2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦一元二次不等式的应用核心知识点，基于已学的一元二次不等式解法，延伸至简单分式不等式的等价转化求解，再拓展到实际生活问题的数学建模及三个“二次”（二次函数、方程、不等式）关系的综合应用，构建递进式知识支架。 该资料以问题驱动（如思考分式不等式与一元二次不等式的同解性）引导探究，结合节能灯销售等实际案例培养“数学眼光”，通过等价转化解分式不等式发展“数学思维”，以规范解题步骤强化“数学语言”。课中辅助教师清晰授课，课后练习题及总结帮助学生巩固提升，查漏补缺。

第2课时　一元二次不等式的应用 课标要求　1.掌握与一元二次不等式相关联的不等式的解法．　2.能够应用三个“二次”之间的关系解决一些问题． 3．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决． 我们已经学会了一元二次不等式的解法，那么对于形如>0的不等式该如何求解？它与一元二次不等式有什么关系？本节课我们一起来学习． 思考1　>0与(x－3)(x＋2)>0同解吗？ 提示：同解． 思考2　≥0与(x－3)(x＋2) ≥0等价吗？ 提示：不等价． 知识点　简单的分式不等式 简单分式不等式的解法 　解下列不等式： (1)≥0；(2)<1. 【解】　(1)因为≥0，所以≤0，等价于解得－4<x≤2， 所以原不等式的解集为{x|－4<x≤2}． (2)移项得－1<0，通分化简得到分式不等式<0，等价于(x＋3)(x－2)<0，解得－3<x<2，所以原不等式的解集为{x|－3<x<2}． 【感悟提升】　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 　1.(2026·绍兴期中)不等式<0的解集为________． 解析：由<0，得(x－1)(2x－3)<0，解得1<x<，故不等式的解集为{x|1<x<}． 答案：{x|1<x<} 2．已知关于x的不等式≤0的解集为A．若3∈A，4∉A，则a的取值范围是________________________________． 解析：由3∈A，得≤0， 即 解得a≤或a>3. 又4∉A，所以>0或4－a＝0， 即(4a－1)(4－a)>0或a＝4， 解得<a≤4. 综上，a的取值范围是{a|<a≤或3<a≤4}． 答案： 应用点一　一元二次不等式的实际应用 　(对接教材例4、例5)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500. (1)设袁阳每月获得的利润为w(单位：元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 【解】　(1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系式为w＝(x－10)(－10x＋500)＝－10x2＋600x－5 000(10≤x≤50). (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得 －10x2＋600x－5 000≥3 000. 化简得，x2－60x＋800≤0. 解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}． 【感悟提升】　解不等式应用题的步骤 　(2026·广东部分学校联考)如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花圃四周(阴影部分)铺设宽度相同的观赏通道．已知三块花圃的面积均为150 m2.若矩形花圃的长比宽至少多5 m，记花圃的宽为x m，则x的取值范围为________． 解析：因为三块花圃的面积均为150 m2，所以长为 m，又矩形花圃的长比宽至少多5 m，所以≥x＋5，即x2＋5x－150≤0，即(x－10)(x＋15)≤0，且x>0，所以0<x≤10. 答案： 应用点二　三个“二次”之间的关系 　若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 【解】　方法一：由题意知 所以 代入不等式cx2－bx＋a>0中得， ax2＋ax＋a>0(a<0)， 即x2＋x＋1<0， 化简得x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2，所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}． 方法二：由题意得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为，，且a<0， 所以－＝＋＝，＝×＝， 由cx2－bx＋a>0得x2－x＋1<0， 即x2＋x＋1<0，即x2＋5x＋6<0， 解得－3<x<－2，所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}． 母题探究　若将本例中“”改为“{x|<x<}”，其他条件不变，如何求解？ 解：由题意知 所以 代入不等式cx2－bx＋a>0， 得ax2＋ax＋a>0(a>0)， 即x2＋x＋1>0， 化简得x2＋5x＋6>0， 解得x>－2或x<－3， 所以所求不等式的解集为{x|x>－2，或x<－3}． 【感悟提升】　三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是为了将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 　已知不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为(　　) 解析：选C．因为不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}，所以a<0，且即所以y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax－2a＝a(x2－x－2)＝a(x－2)(x＋1)，所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，两个零点为x1＝2，x2＝－1. 1．不等式≤1的解集为(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1} C．{x|x≤－2或x>1} D．{x|x<－2或x≥1} 解析：选D．≤1，即≤0，即解得x≥1或x<－2. 2．(2026·重庆月考)已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A．k<4　　　　　　　 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3 解析：选D．由已知得一元二次方程(k－3)x2＋2x＋1＝0有解，所以k－3≠0，且4－4(k－3)≥0，所以k≤4且k≠3. 3．(教材P55练习T2改编)为建设美丽中国，增强民众幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为10 m、宽为6 m的矩形花园，其四周种植花卉，中间种植草坪(如图所示).如果花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的三分之一，那么花卉带的宽度可能为(　　) A．1 m B．2 m C．3 m D．4 m 解析：选B．设花卉带的宽度为x m，则≤，所以(5－x)(3－x)≤5，即(x－4)2≤6，可得4－≤x≤4＋，因为所以x<3，故4－≤x<3，而1<4－<2，则x的可能取值为2. 4．已知不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1<x<3}，则b＋c＝________． 解析：由题意，－1和3为方程5x2－bx＋c＝0的根， 则解得 所以b＋c＝10－15＝－5. 答案：－5 　 1．已学习：简单的分式不等式的解法；一元二次不等式的实际应用；三个“二次”间的关系． 2．须贯通：已知不等式解集求参数的思路是把一元二次不等式的解集端点转化为一元二次方程的实数根或一元二次函数的零点，体现了转化思想． 3．应注意：(1)解分式不等式要等价变形； (2)实际问题中变量的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $