3.1.1 第1课时 函数的概念(一)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数的概念及其表示核心知识点，从初中变量依赖关系过渡到用集合语言刻画函数，系统梳理函数三要素（对应关系、定义域、值域），并涵盖求函数值、定义域及构建问题情境等内容，搭建完整学习支架。 资料以生活实例（如气温变化、小树长高）引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过判断对应关系是否为函数、求定义域等问题链设计，发展数学思维中的推理与运算能力。构建矩形面积、周长函数关系的情境应用，强化用数学语言表达现实世界的能力。课中例题解析与感悟提升助力教师教学，课后练习题及改编题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一) 课标要求　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．　2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和函数值．　3.能构造解析式描述问题情境中变量的关系． 事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化． 早晨，太阳从东方冉冉升起； 气温随时间在悄悄地改变； 小树随着时间的变化不断长高； …… 在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化． 思考1　举例说明怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？ 提示：可以通过作出图象用时间t来刻画气温的变化． 思考2　这样的模型具有怎样的特征？ 提示：气温随着时间t的变化而变化，且任一时刻t都有唯一确定的气温和它对应． 知识点一　函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A 三 要 素 对应关系 f 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 提醒　(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应；(2)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的表示方法． 　(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 (2)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 【解析】　(1)对于A，因为(－1)2＝1∈B， 12＝1∈B，02＝0∈B， 所以集合A中的任意元素都在集合B中对应着唯一的函数值，所以A正确； 对于B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件，所以B错误； 对于C，集合A中的元素0取倒数没有意义，所以C错误； 对于D，因为任意实数的绝对值都是非负的，且是唯一的，所以集合A中的任意元素都在集合B中对应着唯一的函数值，所以D正确． (2)由题知选项A中图象定义域不满足条件；选项B中图象不满足函数的定义域和值域；选项C中图象满足题目要求；选项D中图象，不是函数的图象． 【答案】　(1)AD　(2)C 【感悟提升】　判断一个对应关系是否为函数的方法 (1)图象法：作一条垂直于x轴的直线，在定义域范围内任意平移直线，若与图象有且只有一个交点则是函数，否则不是函数． (2)对应法：非空实数集A与B是一对一或多对一的关系，且A中不能有剩余元素，B中可以有． 　(多选)给出下列四个对应，其中构成函数的是(　　) 解析：选AD．对于A，每一个自变量都有唯一的数与之对应，可以构成函数，A正确；对于B，自变量3没有对应的数，不能构成函数，B错误；对于C，自变量2同时对应了两个数，不能构成函数，C错误；对于D，每一个自变量都有唯一的数与之对应，可以构成函数，D正确． 知识点二　求函数值 　(对接教材例2)(1)已知函数f(x)＝，则f(－3)＝________，当f(x)＝1时，x＝________． (2)已知函数f(x)由下表给出，则f的值为________． x x≤1 1<x<2 x≥2 f(x) 1 2 3 【解析】　(1)f(－3)＝＝－＝－. 令f(x)＝＝1，得4x－3＝x2＋1，整理得(x－2)2＝0，所以x＝2. (2)因为∈{x|x≤1}，所以f＝1， 则10f＝10， 所以f＝f(10). 又因为10∈{x|x≥2}，所以f(10)＝3. 因此f＝3. 【答案】　(1)－　2　(2)3 【感悟提升】　函数的求值方法 (1)已知f(x)的解析式，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值． (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 提醒　用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 　1.(2026·湖北期中)已知函数f(x)＝3x2－1，g(x)＝，则f(g(1))＝(　　) A．2 B． C．－ D． 解析：选C．g(1)＝，f(g(1))＝f＝3×－1＝－. 2．已知函数f(x)＝，当f(x)＝2时，x＝________． 解析：由题得＝2， 解得x＝. 答案： 知识点三　求具体函数的定义域 　求下列函数的定义域： (1)f(x)＝＋(x＋1)0； (2)f(x)＝. 【解】　(1)由题意得x－1≠0且x＋1≠0，即x≠1且x≠－1，故所求定义域为{x|x≠1且x≠－1}． (2)由题意得 解得x≥－1且x≠3， 故所求定义域为{x|x≥－1且x≠3}． 【感悟提升】　关于函数定义域的求法 (1)依据：分式分母不为0，二次根式的被开方数不小于0，0次幂的底数不为0等． (2)应用：如果解析式中含有多个式子，则将所有x满足的条件列成不等式组，求交集． 　求下列函数的定义域． (1)y＝(x－1)0＋； (2)f(x)＝＋. 解：(1)由题意可得解得x>－1且x≠1，故该函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}． (2)由题意得解得－4<x≤4，故该函数的定义域是{x|－4<x≤4}． 应用点　构建问题情景 　(对接教材例1)已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境使其中的变量关系可以用下列解析式来描述． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝2x＋. 【解】　(1)设矩形的长为x，宽为f(x)， 那么f(x)＝， 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽. (2)设矩形的长为x，周长为f(x)， 那么f(x)＝2x＋. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥4}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋. 【感悟提升】　根据函数关系构建问题情境的策略 (1)分析条件中的函数解析式，确定其函数类型、定义域、值域、对应关系． (2)从现实生活中寻找和构建合适的问题情境，必要时可适当限制x的取值范围． (3)既要描述情境，又要描述情境中的定义域、值域和对应关系． 　构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝来描述． 解：y＝的定义域为{x|x≥0}，值域是{y|y≥0}．对应关系f把{x|x≥0}中的任意一个实数x，对应到唯一确定的数.如果限制变量x的取值范围，令x>0，那么可以构建如下情境：已知正方形的面积为x，求正方形的边长y，则y＝.其中x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}．对应关系f把每一个正方形的面积x，对应到唯一确定的边长. 1．(多选)下列等式中的变量x，y，具有y是x的函数关系的是(　　) A．y＝x－1 B．y＝ C．y2＝4x D．y2＝x2 解析：选AB．选项C中，当x＝1时，y＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义． 2．(教材P72习题3.1T1改编)y＝＋的定义域为________． 解析：要使函数式有意义，则即所以1≤x≤2. 答案：{x|1≤x≤2} 3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为________． 解析：当x＝－1时，y＝(－1)2－3×(－1)＝4， 当x＝0时，y＝0， 当x＝2时，y＝22－3×2＝－2，当x＝3时，y＝32－3×3＝0， 所以函数y＝x2－3x的值域为{－2，0，4}． 答案：{－2，0，4} 4．(教材P67T2改编)已知函数f(x)＝＋1. (1)若函数满足f(－2)＝0，求实数a的值； (2)求当a＝6时，f(4)的值． 解：(1)已知f(x)＝＋1，f(－2)＝－＋1＝0，解得a＝2. (2)当a＝6时，f(x)＝＋1， 所以f(4)＝＋1＝. 　 1．已学习：函数的概念、函数的三要素、构建函数关系的问题情境． 2．须贯通：求函数定义域的关键在于列全限制条件不等式(组)，构建函数模型用到方程思想． 3．应注意：(1)值域不是集合B，而是集合B的一个子集； (2)对符号f(x)的认知错误． 学科网（北京）股份有限公司 $