3.1.2 第1课时 函数的表示法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦函数的表示法核心知识点，系统讲解解析法、列表法、图象法三种表示形式，以及函数图象绘制和解析式求法（换元法、配凑法、待定系数法、方程组法），承接函数概念，为后续函数性质学习搭建基础。 资料以存款利率、铅笔费用等生活实例导入，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过“感悟提升”总结方法要点，结合例题与变式练习，助力学生用数学思维推理运算，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

3．1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 课标要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数． 2．理解函数图象的作用．　3.会求一些简单函数的解析式． 给出下列三个对应关系： (1)x，y∈R，y＝4x－1； (2)存款利率y与存期x的对应关系： 存期x/月 3 6 12 24 36 利率y 0.011 0.013 0.015 0.021 0.027 5 (3)李明购买2B铅笔费用y与铅笔支数x的关系如图所示． 思考1　结合初中所学知识，左列“新课导入”中的三个对应关系分别是用什么形式表达两个变量x，y之间的对应关系的？它们是否都是函数关系？ 提示：分别用解析式、列表、图象的形式表示对应关系，都是函数关系． 思考2　是否任意的函数关系都可以用解析法表示？ 提示：不是． 知识点一　函数的表示法 　(对接教材例4)某次考试数学卷共有8道单选题，选对得5分，选错得0分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一名考生的得分y与答对题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8})之间的函数关系． 【解】　(1)列表法：列出考生的得分y与答对题目道数x(x∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8})之间的函数关系如表所示． x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0 5 10 15 20 25 30 35 40 (2)图象法：该函数关系用图象法表示，如图所示． (3)解析法：该函数关系用解析法表示为y＝5x(x∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8}). 【感悟提升】　理解函数表示法的三个要点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是用哪种方法表示函数，都必须满足函数的概念． (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以同时用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 　已知函数y＝f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x).　 解：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示， 用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示． x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 知识点二　函数的图象 　作出下列函数图象： (1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)； (2)y＝x2－2x，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞). 【解】　(1)由于x∈Z且|x|≤2，则x∈{－2，－1，0，1，2}， 所以函数y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)的图象为直线y＝1－x上的5个孤立点，如图1所示． (2)函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)的图象是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余的曲线，如图2中实线所示． 【感悟提升】　描点法作函数图象的三个注意点 (1)在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点和与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点． 　作出下列函数的图象： (1)y＝2x＋1，x∈[0，2]； (2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0). 解：(1)当x∈[0，2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，如图1所示． (2)函数y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的图象，如图2所示． 应用点　求函数的解析式 　求下列函数的解析式． (1)若f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式． 【解】　(1)方法一(换元法)：设t＝＋1，x≥0， 则x＝(t－1)2，t≥1. 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， 所以f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二(配凑法)：因为x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1). (2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝ax＋5a＋b＝2x＋17， 所以解得 故f(x)＝2x＋7. (3)因为f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，所以将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，联立两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，所以f(x)＝x2－2x. 【感悟提升】　求函数解析式的四种常用方法 　根据下列条件，求函数f(x)的解析式． (1)f(2x＋1)＝6x＋5； (2)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数； (3)3f(x)＋5f＝＋1. 解：(1)方法一：设2x＋1＝t，则x＝，所以f(t)＝6·＋5＝3t＋2，所以所求函数解析式为f(x)＝3x＋2. 方法二：f(2x＋1)＝6x＋5＝3(2x＋1)＋2，所以所求函数解析式为f(x)＝3x＋2. (2)由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1，由恒等式性质得解得或所以所求函数解析式为f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋. (3)因为3f(x)＋5f＝＋1　①，所以3f＋5f(x)＝2x＋1　②，①×3－②×5，得－16f(x)＝－10x－2，所以f(x)＝－＋x＋. 1．由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))＝(　　) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A．1 B．2 C．4 D．5 解析：选B．由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，所以f(f(1))＝f(4)＝2. 2．已知f＝，那么f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝(x≠0且x≠－1) B．f(x)＝(x≠0) C．f(x)＝(x≠0且x≠－1) D．f(x)＝1＋x(x≠－1) 解析：选A．令＝t，则x＝，t≠0，所以f(t)＝＝＝(t≠0且t≠－1)，即f(x)＝(x≠0且x≠－1). 3．(教材P72T1改编)甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 解析：选D．由题图知，甲、乙同时出发；甲、乙跑的路程一样，故A，B错误； 甲跑完全程所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点，则甲的速度比乙的速度快，故C错误，D正确． 4．(教材P69T3(1)改编)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝－2x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R的图象． 解：在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图所示． 　 1．已学习：函数的三种表示法、函数解析式的求法． 2．须贯通：用待定系数法求函数解析式需用方程求参数．函数的三种表示法各有优缺点，解决问题时可以选择最合适的方法，实际操作过程中多以解析法为主． 3．应注意：(1)求函数解析式时容易忽视定义域； (2)图象法没有弄清楚函数图象是“点”还是“线”． 学科网（北京）股份有限公司 $