3.1.2 第2课时 分段函数课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦分段函数核心知识，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义域、分段函数求值|直接应用概念，如第1题定义域求解，夯实数学抽象基础| |进阶层|值域、图像识别|结合图像分析，如第9题由图像写解析式，发展几何直观| |提升层|实际应用、新定义运算|联系生活情境（如第4题茶水温度）与创新题型（如第11题定义运算），强化数学建模与逻辑推理|

1．函数f(x)＝的定义域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 解析：选C．[0，1]∪(1，2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞). 2．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝－2，则实数a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．因为f(x)＝所以f(0)＝03＋1＝1，所以f(f(0))＝f(1)＝1－a＝－2，解得a＝3. 3．函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0，＋∞) C．[0，3] D．[0，2]∪{3} 解析：选D．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2∈[0，2]，所以函数f(x)的值域为[0，2]∪{2，3}＝[0，2]∪{3}． 4．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y(单位：℃)和泡茶时间t(单位：min)满足关系式y＝若喝茶的最佳口感水温大约是60 ℃，则需要等待的时间为(　　) A．1.5 min B．2 min C．3 min D．4 min 解析：选D．令60＝－10t＋100，解得t＝4，符合题意； 令＝60，解得t＝<5，不符合题意， 所以需要等待的时间为4 min. 5．已知函数f(x)＝则y＝f(x)图象与x轴交点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B．当x≥1时，由f(x)＝0，得＝0，显然无实数解； 当x<1时，由f(x)＝0，得－x2＋2＝0，解得x＝－或x＝(舍去). 综上所述，y＝f(x)图象与x轴的交点有1个． 6．(多选)(2026·山西期中)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(f(－1))＝1 B．若f(x)＝3，则x的值是 C．f(x)<1的解集为(－∞，1) D．f(x)的值域为(－∞，4) 解析：选ABD．对于A，因为f(x)＝所以f(－1)＝－1＋2＝1， 所以f(f(－1))＝f(1)＝12＝1，故A正确； 对于B，若f(x)＝3，则当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝3，解得x＝1(舍去)； 当－1<x<2时，f(x)＝x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝， 所以f(x)＝3的解为x＝，故B正确； 对于C，当x≤－1时，f(x)＝x＋2<1，解得x<－1； 当－1<x<2时，f(x)＝x2<1，解得－1<x<1. 所以f(x)<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故C错误； 对于D，当x≤－1时，f(x)＝x＋2≤－1＋2＝1； 当－1<x<2时，f(x)＝x2∈[0，4). 所以f(x)的值域为(－∞，4)，故D正确． 7．已知函数f(x)＝若f(x0)＝5，则x0＝________． 解析：若x0≤0，可得x＋1＝5，解得x0＝－2或x0＝2(舍去)；若x0>0，可得－2x0＝5，解得x0＝－，与x0>0矛盾，故舍去．综上可得x0＝－2. 答案：－2 8．设函数f(x)＝若f(m)＞m，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得或 解得m＜－1. 答案：(－∞，－1) 9．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为___________________________________． 解析：由题图可知，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x， 所以f(x)＝ 答案：f(x)＝ 10．(13分)已知函数f(x)＝2＋(－2<x≤3). (1)用分段函数的形式表示该函数，并画出该函数的图象；(8分) (2)根据图象写出该函数的值域(不需要写解答过程).(5分) 解：(1)当2≤x≤3时，f(x)＝2＋＝1； 当－2<x<2时，f(x)＝2＋＝3－x. 所以f(x)＝函数f(x)的图象如图所示． (2)f(x)的值域为[1，5). 11．定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝(x2－3x)⊕4的部分图象大致是(　　) 解析：选B． f(x)＝(x2－3x)⊕4＝ 其图象如图所示，故选B． 12．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是(　　) A．{x|x≤1} B．{x|x≤2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|x<0} 解析：选A．因为当x≥0时， f(x)＝1，所以xf(x)＋x≤2，等价于x≤1，所以0≤x≤1；因为当x＜0时，f(x)＝0，所以xf(x)＋x≤2，等价于 x≤2，所以x<0.综上，原不等式的解集是{x|x≤1}． 13．(15分)如图，已知等腰直角三角形纸片ABC的腰长为3，正方形纸片CDEF的边长为1，其中B，C，D三点在同一条直线上．把正方形纸片向左平移x个单位长度，0<x≤3.设两张纸片重叠部分的面积为S(x). (1)求S(x)的函数解析式；(7分) (2)作出函数S(x)的图象，并根据图象写出函数S(x)的值域；(4分) (3)若S(a)＝，求实数a的值．(4分) 解：(1)如图，延长EF交AB于点G，则FG＝2. 当0<x≤1时，S(x)＝x； 当1<x≤2时，S(x)＝1； 当2<x≤3时，S(x)＝1－(x－2)2＝－x2＋2x－1. 综上，S(x)＝ (2)作出S(x)的图象，如图所示． 由图象可知此函数的值域为(0，1]. (3)在(0，1]上，由S(a)＝a＝，知a＝. 在(2，3]上，由S(a)＝－＋2a－1＝，整理得4a2－16a＋15＝(2a－3)(2a－5)＝0，解得a＝(舍去)或a＝. 综上，a＝或a＝. 14．(15分)(2026·东莞期中)已知函数f(x)的解析式为f(x)＝ (1)画出这个函数的图象；(6分) (2)解不等式f(x)<2.(9分) 解：(1)根据分段函数f(x)＝ 画出函数的图象如图所示． (2)当x≤－1时，x＋2≤1，此时f(x)<2恒成立； 当－1<x≤2时，x2<2⇒－<x<，所以－1<x<； 当x>2时，－x＋6<2⇒x>4，所以x>4. 综上可知，x<或x>4， 所以不等式的解集为{x|x<或x>4}． 15．设区间A＝，B＝，函数f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是(　　) A．(，) B． C． D．(，) 解析：选A．因为0≤x0<，所以≤x0＋<1， 因为B＝，所以f(x0)＝x0＋∈B， 所以f(f(x0))＝3(1－f(x0))＝3＝3(－x0). 因为f(f(x0))∈A，所以0≤3(－x0)<，所以<x0≤. 又0≤x0<，所以<x0<. 学科网（北京）股份有限公司 $