3.1.1 第2课时 函数的概念(二)课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以“概念辨析-性质应用-创新探究”分层设计，覆盖函数定义域、值域等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、综合应用三阶递进，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|区间与集合互化、一次函数定义域值域|单选为主，聚焦概念辨析，如区间表示正误判断，强化抽象能力| |能力提升|函数性质综合、定义域值域交汇|多选与中档解答题，如“交汇函数”判断，发展推理能力| |综合应用|新定义运算、探究性问题|含创新题型如符号*运算，结合分类讨论，培养创新意识|

1．下列叙述正确的是(　　) A．{x|x>1}用区间可表示为[1，＋∞) B．{x|－3<x≤2}用区间可表示为(－3，2) C．(－∞，3]用集合可表示为{x|x<3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4} 解析：选D．对于A，{x|x>1}用区间可表示为(1，＋∞)，A错误；对于B，{x|－3<x≤2}用区间可表示为(－3，2]，B错误；对于C，(－∞，3]用集合可表示为{x|x≤3}，C错误；对于D，[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，D正确． 2．若函数f(x)＝5x＋4的值域是[9，＋∞)，则函数f(x)的定义域为(　　) A．R B．[9，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，1) 解析：选C．因为函数f(x)的值域为[9，＋∞)，所以5x＋4≥9，解得x≥1. 即函数f(x)的定义域为[1，＋∞). 3．函数y＝2－，x∈[0，4]的值域为(　　) A．[－2，2] B．[1，2] C．[0，2] D．[－，] 解析：选C．由x∈[0，4]，得＝∈[0，2]，所以y＝2－∈[0，2]. 4．已知函数f(x)的定义域为(1，3)，则f的定义域为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．函数f(x)的定义域为(1，3)，在f中，由1＜＜3，得＜x＜1，所以f的定义域为. 5．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．y＝2x＋1与y＝ B．y＝与y＝x0 C．y＝与y＝ D．y＝2x2＋x＋1与y＝2t2＋t＋1 解析：选CD．因为y＝＝＝|2x＋1|，所以A中的对应关系不同；B中的对应关系不同；C，D符合题意． 6．(多选)下列函数中，值域为[0，4]的是(　　) A．f(x)＝x－1，x∈[1，5] B．f(x)＝－3x2＋4 C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋－2(x>0) 解析：选AC．对于A，当x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，所以函数f(x)＝x－1，x∈[1，5]的值域是[0，4]，故A正确；对于B，因为－x2≤0，所以－3x2＋4≤4，所以函数f(x)＝－3x2＋4的值域是(－∞，4]，故B错误；对于C，因为－|x|≤0，所以16－|x|≤16，又16－|x|≥0，所以0≤≤4，即函数f(x)＝的值域为[0，4]，故C正确；对于D，因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以x＋－2≥0，故函数f(x)＝x＋－2(x>0)的值域为[0，＋∞)，故D错误． 7．请写出一个定义域和值域都为[0，1]的函数(要注明定义域)________________． 解析：y＝x，x∈[0，1]或y＝x2，x∈[0，1](答案不唯一). 答案：y＝x，x∈[0，1](或y＝x2，x∈[0，1]，答案不唯一) 8．若区间[a＋1，2a－1]满足[a＋1，2a－1]⊆[－2，5]，则实数a的取值范围为________． 解析：根据题意可知解得2<a≤3，即实数a的取值范围为(2，3]. 答案：(2，3] 9．若函数y＝(x≠－2)的值域为{y|y≠2}，则实数a的值为________． 解析：由题得y＝＝ ＝a＋， 因为该函数的值域为{y|y≠2}，所以a＝2. 答案：2 10．(13分)求下列函数的值域： (1)y＝|2x－1|，x∈{0，1，2，3}；(4分) (2)y＝＋1；(4分) (3)y＝x2－4x，x∈[1，4].(5分) 解：(1)因为y＝|2x－1|，x∈{0，1，2，3}， 所以函数的值域为{1，3，5}． (2)因为y＝＋1＝＋1＝2－，且≠0， 所以函数的值域为{y|y≠2}． (3)配方，得y＝(x－2)2－4. 因为x∈[1，4]，结合图象(图略)知函数的值域为[－4，0]. 11．(多选)已知集合A＝，B＝{y|y＝x2＋1}，则(　　) A．A∪B＝R B．A∩B＝[1，2) C．A∩B＝∅ D．(∁RB)∪A＝(－∞，2) 解析：选ABD．要使函数y＝有意义， 则2－x＞0，解得x＜2， 所以A＝{x|x＜2}，即A＝(－∞，2)， 因为y＝x2＋1≥1， 所以B＝{y|y≥1}， 即B＝[1，＋∞)， 所以A∪B＝(－∞，2)∪[1，＋∞)＝R， A∩B＝(－∞，2)∩[1，＋∞)＝[1，2)， (∁RB)∪A＝(－∞，1)∪(－∞，2)＝(－∞，2)，故A，B，D正确，C错误． 12．(多选)若某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”．下列函数是“[0，1]交汇函数”的是(　　) A．y＝ B．y＝2－x C．y＝ D．y＝ 解析：选ABD．由“[a，b]交汇函数”的定义可知“[0，1]交汇函数”表示函数的定义域与其值域的交集为[0，1].对于A，y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，1]，A正确；对于B，y＝2－x的定义域A＝[0，＋∞)，令t＝≥0，则y＝2t－t2＝－(t－1)2＋1≤1，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝[0，1]，B正确；对于C，y＝＝，因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1≥1，所以0<≤1，定义域A＝R，值域B＝(0，1]，则A∩B＝(0，1]，C错误；对于D，y＝的定义域A＝[－1，1]，值域B＝[0，1]，则A∩B＝[0，1]，D正确． 13．(13分)已知函数f(x)＝. (1)当a＝0时，求f(x)的值域；(5分) (2)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)当a＝0时，f(x)＝＝≥， 所以f(x)的值域为. (2)当a＝1时，f(x)＝，定义域为R，符合题意； 当a＝－1时，f(x)＝，定义域不为R，不符合题意； 当1－a2≠0时，由题意，(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0在R上恒成立， 则 解得－≤a＜1， 综上所述，实数a的取值范围为. 14．(13分)已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解：存在．理由如下： f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1，则f(x)图象的对称轴为直线x＝1，顶点(1，1)且开口向上． 因为m>1，所以当x∈[1，m]时，f(x)随x的增大而增大， 所以要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]， 则有所以m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，所以m＝3或m＝1(舍去)， 所以存在实数m＝3满足条件． 15．规定符号*表示一种运算，即a*b＝＋a＋b(a，b为正实数)且1*k＝3，则函数y＝k*x的值域为________． 解析：由已知得，1*k＝＋1＋k＝3， 解得＝1或＝－2(舍去)， 所以k＝1. y＝k*x＝1*x＝＋1＋x＝＋(x>0)， 令t＝(t>0)，则y＝＋(t>0)，结合函数的图象(图略)， 可得y>＋＝1， 所以函数y＝k*x的值域为(1，＋∞). 答案：(1，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $