2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦一元二次不等式的解法这一核心知识点，先从实际情境抽象出概念，通过二次函数零点、方程根的关系构建解法支架，涵盖不含参数（化标准、判Δ、求实根、画图象、写解集）和含参数（讨论系数、根的大小）两种类型，形成完整知识脉络。 资料以情境导入培养数学眼光，通过二次函数图象与方程根的关系渗透数形结合，用分类讨论含参数不等式培养数学思维，练习题兼顾基础与变式。课中助教师高效授课，课后学生可依步骤回顾、强化练习，弥补知识盲点，提升用数学语言表达解集的能力。

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 课标要求　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．　2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 给出下面四个不等式： (1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0； (3)－x2＋2x≥0；(4)2x2＋ax＋5<0(a为常数). 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考　四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：都含有一个未知数且未知数的最高次数是2. 知识点一　一元二次不等式 1．一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 3．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)x2－>0为一元二次不等式．(　　) (3)函数y＝x2－4x＋4的零点是(2，0).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．若(2m－1)x2＋x－1≥0是关于x的一元二次不等式，则m的取值范围是________． 解析：根据一元二次不等式的定义可得2m－1≠0，解得m≠. 答案：{m|m≠} 3．若是函数y＝2x2－ax＋3的一个零点，则该函数的另一个零点为________． 解析：因为是函数y＝2x2－ax＋3的一个零点， 则2×()2－a×＋3＝0， 解得a＝5，则y＝2x2－5x＋3. 令y＝2x2－5x＋3＝0， 解得x＝或x＝1， 所以y＝2x2－ax＋3的另一个零点为1. 答案：1 【感悟提升】　一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数). (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 知识点二　一元二次不等式的解法 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 类别 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根　 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　(对接教材P52例1、例2、例3)解下列不等式： (1)x2－7x＋12>0；(2)－x2－2x＋3≥0； (3)x2－2x＋1<0；(4)x2－2x＋2>0. 【解】　(1)方程x2－7x＋12＝0的根为x1＝3，x2＝4. 根据函数y＝x2－7x＋12的图象(图1)，可得原不等式的解集为{x|x<3，或x>4}． (2)不等式两边同时乘－1，得x2＋2x－3≤0. 方程x2＋2x－3＝0的根为x1＝－3，x2＝1. 根据函数y＝x2＋2x－3的图象(图2)，可得原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}． (3)方程x2－2x＋1＝0有两个相同的根x1＝x2＝1. 根据函数y＝x2－2x＋1的图象(图3)，可得原不等式的解集为∅. (4)因为Δ＝－4<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数根． 根据y＝x2－2x＋2的图象(图4)，可得原不等式的解集为R. 【感悟提升】　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； (2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算一元二次方程的判别式； (3)求实根：根据判别式说明方程有无实根，若有实根则求出相应的一元二次方程的根； (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． 　解下列不等式： (1)(2x－1)(x＋3)＜0；(2)2x2＜x－1； (3)－6x2－x＋2≤0. 解： (1)易知方程(2x－1)(x＋3)＝0的两个实数根分别为x1＝－3，x2＝，作出二次函数y＝(2x－1)(x＋3)的图象，如图1所示．由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式可化为2x2－x＋1＜0，因为Δ＝－7＜0，所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，作出二次函数y＝2x2－x＋1的图象，如图2所示．根据图象得不等式2x2－x＋1＜0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅. (3)原不等式可化为6x2＋x－2≥0，因为Δ＝49＞0，所以方程6x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，解得x1＝－，x2＝. 作出二次函数y＝6x2＋x－2的图象，如图3所示．根据图象得不等式6x2＋x－2≥0的解集为{x|x≤－，或x≥}．因此，原不等式的解集为 {x|x≤－，或x≥}． 应用点　含参数的一元二次不等式的解法 　解关于x的不等式(ax－2)(x＋1)≥0(x∈R，a≥0). 【解】　①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为 (x－)(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a>0时，不等式的解集为 {x|x≥或x≤－1}． 母题探究　若把本例中的“a≥0”改为“a<0”，求该不等式的解集． 解：当a<0时，原不等式化为(x－)(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当－2<a<0时，不等式的解集为{x|≤x≤－1}；当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 【感悟提升】　解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数，应讨论其是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数：判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式． 　求关于x的不等式x2＋(a－2)x－2a≤0的解集． 解：由x2＋(a－2)x－2a≤0可得(x＋a)(x－2)≤0， 当－a＝2，即a＝－2时，由(x－2)2≤0知，x＝2； 当－a>2，即a<－2时，解得2≤x≤－a； 当－a<2，即a>－2时，解得－a≤x≤2. 综上，当a<－2时，不等式的解集为{x|2≤x≤－a}； 当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝2}； 当a>－2时，不等式的解集为{x|－a≤x≤2}． 1．(多选)下列不等式是一元二次不等式的是(　　) A．x2＋x<－1 B．x2＋＋1<0 C．x2＋＋1<0 D．x2＋1<0 解析：选AD．由于x2＋＋1<0，x2＋＋1<0不符合一元二次不等式的定义，只有x2＋x<－1，x2＋1<0是一元二次不等式． 2．(教材P53T1改编)不等式x2－x＋>0的解集是(　　) A．{x|<x<} B．{x|x>} C．{x|x<} D．{x|x<或x>} 解析：选D．由x2－x＋>0，得 (x－)(x－)>0，解得x<或x>，所以不等式的解集是{x|x<或x>}． 3．(教材P55习题2.3T2改编)要使有意义，则x的取值范围为____________． 解析：由题可得－x2＋x＋12＞0， 可转化为x2－x－12＜0， 解得－3＜x＜4. 所以x的取值范围为{x|－3＜x＜4}． 答案：{x|－3＜x＜4} 4．若0<m<1，则不等式(x－m)(x－)<0的解集为________． 解析：因为0<m<1，所以>1>m，故不等式的解集为{x|m<x<}． 答案：{x|m<x<} 　 1．已学习：一元二次不等式的概念及解法，含参数的一元二次不等式的解法． 2．须贯通：解不含参数的一元二次不等式常利用数形结合法；解含参数的一元二次不等式有时需要分类讨论． 3．应注意：解含参数的一元二次不等式时参数的分类讨论标准． 学科网（北京）股份有限公司 $