周周练7 函数的概念及其表示(范围：3.1)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数概念及表示，通过基础与综合题型结合，系统覆盖定义域、值域、分段函数等核心考点，强化概念理解与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念与求值|单选1,5|分段函数嵌套求值|函数定义→分段求值→复合运算| |定义域与值域|单选2,3,4,填空9|定义域判断、定义域值域一致性|集合对应→定义域限制→值域求解| |分段函数与表示|单选6,多选7,填空10,解答12|解析式求解、图象转换|分段定义→图象直观→解析式确定| |实际应用|解答13|收费模型构建|函数建模→分段表示→优化选择|

周周练7　函数的概念及其表示(范围：3.1) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设函数f(x)＝则f(f(1))＝(　　) A．－4 B．－2 C．0 D．2 解析：选B.因为f(x)＝ 所以f(1)＝12－3×1＝－2， 所以f(f(1))＝f(－2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝f(0＋2)＝f(2)＝4－6＝－2. 2．已知函数y＝|x－2|是从集合A到集合B上的函数，若B＝{0，1}，则集合A不可能是(　　) A．{1，2} B．{－1，2} C．{2，3} D．{1，2，3} 解析：选B.当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝0，当x＝3时，y＝1，当x＝－1时，y＝3，此时y不在集合B内，因此集合A不可能是{－1，2}． 3．下列函数的定义域与值域相同的是(　　) A．y＝2 B．y＝ C．y＝x2－6x＋7 D．y＝x2－1 解析：选B.对于A，由x＋1≥0，得y＝2的定义域为[－1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，A错误；对于B，要使函数有意义，则x>0，所以函数的定义域为(0，＋∞)，因为x>0，故>0，所以>0，所以函数的值域为(0，＋∞)，B正确；对于C，y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2的定义域为R，值域为[－2，＋∞)，C错误；对于D，y＝x2－1的定义域为R，值域为[－1，＋∞)，D错误． 4．已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为(　　) A．[－，] B．(－∞，] C．[1，] D．[－，1] 解析：选D.可知f(x)＝的定义域为(－∞，2]， 则为使g(x)＝f(2x)＋f(x2)有意义，只需解得－≤x≤1，则函数g(x)的定义域是[－，1]. 5．已知函数f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f(－2a)＝(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．－4 解析：选B.作出函数f(x)＝ 的大致图象，如图， 由f(a)＝f(a＋1)， 得|a－1|＝|a＋1－1|， 即1－a＝a，解得a＝， 则f(－2a)＝f(－2×)＝f(－1)＝－2. 6．已知函数f(x)＝若f(1－x)＝2，则x的取值范围是(　　) A．∅ B．[0，2] C．[－2，0] D．{－1}∪[0，2] 解析：选D.当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，所以0≤x≤2. 当1－x<－1或1－x>1，即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，解得x＝－1，满足条件． 综上，有0≤x≤2或x＝－1.故选D. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．若函数f(1－2x)＝(x≠0)，则(　　) A．f()＝15 B．f(2)＝－ C．f(x)＝－1(x≠0) D．f()＝－1(x≠0且x≠1) 解析：选AD.令1－2x＝t(t≠1)，则x＝，所以f(t)＝＝－1， 则f(x)＝－1(x≠1)，故C错误； f()＝15，故A正确；f(2)＝3，故B错误；f()＝－1＝－1(x≠0且x≠1)，故D正确． 8．函数D(x)＝称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是(　　) A．D(D(2))＝D(D()) B．D(x)的值域为{0，1} C．D(x)≠D(－x) D．对任意实数x，都有D(x＋1)＝D(x) 解析：选ABD.对于A，根据狄利克雷函数定义可知D(D(2))＝D(1)＝1， D(D())＝D(0)＝1，所以A正确； 对于B，函数D(x)的函数值只有两个，为0和1，故值域为{0，1}，所以B正确； 对于C，若x∈Q，则－x∈Q，则D(x)＝D(－x)＝1，若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，则D(x)＝D(－x)＝0，综上可得D(x)＝D(－x)，所以C错误；对于D，当x∈Q时，x＋1∈Q，此时D(x＋1)＝D(x)＝1； 当x∈∁RQ时，x＋1∈∁RQ，此时D(x＋1)＝D(x)＝0，所以D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．函数f(x)＝的定义域为________． 解析：由题意可知解得0<x<3且x≠1，所以定义域为(0，1)∪(1，3). 答案：(0，1)∪(1，3) 10．已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为________． 解析：当0≤x≤1时，f(x)＝－1；当1<x≤2时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则解得此时f(x)＝x－2.综上，f(x)＝ 答案：f(x)＝ 11．已知函数f(x)＝在[0，a]上的值域为[0，1]，则实数a的取值范围是________． 解析：画出f(x)＝的图象，如图： 由x2－2x＝1，解得x＝1－(舍去)或x＝1＋， 所以要使函数f(x)＝在[0，a]上的值域为[0，1]，则实数a的取值范围是[1，1＋]. 答案：[1，1＋] 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x2，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x))＝4x2－20x＋25，求g(x)的解析式． 解：由g(x)为一次函数且一次项系数大于零，可设g(x)＝ax＋b(a>0)，因为f(g(x))＝4x2－20x＋25，所以(ax＋b)2＝a2x2＋2abx＋b2＝4x2－20x＋25，从而a2＝4，2ab＝－20，b2＝25，解得a＝2，b＝－5，故g(x)＝2x－5(x∈R). 13．(本小题满分15分)某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲俱乐部每小时5元，乙俱乐部按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某公司准备下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．设在甲俱乐部开展活动x(15≤x≤40)小时的收费为f(x)元，在乙俱乐部开展活动x小时的收费为g(x)元． (1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式；(7分) (2)选择哪家比较合算？请说明理由．(8分) 解：(1)由题意可知f(x)＝5x，15≤x≤40， g(x)＝ (2)由5x＝90，解得x＝18，即当15≤x<18时，f(x)<g(x)；当x＝18时，f(x)＝g(x)；当18<x≤40时，f(x)>g(x).所以当15≤x<18时，选甲俱乐部比较合算； 当x＝18时，两家一样合算； 当18<x≤40时，选乙俱乐部比较合算． 14．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝x－[x]，x∈[－1，2)，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[－3.05]＝－4，[2.1]＝2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式；(6分) (2)请在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象；(5分) (3)根据图象写出函数f(x)的值域．(4分) 解：(1)当－1≤x<0时，[x]＝－1， 所以f(x)＝x＋1； 当0≤x＜1时，[x]＝0， 所以f(x)＝x； 当1≤x＜2时，[x]＝1， 所以f(x)＝x－1. 综上， f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由图象，得函数f(x)的值域为[0，1). 学科网（北京）股份有限公司 $