 D．碰撞过程中P对Q的冲量为 【变式6-1】（25-26高二下·北京昌平·期末）如图所示，左端固定一轻弹簧的物块Q静止在光滑水平地面上，物块P以速度向右运动并撞上弹簧，下列说法正确的是（     ） A．弹簧被压缩至最短时，P、Q的动量一定相等 B．弹簧被压缩至最短时，Q的动量达到最大值 C．P与弹簧分离后仍向右运动时，P的质量一定大于Q的质量 D．P与弹簧分离后向左运动时，P的动量可能大于Q的动量 【变式6-2】（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）质量为m、速度为v的A球跟质量为4m的静止B球在光滑的水平面上发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，下列说法正确的是（     ） A．碰撞过程中，两个小球组成的系统动量不一定守恒 B．碰撞后瞬间，B球的速度可能为0.3v C．碰撞后瞬间，A球的速度可能为 D．碰撞过程中，A球受到的冲量方向与其初速度方向相同 【例7】（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）如图所示，光滑水平面上静置一质量为的木板，质量为的小物块以初速度从左端滑上木板，与木板相对静止时恰好运动到木板中央。已知物块与木板间动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．木板长度为 B．木板长度为 C．系统因摩擦产生的热量大于木板获得的动能 D．系统因摩擦产生的热量小于木板获得的动能 【变式7-1】（25-26高二下·陕西西安·期末）如图所示，在光滑水平面上有一质量为3m的木块与轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，弹簧处于水平状态，木块处于静止状态，一质量为m的子弹以水平向左的速度射入（时间极短）木块并停留在木块内，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一下·河北·阶段检测）如图甲所示，木板放置在光滑的水平面上处于静止状态，一颗子弹（可视为质点）以水平向右的速度v0射入木板且恰好未从木板最右端穿出，两者的速度与时间关系图像如图乙所示，下列说法错误的是（　　 ） A．若子弹的质量为m，则木板的质量为 B．木板的长度为 C．若子弹的质量为m，则整个过程中子弹的动量变化率大小为 D．若子弹的质量为m，则整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量为 【例8】．（25-26高二下·天津和平·开学考试）如图所示，在光滑水平面上放置一个质量为的滑块，滑块的一侧是一个弧形槽，凹槽半径为，点切线水平。另有一个质量为的小球以速度从点冲上滑块，重力加速度大小为，不计摩擦。下列说法中正确的是（     ） A．小球回到斜槽底部时，小球速度方向可能向左 B．在小球相对滑块运动的过程中小球与滑块组成的系统动量守恒 C．小球到达斜槽最高点处，小球的速度为零 D．当时，小球能到达B点 【变式8-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）如图所示，一平板小车静止在光滑水平地面上，小车上固定有一光滑曲面，末端与小车平滑相切，小车与曲面总质量为。质量为的小球以初速度从轨道末端向右滑上曲面，恰能到达曲面最高点，然后又落回轨道末端，最终与小车分离。重力加速度为，小球视作质点，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法正确的是（     ） A．小球到达点时，小球的速度大小为0 B．曲面的竖直高度 C．小车的最大速度为 D．小球与小车分离后做自由落体运动 【变式8-2】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）如图所示，静止在光滑水平面上质量为2 kg的物体内有一条光滑的轨道MON，其中M、N等高，N端沿竖直方向。质量为0.49 kg的小球静止在M端，质量为0.01 kg的弹丸以大小为200 m/s的速度沿水平方向射入小球并留在其中，弹丸射入小球的时间极短，最终小球能从N端离开物体，重力加速度，小球和弹丸均可视为质点。从弹丸打入小球前到小球离开物体的过程中（     ） A．弹丸、小球、物体组成的系统动量守恒 B．弹丸、小球、物体组成的系统机械能守恒 C．弹丸射入小球的过程损失了200 J的机械能 D．小球离开物体后，物体的速度大小为 【例9】（25-26高二下·天津河东·期末）如图所示，质量为的小球由长为的轻绳悬挂于点，静止时对轨道最低点恰好无压力。质量为的小球从轨道上某一点由静止释放，在最低点与球发生碰撞。碰撞后球绕点做圆周运动且恰能到达最高点球水平抛出，落地时其水平射程为，轨道最低点距地面高度为。两小球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)碰撞后瞬间、的速度大小和； (2)碰撞过程中系统损失的机械能； (3)碰撞过程中B对A冲量的大小。 【变式9-1】．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）固定的竖直截面为半径为的光滑圆弧轨道，最高点为，最低点为，如图所示。光滑水平面上紧靠着形滑块，其上表面与轨道末端所在的水平面平齐，左端静止一小物块。小物块从点静止释放，沿轨道下滑到点。在点与弹性正碰，碰后仅在上滑动，滑到右端的竖直挡板发生弹性碰撞。在上滑动时动摩擦因数恒为。空气阻力不计，、、质量均为，、视为质点，中竖直挡板长度不计，重力加速度取。求： (1)在点与碰前瞬间的速度大小； (2)、碰后瞬间的速度大小； (3)至少多长才能使小物块不脱离。 【变式9-2】（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图所示，竖直平面内有一长m的轻绳，上端系在钉子上，下端悬挂质量kg的小球A，细线拉直且小球恰好静止在光滑水平面上。一质量kg的小球B以速度m/s水平向左运动，与小球A发生对心碰撞，碰撞后小球A恰能在竖直面内做完整的圆周运动。（g取）求： (1)碰撞后瞬间小球A的速度大小； (2)小球A从碰撞后到最高点的过程中所受合外力的冲量； (3)碰撞过程中损失的机械能。 一、单选题 1．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为，长绳的下端刚好和水平面接触。当静止时人离地面的高度为。如果这个人开始沿绳向下滑，当滑到绳下端时，他离地面的高度约为（可以把人看成质点）（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽六安·期末）如图所示，人、车和木箱静止在光滑水平地面上，木箱的质量为m，人和车的总质量为7m。人将木箱以水平速率v（相对地面）推向竖直墙壁（此过程记为人与木箱作用的第一次过程），木箱又以速率v（相对地面）弹回，人接住木箱后再以速率v（相对地面）将木箱推向墙壁，如此反复。下列说法正确的是（　　） A．人推木箱过程中人、车和木箱组成的系统动量守恒，机械能也守恒 B．人每一次将木箱推出的过程中，人的动量的改变量都相同 C．木箱每次与墙壁碰撞的过程中墙壁对木箱的冲量大小均为2mv D．木箱与墙壁碰撞5次后，木箱和人的速度相等 3．（25-26高二下·广东深圳·期中）2023年9月，“天宫课堂”第四课演示在微重力环境下不同质量钢球的对心碰撞所产生的现象。如图，在空间站中将一个质量为500g的实心钢球A放到网格布前方（相对网格布静止），一个质量为的钢球B从右侧以的水平速度与钢球A发生对心碰撞，若钢球之间的碰撞可视为弹性碰撞，以下说法正确的是（     ） A．碰撞前钢球B不受重力的作用，处于完全失重状态 B．碰撞过程中钢球B对钢球A的作用力大于钢球A对钢球B的作用力 C．碰撞后钢球B向左运动，速度大小为 D．碰撞过程中钢球A对钢球B的冲量大小为，方向水平向右 4．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在光滑水平面上，小球甲以速度与静止的、与甲质量相同的小球乙发生弹性正碰，则碰撞后乙的速度为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京丰台·期末）质量为m1和m2的A、B两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标x随时间t变化的图像如图所示。由图像可知（     ） A．A的质量大于B的质量 B．碰撞后B的动能大于A的动能 C．碰撞后A的动量大于B的动量 D．碰撞为弹性碰撞 6．（25-26高二下·北京延庆·期末）如图所示，质量为m的半圆形光滑凹槽静止放在光滑的水平面上，圆槽半径为R，一个质量为的小球静止在凹槽的左端最高点A处。现将小球释放，在小球第一次从A开始经最低点B运动到右侧最高点C的过程中，下列说法中正确的是（     ） A．小球在从A到B的运动过程中一直处于失重状态 B．在整个过程中，小球和凹槽组成的系统动量守恒 C．小球从A到C的过程中，凹槽先向左运动，后向右运动 D．当小球运动到C点时，凹槽相对地面走过的路程为0.5R 7．（25-26高二下·云南文山·期末）如图所示，光滑水平面上有A、B两物体，质量分别为mA=2kg、mB=3kg，物块B左侧固定有一水平轻质弹簧。开始时B静止，A以v0=10m/s的速度沿着两者连线向B运动，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（     ） A．弹簧被压缩到最短时，B的速率为3m/s B．弹簧的最大弹性势能为48J C．A、B两物体最终速率之比为1∶4 D．A与弹簧作用过程中，弹簧对A、B的冲量相同 8．（25-26高二下·陕西汉中·期末）质量为的物块以速度运动，与质量为的静止物块发生正撞，碰撞后物块正好静止不动，物块以速度开始运动，则两者质量的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 9．（25-26高二下·云南昭通·期末）如图所示，质量为2m的物块Q静止在光滑水平面上，其左端连接有一轻质弹簧，质量为m的物块P从Q的左侧沿着PQ连线以初速度v向右运动，物块P与弹簧接触后不粘连，在P与弹簧接触的过程中，不计空气阻力，则（　　） A．两物块组成的系统动量守恒，机械能守恒 B．弹簧被压缩到最短时物块P的速度为 C．整个过程中物块P的最小速度为 D．整个过程中物块Q的最大速度为 二、多选题 10．（25-26高二下·山西·阶段检测）如图所示，质量的人站在质量的车的一端，车长，均相对于水平地面静止，车与地面间的摩擦可以忽略不计，人由车的一端走到另一端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人对车的冲量大小等于车对人的冲量大小 B．由于人与车之间有摩擦力，故系统动量不守恒 C．车后退 D．人的速率最大时，车的速率最大 11．（25-26高二下·北京延庆·期中）人站在静浮于水面的船上，从某时刻开始从船头走向船尾，不计水的阻力，那么在这段时间内人和船的运动情况正确的是（     ） A．人匀加速走动，船则匀加速后退，且两者的加速度大小一定相等 B．不管人如何走，在任意时刻两者的动量总是大小相等，方向相反 C．人在船上行走的平均速度越大，则船在水面上移动的距离也越大 D．人匀速走动，船则匀速后退，且两者的速度大小与它们的质量成反比 12．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）如图甲所示，光滑水平面上有两物块，它们在时发生碰撞，两物块的位移一时间图像如图乙所示。已知物块的质量，由此可知（　　） A．碰撞前的动量为 B．物块的质量为 C．两物块的碰撞有机械能损失 D．碰撞过程中对的冲量为 13．（25-26高二下·云南楚雄·期末）如图甲所示，一处于原长的轻弹簧两端分别与质量为和的两物块、相连接，并静止在光滑的水平面上。现使瞬时获得水平向右的速度，大小为，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得（     ） A．在、时刻两物块达到共同速度，且弹簧都处于伸长状态 B．从到时刻弹簧由压缩状态恢复到原长 C．两物块的质量之比为 D．在时刻与的动能之比为 三、解答题 14．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图所示，一根轻绳竖直悬挂质量为m的小木块，木块处于静止状态。一颗质量也为m的子弹以速度v0水平向右射入木块，并立即留在其中。子弹入射木块过程的时间极短，忽略木块的微小偏离。已知重力加速度为g，轻绳长度为，木块摆动过程中未发生旋转，不计木块大小和空气阻力。求： (1)子弹入射木块后瞬间，木块的速度大小； (2)子弹入射木块后瞬间，木块对轻绳的拉力大小； (3)子弹入射木块后的运动过程中，求轻绳偏离竖直方向的最大角度θ及在最大偏角处木块和子弹的加速度。 15．（25-26高二下·天津红桥·期末）如图所示，竖直平面内半径为的四分之一光滑圆弧轨道下端与水平地面相切。质量均为的小滑块和分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将无初速度释放，与碰撞后结合为一个整体沿地面滑动。重力加速度为。求： (1)A碰B前瞬间对轨道的压力； (2)A与B碰撞过程中损失的机械能及碰撞过程中A对B的冲量。 16．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）如图所示，固定的光滑水平平台上静止着两个滑块和，它们的质量分别为、，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，小车静止在光滑的水平地面上。小车的质量，小车的上表面与平台的台面等高，小车上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在点，小车上表面的左端点与点之间是粗糙的，、的间距，滑块与之间表面的动摩擦因数，点右侧表面是光滑的。点燃炸药后，、分离瞬间两滑块获得的总动能为，之后滑块滑上小车。两滑块都可以看成质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度。 (1)求炸药爆炸后滑块获得的速度； (2)求在滑块滑上小车后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)滑块运动到何处小车的速度最大？并求出小车运动过程中的最大速度。 17．（25-26高二下·河南郑州·期末）质量均为的木块A和B，并排放在光滑的水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一长为的细线，细线另一端系一质量为的球C。现将C球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球。重力加速度。 (1)若A固定在水平面上，求C球下落到最低点时对细线的拉力大小 (2)若A可以自由滑动，求C球由静止释放下落到最低点时木块A的位移大小 (3)若A可以自由滑动，求C球在竖直轻杆左侧上升的最大高度 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 弹性碰撞和非弹性碰撞 反冲现象 火箭 【新教材人教版】 【知识框架+知识精讲（4个知识归纳+6个题型）+暑假作业】 【情景引入】 同学们生活中随处可见碰撞与反冲现象：小球相撞后速度改变、皮球碰撞后不再弹回原高度，这对应不同的碰撞类型。气球放气时向前飞行、火炮发射时炮身后退，都是典型的反冲运动。人在静止小船上行走，船会反向移动，这就是经典的人船模型。火箭升空更是利用反冲原理实现飞行。今天我们系统区分各类碰撞，探究反冲规律，掌握人船模型与火箭的核心原理。 【知识点1】 弹性碰撞和非弹性碰撞 1．弹性碰撞：碰撞过程中机械能守恒的碰撞叫弹性碰撞． 2．非弹性碰撞：碰撞过程中机械能不守恒的碰撞叫非弹性碰撞． 二、弹性碰撞的实例分析 在光滑水平面上质量为m1的小球以速度v1与质量为m2的静止小球发生弹性正碰．根据动量守恒和能量守恒： m1v1＝m1v1′＋m2v2′；m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2 碰后两个物体的速度分别为 v1′＝v1，v′2＝v1. (1)若m1>m2，v1′和v2′都是正值，表示v1′和v2′都与v1方向同向．(若m1≫m2，v1′＝v1，v2′＝2v1，表示m1的速度不变，m2以2v1的速度被撞出去) (2)若m1<m2，v1′为负值，表示v1′与v1方向相反，m1被弹回．(若m1≪m2，v1′＝－v1，v2′＝0，表示m1被反向以原速率弹回，而m2仍静止) (3)若m1＝m2，则有v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后两球速度互换． 【例1】（25-26高二下·福建福州·期末）如图，光滑水平面上一质量为m、速度大小为v的A球与质量为2m、静止的B球发生对心正碰。碰后A的速度方向与碰撞前相反，则碰后B的速度大小可能是（     ） A．0.40v B．0.50v C．0.60v D．0.80v 【答案】C 【详解】设碰撞后A的速度为，B的速度为，根据动量守恒可得 由于碰后A的速度方向与碰撞前相反，则有，可得 若A、B发生弹性碰撞，根据机械能守恒可得 解得 则碰后B的速度大小可能为 故选C。 【变式1-1】（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）质量相等的A、B两球在光滑水平面上，沿同一直线，同一方向运动，A球的动量为，B球的动量为，当A球追上B球时发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】设两球质量均为，碰撞前系统总动量 总动能 A．碰后总动量，不满足动量守恒，故A错误； B．碰后总动量 动量守恒，但总动能 总动能增加，不符合碰撞规律，故B错误； C．碰后总动量 动量守恒，总动能 但碰后 A速度大于B速度会发生二次碰撞，不符合实际，故C错误； D．碰后总动量 动量守恒，总动能 总动能不增加，且 不会发生二次碰撞，符合碰撞规律，故D正确。 故选D。 【变式1-2】（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动， ，当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】碰撞过程需满足三个规律：①系统动量守恒；②碰后总动能不大于碰前总动能；③碰后A的速度不大于B的速度，避免发生二次碰撞。 先计算碰前总动量和总动能： 碰前总动量 碰前总动能 A．碰后，A速度大于B，会发生第二次碰撞，不符合实际，故A错误； B．碰后总动量，动量守恒；总动能，动能不增加；且，符合碰撞规律，故B正确； C．碰后总动能，动能增加，违背能量守恒，故C错误； D．碰后，会发生二次碰撞，且总动能，动能增加，不符合规律，故D错误。 故选B。 【知识点2】 反冲现象 1．定义 一个静止的物体在内力的作用下分裂为两部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动的现象． 2．规律：反冲运动中，相互作用力一般较大，满足动量守恒定律． 3．反冲现象的应用及防止 (1)应用：农田、园林的喷灌装置利用反冲使水从喷口喷出时，一边喷水一边旋转． (2)防止：用枪射击时，由于枪身的反冲会影响射击的准确性，所以用枪射击时要把枪身抵在肩部，以减少反冲的影响． 【例2】（1.6反冲现象火箭随堂测试）一质量为M的火箭，其发动机喷出的气体相对喷气前火箭的速度大小恒为v0。以地面为参考系，该火箭正以速度v在太空中飞行，某一时刻火箭接到加速的指令后，发动机瞬间向后喷出质量为m的气体，已知喷出气体质量m远小于火箭初始质量M，则加速后火箭相对地面的速度大小等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在太空中可忽略外力，火箭和喷出气体组成的系统动量守恒，规定火箭原飞行方向为正方向，设喷气加速后火箭相对地面的速度大小为，满足，解得 由于喷出的气体质量相对火箭质量来说很小，满足 因此 代入得近似结果 故选B。 【变式2-1】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）在郊外的军事体验基地里，有一门模拟小火炮（总质量），里面装着一枚训练用橡胶炮弹（质量）。基地的地面是特别处理过的光滑硬化地面，几乎没有摩擦力。当体验者按下发射按钮，炮弹从炮口以速率与水平地面成θ的角度飞出，如图所示，则火炮后退的速度大小为（设水平地面光滑）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】炮弹离开炮口时，炮弹和炮车组成的系统在水平方向动量守恒，设火炮后退的速度大小为，取炮车后退的方向为正，根据系统水平方向动量守恒有 可得炮车后退的速度大小为故选C。 【变式2-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期末）水火箭利用反冲原理，不用燃料也能冲向高空。已知水火箭瓶身质量为m，水的质量为M，向瓶内充气，当压强达到一定值时，水会瞬间冲开瓶塞且全部喷完，此时瓶子沿竖直方向的速度为u，则此瞬间（　　） A．瓶子速度与水的速度大小之比为 B．瓶子速度与水的速度大小之比为 C．水的速度大小为 D．水的速度大小为 【答案】D 【详解】设水的速度为，选取瓶子运动的方向为正方向，水冲开瓶塞瞬间，系统动量守恒，则有 解得，，故选D。 【知识点3】 火箭 1．工作原理：喷气式飞机和火箭的飞行应用了反冲的原理，它们靠喷出气流的反冲作用而获得巨大的速度． 2．决定火箭增加的速度Δv的因素 (1)火箭喷出的燃气相对喷气前火箭的速度． (2)火箭喷出燃气的质量与火箭本身质量之比． 【例3】（25-26高二下·河南郑州·期末）水火箭又称气压式喷水火箭、某社团用废弃的饮料瓶制作成一个简易的水火箭。其升空的原理是利用压缩空气把水从火箭尾部的喷嘴向下高速喷出，水火箭在反作用力的推动下快速上升。下图为水火箭原理图，若发射过程中水火箭将壳内的水以相对地面的速度在时间内竖直向下快速喷出，忽略空气阻力，取。则水火箭箭体在时间内受到水的平均推力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取竖直向下为正方向，以喷出的水为研究对象，由动量定理 解得 故选C。 【变式3-1】（25-26高二下·北京丰台·期末）图甲是某同学自制的水火箭，图乙是水火箭的简易原理图。用打气筒向水火箭内不断打气，当内部气体压强增大到一定程度时，可近似认为在极短的时间内，水以相对地面v0的速度与水平方向成θ角斜向下喷出，使箭体升空。已知水和箭体的质量分别为2m、m，忽略空气阻力、重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．水喷出的过程中，箭体和水组成的系统机械能守恒 B．水喷完时，箭体的速度接近2v0cosθ C．箭体从静止到最高点的过程中，重力的冲量小于推力的冲量 D．若θ=45°，箭体可上升的高度最大 【答案】C 【详解】A．水喷出过程中，火箭内部压缩气体的内能转化为箭体和水的机械能，系统机械能增加，因此机械能不守恒，故A错误； B．喷水过程极短，重力的冲量可忽略，箭体和水组成的系统动量守恒，初始总动量为0。设喷水后箭体速度为，水的速度为，由动量守恒定律有 解得 即箭体速度大小为，与水平方向成θ角斜向上，故B错误； C．喷水过程时间极短，重力在喷水过程的冲量可忽略，箭体做斜抛运动，上升到最高点的时间 则重力的冲量大小 根据动量定理可知，推力冲量大小等于箭体喷完水后的动量大小，则 由于 因此 即重力冲量小于推力冲量，故C正确； D．箭体上升高度 可知越大，越大，越大，当时，上升高度最大，故D错误。 故选C。 【变式3-2】（25-26高二下·宁夏银川·期中）总质量为的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，线速度大小为，为了使卫星到达较高轨道运行，需要加速做离心运动，卫星发动机在极短时间内以相对于喷气前卫星的速度向后喷出速度为，质量为的燃气，则喷气结束时卫星的速度大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】喷气过程时间极短，卫星与燃气组成的系统所受万有引力的冲量可忽略，满足动量守恒条件。取卫星初始运动方向为正方向，设喷气后卫星速度为：初始状态系统总动量为；喷气后剩余卫星质量为，动量为；燃气相对喷气前卫星向后的速度大小为，因此燃气相对地面的速度为，动量为，根据动量守恒定律列方程 整理得 解得；故选D。 【知识点4】 “人船模型” 1．“人船模型”问题 两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒． 2．人船模型的特点 (1)两物体满足动量守恒定律：m11－m22＝0. (2)运动特点：人动船动，人停船停，人快船快，人慢船慢，人左船右，人、船位移比等于它们质量的反比，即＝. 【例4】（25-26高二下·安徽安庆·期中）如图所示，一质量为M的窄长木板放在光滑的水平冰面上，板长为L，质量为m的人站在距木板左端为x处，当人走到木板右端的过程中，人对地的位移为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对人和长木板，由平均动量守恒可得 两边同乘以时间可得 又 可得 故选C。 【变式4-1】．（25-26高二下·安徽蚌埠·期中）如图所示，一个质量为的半圆槽形物体P放在光滑水平面上，半圆槽半径为R，可看作质点的小球Q质量为3m，从半圆槽的最左端与圆心等高位置无初速释放，然后滑上半圆槽右端，各接触面均光滑，Q从释放到滑至半圆槽右端最高点的过程中，下列说法正确的是（    ） A．P、Q组成的系统满足机械能守恒和动量守恒 B．小球运动到最右端时与半圆槽共速，高度低于释放点高度 C．Q滑至最低点时的速度为 D．Q的位移大小为 【答案】C 【详解】A．对P、Q组成的系统进行分析，由于小物块Q在竖直方向上存在加速与减速过程，则系统所受外力的合力不为0，系统仅仅在水平面所受外力的合力为0，即系统动量不守恒，系统在水平方向上动量守恒，故A错误； B．P和Q组成的系统水平方向动量守恒，P和Q速度相等时，由动量守恒定律可知，速度为零，对于系统来说只有重力做功，系统机械能守恒，所以Q到右端最高点一定与圆心等高，故B错误； C．Q滑至最低点，根据系统水平方向动量守恒可得 根据系统机械能守恒可得 联立解得，故C正确； D．根据水平方向动量守恒可知 P、Q的相对位移 联立解得 ，故D错误。 故选C 。 【变式4-2】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）如图，在一次特警训练中，质量为140kg的小车静止在光滑的水平面上，A、B为小车的两端。质量为70kg的特警站在A端，起跳后恰好落到B端，相对地面的位移为2m。该过程不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小车后退了2m B．小车后退了 C．小车AB长为3m D．小车AB长为2m 【答案】C 【详解】AB．设特警质量，小车质量，特警和小车组成的系统水平方向不受外力，动量守恒，且初始总动量为零，任意时刻满足 则对整个运动过程的平均速度满足 等式两边同乘时间，得 整个运动过程的位移关系满足 已知特警相对地面的位移大小，则小车相对地面后退的位移大小为，故AB错误； CD．小车AB的长度等于特警相对小车的位移大小，由于特警和小车运动方向相反，相对位移为两者对地位移大小之和，故C正确，D错误。 故选C。 【例5】（25-26高二下·云南大理·阶段检测）一枚在空中飞行的火箭质量为 ，在某时刻的速度为，方向水平，燃料即将耗尽。此时，火箭突然炸裂成两块（如图），其中质量为的一块沿着与相反的方向飞去，速率为。求炸裂后另一块的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】火箭炸裂前的总动量为，设为正方向 炸裂后的总动量为 根据动量守恒定律可得 解出 故选D。 【变式5-1】（25-26高二下·北京顺义·期中）如图所示，光滑水平地面上紧挨着的两个滑块A、B之间有少量炸药（质量不计），爆炸后A、B沿水平地面向左、右滑行的速度分别为2m/s、4m/s。已知滑块A的质量为mA=4kg，重力加速度g=10m/s2，炸药爆炸释放的化学能全部转化为滑块A、B的动能。下列说法正确的是（　　） A．滑块B的质量为1kg B．滑块B的质量为3kg C．炸药爆炸释放的化学能为16J D．炸药爆炸释放的化学能为24J 【答案】D 【详解】AB．爆炸过程系统所受合外力为零，系统动量守恒，规定向右为正方向，由动量守恒定律得 解得，故AB错误； CD．炸药爆炸释放的化学能全部转化为滑块A、B的动能，由能量守恒定律得 代入数据解得，故C错误，D正确。 故选D。 【变式5-2】．（25-26高二上·山东·阶段检测）2025年春节，我国产的烟花火遍全球，新的烟花研发设计层出不穷。现有某烟花筒的结构如图甲所示，其工作原理为：点燃引线，引燃发射药燃烧发生爆炸，礼花弹获得一个竖直方向的初速度并同时点燃延期引线，当礼花弹到最高点时，延期引线点燃礼花弹并炸开形成漂亮的球状礼花。现假设某礼花弹在最高点炸开成a、b两部分，速度均为水平方向。炸开后a、b的轨迹图如图乙所示。忽略空气阻力的作用，则（　　） A．a、b两部分落地时的速度大小之比为1∶3 B．a、b两部分的初动能之比为1∶9 C．a、b两部分落地时的重力功率之比为1∶3 D．从炸开到两部分落地的过程中，a、b两部分所受重力的冲量之比为3∶1 【答案】D 【详解】A．a、b两部分水平方向做匀速运动，水平位移之比为1∶3，竖直高度相等，根据，可得二者运动时间相等，根据，可知落地时的水平速度大小之比等于水平位移大小之比，即 落地时速度 其中，可知二者的竖直速度大小相等，则a、b两部分落地时的速度大小之比不是1∶3，A错误； B．a、b两部分在最高点炸裂时，由动量守恒可得 即两部分动量大小相等，又，可得，B错误； C．根据功率公式，二者的竖直速度大小相等，可得a、b落地时的重力功率之比等于质量之比，即3∶1，C错误； D．二者质量之比为，根据，可得a、b两部分所受重力的冲量之比等于质量之比，即3∶1，D正确。 故选D。 【例6】（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）如图甲所示，光滑水平面上有P、Q两物块，它们在时发生碰撞，两物块的位移—时间图像如图乙所示。已知物块Q的质量，由此可知（　　） A．碰撞前P的动量为 B．物块P的质量为1kg C．两物块的碰撞无机械能损失 D．碰撞过程中P对Q的冲量为 【答案】B 【详解】AB．根据位移—时间图像可知，碰撞前的速度 碰撞后两者的共同速度 以碰撞前的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 解得 碰撞前的动量，A错误、B正确； C．根据位移—时间图像，碰撞后两者的速度相同，说明碰撞为完全非弹性碰撞，碰撞过程中存在机械能的损失，C错误； D．根据动量定理，对作用力的冲量，D错误。 故选B。 【变式6-1】（25-26高二下·北京昌平·期末）如图所示，左端固定一轻弹簧的物块Q静止在光滑水平地面上，物块P以速度向右运动并撞上弹簧，下列说法正确的是（     ） A．弹簧被压缩至最短时，P、Q的动量一定相等 B．弹簧被压缩至最短时，Q的动量达到最大值 C．P与弹簧分离后仍向右运动时，P的质量一定大于Q的质量 D．P与弹簧分离后向左运动时，P的动量可能大于Q的动量 【答案】C 【详解】AB．弹簧被压缩至最短时，两物体共速，由于不知道两物体的质量关系，无法比较动量大小，因此时弹簧对Q有向右的弹力，则Q仍要加速，此时Q的动量不是最大，AB错误； CD．弹性碰撞下有动量守恒，能量守恒，解得，若P与弹簧分离后仍向右运动时，与同向，则；反之P与弹簧分离后向左运动时，与反向，，C正确，D错误。 故选C。 【变式6-2】（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）质量为m、速度为v的A球跟质量为4m的静止B球在光滑的水平面上发生正碰。碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，下列说法正确的是（     ） A．碰撞过程中，两个小球组成的系统动量不一定守恒 B．碰撞后瞬间，B球的速度可能为0.3v C．碰撞后瞬间，A球的速度可能为 D．碰撞过程中，A球受到的冲量方向与其初速度方向相同 【答案】B 【详解】A．两个小球在光滑水平面运动，碰撞过程中两个小球组成的系统所受合外力为零，动量一定守恒，故A错误； BC．A、B两个小球发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律 解得 发生弹性碰撞时，由动量守恒定律 由机械能守恒定律 解得， 碰撞后瞬间，A球的最大速度为，不可能为；B球速度满足，0.3v在该范围内，B球的速度可能为0.3v，故B正确，C错误； D．碰撞过程中A球受到B的弹力与初速度方向相反，冲量方向与力的方向一致，故A球受到的冲量方向与初速度方向相反，故D错误。 故选B。 【例7】（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）如图所示，光滑水平面上静置一质量为的木板，质量为的小物块以初速度从左端滑上木板，与木板相对静止时恰好运动到木板中央。已知物块与木板间动摩擦因数为，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．木板长度为 B．木板长度为 C．系统因摩擦产生的热量大于木板获得的动能 D．系统因摩擦产生的热量小于木板获得的动能 【答案】C 【详解】AB．设共速为，水平面光滑，小物块和木板组成的系统动量守恒 解得 小物块相对木板滑动到中央，相对位移，则摩擦生热 等于系统动能损失 联立解得，故AB错误； CD．木板获得的动能 由之前分析得摩擦热 而，即，系统摩擦生热大于木板获得的动能，故C正确，D错误。 故选C。 【变式7-1】（25-26高二下·陕西西安·期末）如图所示，在光滑水平面上有一质量为3m的木块与轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在竖直挡板上，弹簧处于水平状态，木块处于静止状态，一质量为m的子弹以水平向左的速度射入（时间极短）木块并停留在木块内，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 子弹射入木块的时间极短，弹簧还未发生明显形变，弹力冲量可忽略，子弹和木块组成的系统动量守恒。 设碰撞后子弹和木块的共同速度为，根据动量守恒定律 解得 子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒。当木块速度减为0时，动能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹性势能最大，最大弹性势能等于子弹和木块的共同动能 故选A。 【变式7-2】（25-26高一下·河北·阶段检测）如图甲所示，木板放置在光滑的水平面上处于静止状态，一颗子弹（可视为质点）以水平向右的速度v0射入木板且恰好未从木板最右端穿出，两者的速度与时间关系图像如图乙所示，下列说法错误的是（　　 ） A．若子弹的质量为m，则木板的质量为 B．木板的长度为 C．若子弹的质量为m，则整个过程中子弹的动量变化率大小为 D．若子弹的质量为m，则整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量为 【答案】D 【详解】A．若子弹的质量为，设木板的质量为，子弹与木板组成的系统动量守恒，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律有 解得 可知木板的质量为，故A正确； B．由图乙可知，子弹恰好未从木板最右端穿出，木板的长度等于整个过程中子弹和木板的相对位移大小，根据速度—时间图像与时间轴所围成的面积表示位移，可得木板的长度为 解得 可知木板的长度为，故B正确； C．若子弹的质量为，根据动量变化量的定义可知整个过程中子弹的动量变化大小为 解得 整个过程中子弹的动量变化率大小为，故C正确； D．若子弹的质量为，整个过程中子弹与木板组成的系统产生的热量等于系统机械能的减小量，根据能量守恒定律有 解得 可知系统产生的热量为，故D错误。 本题选择错误的，故选D。 【例8】．（25-26高二下·天津和平·开学考试）如图所示，在光滑水平面上放置一个质量为的滑块，滑块的一侧是一个弧形槽，凹槽半径为，点切线水平。另有一个质量为的小球以速度从点冲上滑块，重力加速度大小为，不计摩擦。下列说法中正确的是（     ） A．小球回到斜槽底部时，小球速度方向可能向左 B．在小球相对滑块运动的过程中小球与滑块组成的系统动量守恒 C．小球到达斜槽最高点处，小球的速度为零 D．当时，小球能到达B点 【答案】A 【详解】B．由于小球与滑块在水平方向上不受外力作用，所以球和滑块组成的系统水平方向动量守恒，但竖直方向受到的合外力不为零，竖直方向上动量不守恒，所以在小球相对滑块运动的过程中小球与滑块组成的系统动量不守恒，故B错误； A．当小球回到斜槽底部，相当于完成了弹性碰撞， 联立求得 当，与方向相同，向左；当，与方向相反，即向右，故A正确。 C．当小球到达斜槽最高点，由在水平方向上动量守恒有 可知小球具有水平速度，故C错误； D．滑块不固定，当时，设小球沿槽上升的高度为h，则有， 可解得，故D错误。 故选A。 【变式8-1】（25-26高二下·河南郑州·期末）如图所示，一平板小车静止在光滑水平地面上，小车上固定有一光滑曲面，末端与小车平滑相切，小车与曲面总质量为。质量为的小球以初速度从轨道末端向右滑上曲面，恰能到达曲面最高点，然后又落回轨道末端，最终与小车分离。重力加速度为，小球视作质点，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法正确的是（     ） A．小球到达点时，小球的速度大小为0 B．曲面的竖直高度 C．小车的最大速度为 D．小球与小车分离后做自由落体运动 【答案】C 【详解】AB．小球到达最高点P时，与小车水平方向共速，规定向右为正方向，水平方向根据系统动量守恒有 解得 小球从滑上曲面至P点过程中，根据能量守恒有 解得曲面的竖直高度为，故AB错误； CD．当小球又落回轨道末端时，小车的速度达到最大，设此时小球的速度为，小车的速度为，根据系统水平方向动量守恒可得 根据能量守恒有 联立解得， 可知小车的最大速度为，小球与小车分离后，向左做初速度大小为的平抛运动，故C正确，D错误。 故选C。 【变式8-2】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）如图所示，静止在光滑水平面上质量为2 kg的物体内有一条光滑的轨道MON，其中M、N等高，N端沿竖直方向。质量为0.49 kg的小球静止在M端，质量为0.01 kg的弹丸以大小为200 m/s的速度沿水平方向射入小球并留在其中，弹丸射入小球的时间极短，最终小球能从N端离开物体，重力加速度，小球和弹丸均可视为质点。从弹丸打入小球前到小球离开物体的过程中（     ） A．弹丸、小球、物体组成的系统动量守恒 B．弹丸、小球、物体组成的系统机械能守恒 C．弹丸射入小球的过程损失了200 J的机械能 D．小球离开物体后，物体的速度大小为 【答案】D 【详解】A．弹丸、小球、物体组成的系统在水平方向上不受外力，水平方向动量守恒；但在竖直方向上，小球在轨道内运动时有竖直方向的加速度，系统所受合外力不为零，故系统总动量不守恒，故A错误； B．弹丸射入小球的过程属于完全非弹性碰撞，有部分机械能转化为内能，故系统机械能不守恒，故B错误； C．设弹丸的质量为，小球的质量为，弹丸的速度 弹丸射入小球过程，由动量守恒定律得 解得共同速度 该过程损失的机械能，故C错误； D．小球（含弹丸）在物体轨道上运动过程中，系统水平方向动量守恒。当小球从端离开时，由于端沿竖直方向，小球相对于物体的速度竖直向上，即小球与物体在水平方向上具有相同的速度，设为。设物体的质量为，由水平方向动量守恒定律可得 解得，故D正确。 故选D。 【例9】（25-26高二下·天津河东·期末）如图所示，质量为的小球由长为的轻绳悬挂于点，静止时对轨道最低点恰好无压力。质量为的小球从轨道上某一点由静止释放，在最低点与球发生碰撞。碰撞后球绕点做圆周运动且恰能到达最高点球水平抛出，落地时其水平射程为，轨道最低点距地面高度为。两小球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)碰撞后瞬间、的速度大小和； (2)碰撞过程中系统损失的机械能； (3)碰撞过程中B对A冲量的大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设球在最高点的速度大小为，恰好到达最高点时绳的拉力为零，由牛顿第二定律得 解得 从最低点到最高点，只有重力做功，取最低点重力势能为零，由机械能守恒定律得 代入 解得 球碰撞后做平抛运动，设飞行时间为，竖直方向由匀变速直线运动位移公式得 解得 水平方向做匀速直线运动，有 解得 （2）取碰撞前球运动方向为正方向。碰撞时间极短，两球组成的系统在水平方向所受外力冲量为零，故水平方向动量守恒。设碰撞前球的速度大小为，有 解得 碰撞位置不变，系统损失的机械能等于碰撞前、后总动能之差，即 代入数据得 （3）碰撞过程中，球所受重力和绳的拉力均沿竖直方向，故其水平方向的合冲量等于球对它的冲量。沿上述正方向对球应用动量定理，因其初速度为零，得 【变式9-1】．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）固定的竖直截面为半径为的光滑圆弧轨道，最高点为，最低点为，如图所示。光滑水平面上紧靠着形滑块，其上表面与轨道末端所在的水平面平齐，左端静止一小物块。小物块从点静止释放，沿轨道下滑到点。在点与弹性正碰，碰后仅在上滑动，滑到右端的竖直挡板发生弹性碰撞。在上滑动时动摩擦因数恒为。空气阻力不计，、、质量均为，、视为质点，中竖直挡板长度不计，重力加速度取。求： (1)在点与碰前瞬间的速度大小； (2)、碰后瞬间的速度大小； (3)至少多长才能使小物块不脱离。 【答案】(1)2m/s (2)2m/s (3)0.2m 【详解】（1）对小物块a从E到F的过程，根据动能定理有 解得 （2）a、c碰撞过程动量守恒，能量守恒，有， 解得， （3）设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定律有， 解得 【变式9-2】（25-26高二上·陕西宝鸡·阶段检测）如图所示，竖直平面内有一长m的轻绳，上端系在钉子上，下端悬挂质量kg的小球A，细线拉直且小球恰好静止在光滑水平面上。一质量kg的小球B以速度m/s水平向左运动，与小球A发生对心碰撞，碰撞后小球A恰能在竖直面内做完整的圆周运动。（g取）求： (1)碰撞后瞬间小球A的速度大小； (2)小球A从碰撞后到最高点的过程中所受合外力的冲量； (3)碰撞过程中损失的机械能。 【答案】(1) (2)冲量大小为，方向水平向右。 (3) 【详解】（1）A恰能完成竖直面内完整圆周运动，重力提供向心力 得最高点速度 A从碰撞后（最低点）到最高点过程机械能守恒 碰撞后瞬间小球A的速度大小 （2）规定水平向左为正方向，碰撞后A初动量 ，末动量 合外力冲量 小球A从碰撞后到最高点的过程中所受合外力的冲量大小为，方向水平向右。 （3）碰撞过程动量守恒 代入数据，解得碰撞后B的速度 ，负号表示碰撞后B反弹向右。 碰撞损失的机械能等于初末机械能之差 一、单选题 1．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）如图所示，气球下面有一根长绳，一个质量为的人抓在气球下方，气球和长绳的总质量为，长绳的下端刚好和水平面接触。当静止时人离地面的高度为。如果这个人开始沿绳向下滑，当滑到绳下端时，他离地面的高度约为（可以把人看成质点）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】系统（人+气球+绳）初始静止，竖直方向总重力与浮力平衡，合外力为零，动量守恒。设人相对于地面向下的位移大小为，气球（绳）相对于地面向上的位移大小为。根据动量守恒，任意时刻 两边同乘运动时间得 根据几何关系满足 解得 所以滑到绳下端时，他离地面的高度约为3.6m。 故选A。 2．（25-26高一下·安徽六安·期末）如图所示，人、车和木箱静止在光滑水平地面上，木箱的质量为m，人和车的总质量为7m。人将木箱以水平速率v（相对地面）推向竖直墙壁（此过程记为人与木箱作用的第一次过程），木箱又以速率v（相对地面）弹回，人接住木箱后再以速率v（相对地面）将木箱推向墙壁，如此反复。下列说法正确的是（　　） A．人推木箱过程中人、车和木箱组成的系统动量守恒，机械能也守恒 B．人每一次将木箱推出的过程中，人的动量的改变量都相同 C．木箱每次与墙壁碰撞的过程中墙壁对木箱的冲量大小均为2mv D．木箱与墙壁碰撞5次后，木箱和人的速度相等 【答案】C 【详解】A．人推木箱过程中，人、车和木箱组成的系统在水平方向不受外力，系统动量守恒；但人消耗化学能，使系统动能增加，机械能不守恒，故A错误； B．取水平向左为正方向。第一次将木箱推出时，木箱动量由变为，木箱动量变化量为，人和车整体动量变化量为；从第二次起，木箱每次被人从向左变为向右，木箱动量变化量为，人和车整体动量变化量为，所以人每一次将木箱推出的过程中，动量改变量不都相同，故B错误； C．木箱每次与墙壁碰撞前速度向右，动量为，碰撞后速度向左，动量为，墙壁对木箱的冲量为，故C正确； D．由动量递增规律可知，人和车整体第一次推出木箱后动量为，之后每推出一次木箱动量增加，则第五次碰墙后人和车整体动量为，速度为，而木箱反弹速度仍为，二者速度不相等，故D错误。 故选C。 3．（25-26高二下·广东深圳·期中）2023年9月，“天宫课堂”第四课演示在微重力环境下不同质量钢球的对心碰撞所产生的现象。如图，在空间站中将一个质量为500g的实心钢球A放到网格布前方（相对网格布静止），一个质量为的钢球B从右侧以的水平速度与钢球A发生对心碰撞，若钢球之间的碰撞可视为弹性碰撞，以下说法正确的是（     ） A．碰撞前钢球B不受重力的作用，处于完全失重状态 B．碰撞过程中钢球B对钢球A的作用力大于钢球A对钢球B的作用力 C．碰撞后钢球B向左运动，速度大小为 D．碰撞过程中钢球A对钢球B的冲量大小为，方向水平向右 【答案】D 【详解】A．钢球B虽然处于完全失重状态，但仍受重力作用，只是重力提供了B做圆周运动的向心力，故A错误； B．碰撞过程中，钢球A与钢球B之间的力为相互作用力，大小相等，方向相反，故B错误； C．碰撞为弹性碰撞，则由动量守恒定律可得 由能量守恒定律可得 解得， 即碰撞后钢球B向右运动，速度大小为，故C错误； D．对B分析，由动量定理 解得 即钢球A对钢球B的冲量大小为，方向水平向右，故D正确。 故选D。 4．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在光滑水平面上，小球甲以速度与静止的、与甲质量相同的小球乙发生弹性正碰，则碰撞后乙的速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设碰撞后甲、乙的速度分别为、，取甲碰撞前的速度方向为正方向。碰撞过程中系统动量守恒，有 即 弹性碰撞中系统动能守恒，有= 即 联立两式得， 故选B。 5．（25-26高二下·北京丰台·期末）质量为m1和m2的A、B两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标x随时间t变化的图像如图所示。由图像可知（     ） A．A的质量大于B的质量 B．碰撞后B的动能大于A的动能 C．碰撞后A的动量大于B的动量 D．碰撞为弹性碰撞 【答案】B 【详解】A．由图像的斜率表示速度，可知碰撞前的速度为0，的速度为 碰撞后的速度为 碰撞后的速度为 根据动量守恒可得 解得，故A错误； B．结合碰撞后A的速率为2m/s、B的速率为1m/s，且，根据，代入数据可知碰撞后B的动能大于A的动能，故B正确； C．根据，可知碰撞后的动量大小大于的动量大小，故C错误； D．碰撞过程中系统动能损失为，故D错误。 故选B。 6．（25-26高二下·北京延庆·期末）如图所示，质量为m的半圆形光滑凹槽静止放在光滑的水平面上，圆槽半径为R，一个质量为的小球静止在凹槽的左端最高点A处。现将小球释放，在小球第一次从A开始经最低点B运动到右侧最高点C的过程中，下列说法中正确的是（     ） A．小球在从A到B的运动过程中一直处于失重状态 B．在整个过程中，小球和凹槽组成的系统动量守恒 C．小球从A到C的过程中，凹槽先向左运动，后向右运动 D．当小球运动到C点时，凹槽相对地面走过的路程为0.5R 【答案】D 【详解】A．小球在从A到B的运动过程中，竖直方向的加速度先向下后向上，小球先失重后超重，故A错误； B．在整个过程中，小球有竖直方向的加速度，凹槽没有竖直方向的加速度，所以小球和凹槽组成的系统在竖直方向所受合外力不为0，小球和凹槽组成的系统动量不守恒，故B错误； C．小球从A到B的过程中，小球对凹槽的压力具有水平向左的分力，凹槽向左加速运动；小球从B到C的过程中，小球对凹槽的压力具有水平向右的分力，凹槽向左减速运动，当小球到C点时，凹槽速度刚好减为0，故C错误； D．小球和凹槽组成的系统在水平方向动量守恒，则有 则有 当小球运动到C点时，由 联立解得凹槽相对地面走过的路程为，故D正确。 故选D。 7．（25-26高二下·云南文山·期末）如图所示，光滑水平面上有A、B两物体，质量分别为mA=2kg、mB=3kg，物块B左侧固定有一水平轻质弹簧。开始时B静止，A以v0=10m/s的速度沿着两者连线向B运动，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（     ） A．弹簧被压缩到最短时，B的速率为3m/s B．弹簧的最大弹性势能为48J C．A、B两物体最终速率之比为1∶4 D．A与弹簧作用过程中，弹簧对A、B的冲量相同 【答案】C 【详解】A．弹簧被压缩到最短时，A、B两物体的速度相等，根据动量守恒定律，有 得，即此时B的速率为，A错误； B．对A、B两物体和弹簧组成的系统，当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能最大，根据机械能守恒定律，有 得，即弹簧的最大弹性势能为，B错误； C．最终弹簧再次恢复原长，以A物体初速度方向为正，根据动量守恒定律，有 根据机械能守恒定律，有 得，，则A、B两物体最终速率之比为，C正确； D．A与弹簧作用过程中，以A物体初速度方向为正，根据动量定理：对A物体，有 对B物体，有 即弹簧对A、B的冲量大小相等，方向相反，D错误。 故选C。 8．（25-26高二下·陕西汉中·期末）质量为的物块以速度运动，与质量为的静止物块发生正撞，碰撞后物块正好静止不动，物块以速度开始运动，则两者质量的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【详解】A、B发生正碰时系统合外力可忽略，动量守恒，取A初始运动方向为正方向：根据动量守恒定律有 可得 进一步验证动能：碰撞前系统总动能 碰撞后总动能 动能没有增加，属于弹性碰撞，符合碰撞的物理规律。 故选B。 9．（25-26高二下·云南昭通·期末）如图所示，质量为2m的物块Q静止在光滑水平面上，其左端连接有一轻质弹簧，质量为m的物块P从Q的左侧沿着PQ连线以初速度v向右运动，物块P与弹簧接触后不粘连，在P与弹簧接触的过程中，不计空气阻力，则（　　） A．两物块组成的系统动量守恒，机械能守恒 B．弹簧被压缩到最短时物块P的速度为 C．整个过程中物块P的最小速度为 D．整个过程中物块Q的最大速度为 【答案】B 【详解】A．水平面光滑，P、Q组成的系统所受重力、支持力矢量和为零，弹簧对P、Q的弹力矢量和为零，故两物块组成的系统动量守恒；P、Q及弹簧组成的系统机械能守恒，但两物块组成的系统机械能不守恒，故A错误； B．当弹簧被压缩到最短时，P、Q共速，设共同速度为，由动量守恒定律有 解得，故B正确； CD．当弹簧恢复原长时有， 解得， 故可知弹簧恢复原长前，物块P的速度已经减为0，所以物块P的最小速度为0，物块Q的最大速度为，故CD错误。 故选B。 二、多选题 10．（25-26高二下·山西·阶段检测）如图所示，质量的人站在质量的车的一端，车长，均相对于水平地面静止，车与地面间的摩擦可以忽略不计，人由车的一端走到另一端的过程中，下列说法正确的是（　　） A．人对车的冲量大小等于车对人的冲量大小 B．由于人与车之间有摩擦力，故系统动量不守恒 C．车后退 D．人的速率最大时，车的速率最大 【答案】ACD 【详解】A．人对车的作用力与车对人的作用力是作用力与反作用力，它们大小F相等、方向相反、作用时间t相等，作用力的冲量I=Ft大小相等、方向相反，故A正确； B．系统水平方向不受外力作用，竖直方向合力为零，故系统动量守恒。人与车之间的摩擦力属于系统内力，不影响系统动量守恒，故B错误； C．设车后退的距离为x，则人的位移大小为L-x，人与车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv人-Mv车=0 则 代入数据解得x=1m，故C正确； D．人与车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 mv人-Mv车=0 则人的速率最大时，车的速率最大，故D正确。 故选ACD。 11．（25-26高二下·北京延庆·期中）人站在静浮于水面的船上，从某时刻开始从船头走向船尾，不计水的阻力，那么在这段时间内人和船的运动情况正确的是（     ） A．人匀加速走动，船则匀加速后退，且两者的加速度大小一定相等 B．不管人如何走，在任意时刻两者的动量总是大小相等，方向相反 C．人在船上行走的平均速度越大，则船在水面上移动的距离也越大 D．人匀速走动，船则匀速后退，且两者的速度大小与它们的质量成反比 【答案】BD 【详解】A．人和船之间的相互作用力大小相等，由牛顿第二定律，人和船质量不同，因此加速度大小不相等，故A错误； B．系统动量守恒，初始总动量为0，因此任意时刻总动量始终为0，可得人和船的动量总是大小相等、方向相反，故B正确； CD．人匀速走动时，人所受合力为0，因此船所受合力也为0，船匀速后退； 由动量守恒得 整理得，即两者速度大小与质量成反比； 人船系统动量守恒在任意时刻都成立，有 两边同乘，则有 设船长为，则 可得船的位移，船的位移仅由人和船的质量、船长决定，与人行走的平均速度无关，故C错误，D正确。 故选BD。 12．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）如图甲所示，光滑水平面上有两物块，它们在时发生碰撞，两物块的位移一时间图像如图乙所示。已知物块的质量，由此可知（　　） A．碰撞前的动量为 B．物块的质量为 C．两物块的碰撞有机械能损失 D．碰撞过程中对的冲量为 【答案】BC 【详解】AB．由题意，时两物块碰撞。碰撞前（），的位移，得速度 位移不变，处于静止， 碰撞后（）： 两物块一起运动，总位移 时间，共同速度 水平面光滑，碰撞过程系统动量守恒 代入 解得，碰撞前的动量 的质量为 故A错误，B正确； C．计算碰撞前后总动能，碰撞前总动能 碰撞后总动能，则 故C正确； D．根据动量定理，对的冲量等于的动量变化 故D错误。故选BC。 13．（25-26高二下·云南楚雄·期末）如图甲所示，一处于原长的轻弹簧两端分别与质量为和的两物块、相连接，并静止在光滑的水平面上。现使瞬时获得水平向右的速度，大小为，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得（     ） A．在、时刻两物块达到共同速度，且弹簧都处于伸长状态 B．从到时刻弹簧由压缩状态恢复到原长 C．两物块的质量之比为 D．在时刻与的动能之比为 【答案】BD 【详解】C．由题意可知，两物块组成的系统动量守恒，由图乙，根据图线的斜率表示加速度可知，在时刻，两物块的加速度均为零，即两物块均不受弹簧弹力的作用，弹簧处于原长状态，根据动量守恒可得 根据动能守恒可得 其中，由图乙可知 解得，，故C错误； AB．在、时刻两物块速度相同，根据动量守恒可得 联立，解得两物块共速时的速度为 由物块A的图像可知，时刻正在加速，说明弹簧被拉伸；时刻正在减速，说明弹簧被压缩；时刻A的加速度为零，说明弹簧处于原长，故A错误，B正确； D．在时刻与的动能分别为， 则，故D正确。 故选BD。 三、解答题 14．（25-26高二下·广东汕头·期末）如图所示，一根轻绳竖直悬挂质量为m的小木块，木块处于静止状态。一颗质量也为m的子弹以速度v0水平向右射入木块，并立即留在其中。子弹入射木块过程的时间极短，忽略木块的微小偏离。已知重力加速度为g，轻绳长度为，木块摆动过程中未发生旋转，不计木块大小和空气阻力。求： (1)子弹入射木块后瞬间，木块的速度大小； (2)子弹入射木块后瞬间，木块对轻绳的拉力大小； (3)子弹入射木块后的运动过程中，求轻绳偏离竖直方向的最大角度θ及在最大偏角处木块和子弹的加速度。 【答案】(1) (2) (3)，加速度，方向与水平成，斜向左下方 【详解】（1）子弹开始接触木块至二者共速的过程中，子弹与木块动量守恒 解得 （2）子弹和木块刚共速瞬间，对子弹和木块整体，根据牛顿第二定律可得 解得 由牛顿第三定律，得绳子所受拉力 （3）子弹射入木块后，木块偏离初始位置的最大角度为 根据机械能守恒有 解得最大偏角 在最大偏角处，整体速度为0，向心力为0，沿绳子方向合力为0，有 解得加速度大小为 方向与水平成斜向左下方 15．（25-26高二下·天津红桥·期末）如图所示，竖直平面内半径为的四分之一光滑圆弧轨道下端与水平地面相切。质量均为的小滑块和分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将无初速度释放，与碰撞后结合为一个整体沿地面滑动。重力加速度为。求： (1)A碰B前瞬间对轨道的压力； (2)A与B碰撞过程中损失的机械能及碰撞过程中A对B的冲量。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2)；，方向水平向右 【详解】（1）A从四分之一圆弧最高点滑到最低点，下降高度为R，轨道光滑，机械能守恒 得到 在最低点，向心力由支持力与重力的合力提供 解得轨道对A的支持力，由牛顿第三定律，A对轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （2）碰撞后二者结合为一个整体，质量变为 2m。碰撞瞬间AB系统水平方向不受力，水平方向动量守恒 解得。碰撞前机械能 碰撞后机械能 所以损失的机械能 碰撞过程中B的速度由0变为v，对B由动量定理，A对B的冲量 方向与B碰后运动方向相同，即水平向右。 16．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）如图所示，固定的光滑水平平台上静止着两个滑块和，它们的质量分别为、，两滑块间夹有少量炸药，平台右侧有一带挡板的小车，小车静止在光滑的水平地面上。小车的质量，小车的上表面与平台的台面等高，小车上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在点，小车上表面的左端点与点之间是粗糙的，、的间距，滑块与之间表面的动摩擦因数，点右侧表面是光滑的。点燃炸药后，、分离瞬间两滑块获得的总动能为，之后滑块滑上小车。两滑块都可以看成质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，爆炸后两个物块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度。 (1)求炸药爆炸后滑块获得的速度； (2)求在滑块滑上小车后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)滑块运动到何处小车的速度最大？并求出小车运动过程中的最大速度。 【答案】(1) (2) (3)滑块B压缩弹簧后返回到Q点时小车的速度最大，小车的最大速度为2m/s 【详解】（1）由于爆炸的时间极短，则滑块和组成的系统动量守恒，设炸药爆炸后滑块获得的速度大小为，滑块获得的速度大小为，则有 又因为点燃炸药后，、分离瞬间两滑块获得的总动能为 代入数据联立解得 （2）当弹簧压缩到最短时弹簧的弹性势能最大，由于滑块B与小车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，则由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 代入数据联立解得弹簧的最大弹性势能为 （3）当弹簧恢复到原长时，即滑块B压缩弹簧后返回到Q点时小车的速度最大，设此时滑块B的速度为，小车的速度为，以向右为正方向，则由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 代入数据联立解得，或， 由于当，时，滑块B的速度大于小车的速度，不符合实际，应舍去，所以小车运动过程中的最大速度为。 17．（25-26高二下·河南郑州·期末）质量均为的木块A和B，并排放在光滑的水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一长为的细线，细线另一端系一质量为的球C。现将C球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球。重力加速度。 (1)若A固定在水平面上，求C球下落到最低点时对细线的拉力大小 (2)若A可以自由滑动，求C球由静止释放下落到最低点时木块A的位移大小 (3)若A可以自由滑动，求C球在竖直轻杆左侧上升的最大高度 【答案】(1)3N (2)0.1m (3)0.225m 【详解】（1）由机械能守恒，小球在最低点时对小球由牛顿第二定律，解得 由牛顿第三定律可得：C对细线拉力 （2）当小球C到达最低点时，设C水平向左的位移大小为，AB水平向右的位移大小为 则由水平方向动量守恒定律可知，由位移关系可知 解得 （3）当小球C到达最低点时A、B两木块恰好分离，设C的速度为，AB的速度为 则由水平方向动量守恒定律可知 由能量关系可知 解得， 球C从最低点摆到左侧最高点过程 能量关系可知 解得 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $