3.1.1 第2课时 函数的概念(二)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦函数概念（二），核心知识点为区间的表示、同一个函数的判断及函数的值域。以列车速度范围问题引入区间，衔接不等式与集合表示，通过定义域和对应关系判断同一函数，结合观察法等方法求值域，构建完整学习支架。 资料特色在于从现实情境（京津城际列车）引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过对比不同数集表示方法，发展数学思维中的推理能力，例题解析规范数学语言表达。课中辅助教师教学，课后练习助学生查漏补缺，提升学习效果。

第2课时　函数的概念(二) 课标要求　1.会判断两个函数是否为同一个函数．　2.能正确使用区间表示数集．　3.会求一些简单函数的定义域和值域． 运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200公里/时到350公里/时之间． 思考1　如何表示列车运行速度v的范围？ 提示：用不等式可表示为200≤v≤350，用集合可表示为{v|200≤v≤350}． 思考2　还可以用其他形式表示列车运行速度的范围吗？ 提示：还可以用区间表示为[200，350]. 知识点一　区间的概念 1．一般区间的表示 设a，b是两个实数，且a<b，规定如下： 集合 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示 集合 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} 区间 (－∞， ＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数集都能用区间表示．(　　) (2)区间(0，1)＝{x|0<x<1}．(　　) (3)＋∞是最大的数，－∞是最小的数．(　　) (4)区间(211，985)是有限集．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．用区间表示下列数集： (1){x|x≥1}＝________； (2){x|2<x≤3}＝________； (3){x|x>－1且x≠2}＝________； (4){x|x≤－1}∩{x|－5≤x<2}＝________． 答案：(1)[1，＋∞)　(2)(2，3]　(3)(－1，2)∪(2，＋∞)　(4)[－5，－1] 3．若[a，3a－1]为一确定区间，则实数a的取值范围是________． 解析：因为[a，3a－1]为一确定区间， 所以a<3a－1，解得a>， 所以实数a的取值范围是(，＋∞). 答案：(，＋∞) 【感悟提升】　用区间表示数集时的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 知识点二　同一个函数 前提条件 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 　(对接教材例3)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1 B．f(x)＝|x|，g(x)＝()2 C．f(x)＝x，g(x)＝ D．f(x)＝2x，g(x)＝ 【解析】　对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，故f(x)与g(x)不是同一个函数．对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，故f(x)与g(x)不是同一个函数．对于C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，且g(x)＝x＝f(x)，故f(x)与g(x)是同一个函数．对于D，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，g(x)＝2|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一个函数． 【答案】　C 【感悟提升】　判断两个函数是否为同一个函数的三个步骤 注意　(1)在化简解析式时，必须是等价变形； (2)与用哪个字母表示无关． 　(多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝·，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝x＋3 D．汽车匀速运动时，路程与时间t的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5) 解析：选BD．对于A，f(x)＝，g(x)＝，对应关系不同，不是同一个函数；对于B，定义域、对应关系都相同，是同一个函数；对于C，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3，对应关系不同，不是同一个函数；对于D，定义域、对应关系都相同，是同一个函数． 知识点三　函数的值域 　求下列函数的值域； (1)y＝－1； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5]； (3)y＝； (4)y＝2x－. 【解】　(1)因为≥0， 所以－1≥－1， 所以y＝－1的值域为[－1，＋∞). (2)配方得y＝(x－2)2＋2. 因为x∈[1，5]， 所以2≤y≤11，即函数的值域为[2，11]. (3)y＝＝ ＝2＋， 因为≠0，故y≠2， 所以函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). (4)设t＝，x≥1， 则x＝t2＋1，t≥0， 所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，t≥0，结合函数的图象，可得函数的值域为. 【感悟提升】　求函数值域的常用方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域． (3)分离常数法：此方法主要针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且a≠0，c≠0)型的函数常用换元法． 　1.下列函数中，值域是(0，＋∞)的是(　　) A．y＝2x＋1(x>0)　　　 B．y＝x2 C．y＝ D．y＝ 解析：选C．对于A，函数y＝2x＋1在(0，＋∞)上的值域为(1，＋∞)，A不符合题意； 对于B，二次函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，B不符合题意； 对于C，函数y＝的值域为(0，＋∞)，C符合题意； 对于D，函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，D不符合题意． 2．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则正整数a的值可能是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选BC．函数y＝x2－4x－4的图象如图所示．函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，结合a是正整数，知B，C正确． 1．集合{x|－1＜x≤5}用区间可表示为(　　) A．(－1，5) B．[－1，5] C．(－1，5] D．[－1，5) 解析：选C．集合{x|－1＜x≤5}用区间可表示为(－1，5]. 2．(教材P72习题3.1T2改编)下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝2x，g(x)＝ C．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 D．f(x)＝x，g(x)＝ 解析：选C．对于A，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为[0，＋∞)，定义域不同，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数；对于C，两函数的定义域、对应关系、值域都分别相同，是同一个函数；对于D，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一个函数． 3．(教材P72T3改编)求下列函数的值域． (1)y＝2x－1(x∈N*)； (2)y＝； (3)y＝(x≥0). 解：(1)值域为{1，3，5，7，…}． (2)因为2＋x2≥2，所以0<≤，即值域为. (3)当x＝0时，y＝0；当x>0时，y＝>0，因为x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时取等号)，所以y＝≤＝1，所以函数的值域为[0，1]. 　 1．已学习：区间的表示、同一个函数的概念、函数的值域． 2．须贯通：求函数值域常用的方法：观察法、配方法、换元法等． 3．应注意：(1)区间的本质是数集，区分端点处的开闭． (2)求函数值域时忽略函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司 $