2.2 第2课时 基本不等式的应用课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦基本不等式应用，通过基础、进阶、综合三层设计，覆盖从单一知识点到实际问题的巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|比较大小、简单最值计算|单选（1-5）、填空（7-9）为主，直接应用基本不等式| |进阶层|多条件最值、不等式综合判断|多选（6、12）、中档填空（13），需转化条件| |综合层|实际问题优化、复杂最值证明|解答题（14-15），结合生活情境（如海报设计）|

1．(2026·鹤山月考)已知x>0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是(　　) A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A<B 解析：选A．因为x>0，A＝x－2，B＝－，所以A－B＝x－2＋≥2－2＝0，即A≥B，当且仅当x＝1时等号成立． 2．(2026·盐城月考)一个直角三角形的斜边长为6，则这个直角三角形周长的最大值为(　　) A．12 B．12 C．6＋6 D． 解析：选C．令两直角边长为a，b，斜边长为c＝6，则a2＋b2＝c2＝36.因为2ab≤a2＋b2，所以a2＋2ab＋b2≤2(a2＋b2)＝72，即(a＋b)2≤72，又a＋b>0，则a＋b≤6，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以a＋b＋c≤6＋6，即这个直角三角形周长的最大值为6＋6. 3．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则的最小值为(　　) A．4 B．4 C．6 D．2＋3 解析：选D．因为x>0，y>0，且2x＋y＝1，所以＝＋＝(＋)(2x＋y)＝＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当＝，即x＝，y＝－1时，等号成立，故的最小值为2＋3. 4．已知负实数x，y满足x＋y＝－2，则－x的最大值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．4 解析：选B．根据题意有x＝－y－2，故－x＝＋y＋2＝－[＋(－y)]＋2≤－2＋2＝0，当且仅当－y＝，即y＝－1，x＝－1时，等号成立．故－x的最大值为0. 5．(2026·衡阳月考)对于任意的0<x<4，m>恒成立，则(　　) A．m> B．m> C．m> D．m> 解析：选D．对于任意的0<x<4，m>恒成立，则m>()max，而＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以m>. 6．(多选)已知正数x，y满足2x＋y＝1，则下列不等式中正确的是(　　) A．8xy≤1 B．＋≥12 C．4x2＋y2≥ D．x(y＋1)≤ 解析：选AC．对于A，因为2x＋y＝1≥2，则8xy≤1，当且仅当2x＝y， 即x＝，y＝时，等号成立，故A正确； 对于B，＋＝(＋)(2x＋y)＝6＋＋≥6＋2＝6＋4， 当且仅当＝，即x＝，y＝2－时，等号成立，故B错误； 对于C，由A可知xy≤，所以4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy≥1－4×＝， 当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立，故C正确； 对于D，因为x(y＋1)＝·2x(y＋1)≤·[]2＝，当且仅当2x＝y＋1，即x＝，y＝0时，等号成立，这与x，y均为正数矛盾，故x(y＋1)<，故D错误． 7．已知a>0，b>0，且＝2，则b＋的最小值为________． 解析：因为a>0，b>0，且＝2，即a＝2b，所以b＋＝b＋≥2＝2，当且仅当b＝1，a＝2时取等号，故b＋的最小值为2. 答案：2 8．某工厂一年需要购买某种原材料100吨，计划每次购买x吨．若每次的运费为5 000元，一年的储存费为5 000x元，则每次购买________吨原材料，总费用(运费和储存费之和)最低，且最低的总费用为____________万元． 解析：由题意可得总费用为×5 000＋5 000x＝＋5 000x，x>0， 所以＋5 000x≥2＝100 000， 当且仅当＝5 000x，即x＝10时，等号成立．即每次购买10吨原材料，总费用最低，且最低的总费用为10万元． 答案：10　10 9．已知x>0，y>0，且满足x＋y－xy＝0，则x＋y的最小值为____________． 解析：因为x＋y－xy＝0，所以＋＝1， 所以x＋y＝(x＋y)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即x＝y＝2时，等号成立， 所以x＋y的最小值为4. 答案：4 10．(13分)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)·(1＋)≥9. 证明：因为a>0，b>0，a＋b＝1， 所以1＋＝1＋＝2＋， 同理1＋＝2＋， 所以(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋) ＝5＋2(＋)≥5＋4＝9， 当且仅当＝， 即a＝b＝时等号成立， 所以(1＋)(1＋)≥9. 11．(2026·嘉兴检测)已知x>－1，y>2，且＋＝1，则x＋y的最小值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．9 解析：选A．因为x>－1，y>2，所以x＋1>0，y－2>0， 则x＋y＝(x＋1)＋(y－2)＋1 ＝[(x＋1)＋(y－2)](＋)＋1 ＝3＋＋≥3＋2＝5， 当且仅当＝，即x＝1，y＝4时等号成立， 所以x＋y的最小值为5. 12．(多选)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝3，则下列选项正确的是(　　) A．x2＋y2的最大值是6 B．x＋y的最小值是2 C．x＋y的最大值是2 D．xy的最大值是3 解析：选ACD．对于A，因为x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立，且x2＋y2－xy＝3，所以x2＋y2－3＝xy≤，即x2＋y2≤6，当且仅当x＝y＝±时等号成立，故A正确； 对于B，C，x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝3，则(x＋y)2－3＝3xy≤3×，则(x＋y)2≤12，当且仅当x＝y＝±时取等号，即－2≤x＋y≤2，所以当x＝y＝时，x＋y取得最大值2，当x＝y＝－时，x＋y取得最小值－2，故B错误，C正确； 对于D，x2＋y2－xy＝3≥2xy－xy，则xy≤3，当且仅当x＝y＝±时等号成立，故D正确． 13．若实数a，b满足ab>0，则a2＋4b2＋的最小值为________． 解析：因为ab>0，所以a2＋4b2＋≥2＋＝4ab＋≥2＝4，当且仅当即或时等号成立．故a2＋4b2＋的最小值为4. 答案：4 14．(13分)(1)已知x>0，y>0，且x＋y＋xy＝3，求x＋y的最小值；(6分) (2)设x>－1，求y＝的最小值．(7分) 解：(1)方法一：因为x＋y＋xy＝3，所以y(x＋1)＝3－x，所以y＝＝－1.因为y>0，所以0<x<3，所以x＋y＝x＋1＋－2≥ 2－2＝2，当且仅当x＋1＝，即x＝y＝1时取等号．故x＋y的最小值为2. 方法二：因为x＋y＋xy＝3，所以x(y＋1)＋(y＋1)＝4，即(x＋1)(y＋1)＝4，所以x＋y＝(x＋1)＋(y＋1)－2≥2－2＝2，当且仅当x＋1＝y＋1，且x＋y＋xy＝3，即x＝y＝1时取等号．故x＋y的最小值为2. (2)由题意，设t＝x＋1>0，则x＝t－1， 则y＝＝＝＝t＋＋3≥2＋3， 当且仅当t＝，即t＝，x＝－1时，等号成立， 所以y＝的最小值为2＋3. 15．(15分)某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长a cm，宽b cm的矩形，面积为60 cm2. 版面设计如图所示，海报上、下、左、右边距均为2 cm，文字宣传区域分为大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为1 cm.三个栏目的文字宣传区域面积和为S(单位：cm2). (1)用a，b表示文字宣传区域面积和S；(6分) (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和S最大？最大面积是多少？(9分) 解：(1)依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长、宽分别为a－6，b－4的矩形，所以S＝(a－6)(b－4). (2)依题意，ab＝60，由(1)知， S＝ab－(4a＋6b)＋24＝84－(4a＋6b)≤84－2＝84－24， 当且仅当4a＝6b，即a＝3，b＝2时，等号成立， 所以纸张的长和宽分别为3cm，2cm时，文字宣传区域面积和S最大，最大面积为(84－24)cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $