2.2 第2课时 基本不等式的应用-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦基本不等式的应用，在掌握基本不等式基础上，通过常数代换法求最值、不等式证明、实际问题解决构建知识支架，涵盖母题探究、步骤总结及情境转化等内容。 资料以母题变式（如条件变换求最值）和实际案例（污水处理池造价、容器成本）为特色，培养学生用数学眼光抽象关系、数学思维推理步骤的能力，课中辅助教师授课，课后练习题与总结助学生查漏补缺，强化应用。

第2课时　基本不等式的应用 课标要求　1.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题．　2.能够利用基本不等式解决实际问题并能构造基本不等式求最值． 应用点一　常数代换法求最值 　(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 (2)已知0<x<1，则＋的最小值为___________________________． 【解析】　(1)因为x>0，y>0，且2x＋y＝1， 则＋＝(2x＋y)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，故＋的最小值为9. (2)因为0<x<1，所以1－x>0， 所以＋＝(＋)[(1－x)＋x]＝17＋＋≥17＋2＝25， 当且仅当＝，即x＝时，等号成立，故＋的最小值为25. 【答案】　(1)B　(2)25 母题探究　本例(1)中，若x>0，y>0，且x＋2y＝xy，则2x＋y的最小值为____________． 解析：由x>0，y>0且x＋2y＝xy， 可得＋＝1， 所以2x＋y＝(2x＋y)(＋)＝＋4＋1＋≥5＋2＝9， 当且仅当＝，即x＝y＝3时，等号成立，所以2x＋y的最小值为9. 答案：9 【感悟提升】　常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值． 　(2026·大理期中)已知实数x，y满足x＋y＝xy，且x>0，y>0，若不等式4x＋9y－5t≥0恒成立，则实数t的最大值为(　　) A．9 B．12 C．16 D．5 解析：选D．因为x＋y＝xy，x>0，y>0，所以＋＝1， 所以4x＋9y＝(4x＋9y)(＋)＝13＋＋≥13＋2＝25， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立， 故4x＋9y的最小值为25. 又不等式4x＋9y－5t≥0恒成立，所以(4x＋9y)min≥5t(参变分离)，即25≥5t，因此t≤5，故实数t的最大值为5. 应用点二　利用基本不等式证明不等式 　设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1. 求证：＋＋≥1. 【证明】　因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 所以＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 故＋＋≥1. 【感悟提升】　(1)对不能直接使用基本不等式的式子要进行变形或重组，创造使用基本不等式的条件． (2)多次使用基本不等式时，要保证等号都成立． 　若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b. 证明：由基本不等式得＋b≥2＝2a，当且仅当＝b，即a＝b时，等号成立； 同理＋a≥2＝2b， 当且仅当＝a，即a＝b时，等号成立． 故＋＋b＋a≥2a＋2b， 即＋≥a＋b， 当且仅当a＝b时，等号成立． 应用点三　基本不等式的实际应用 　(对接教材例4)某工厂拟建一个平面图为矩形，容积为200 m3，高度为1 m的三段无盖污水处理池(平面图如图)，由于受地形限制，其长、宽都不超过18 m，已知池壁的建造费为400元/m2，池中两道隔墙(与宽平行，厚度忽略不计)的建造费为248元/m2，池底的建造费为80元/m2.设污水处理池的长为x m，总造价为y元． (1)求y的表达式； (2)污水处理池的长与宽各是多少时，总造价最低？求出这个最低造价． 【解】　(1)因为污水处理池的长为x m，所以宽为 m. 由题意可得解得≤x≤18. y＝400(2x＋2×)×1＋248×2××1＋80×200＝800(x＋)＋16 000.故y的表达式为y＝800(x＋)＋16 000(≤x≤18). (2)因为y＝800(x＋)＋16 000≥1 600×＋16 000＝44 800， 当且仅当x＝，即x＝18时，等号成立，此时＝<18，符合题意． 因此，当污水处理池的长为18 m，宽为 m时，其总造价最低，最低造价为44 800元． 【感悟提升】　利用基本不等式解决实际问题的步骤 　1.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 解析：选C．设底面相邻两边的长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4，即xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y＝2时取等号).故该容器的最低总造价是160元． 2．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润S(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年)满足二次函数关系：S＝－2t2＋54t－72，则该新生产线年平均利润最大为________万元． 解析：由题意得年平均利润为＝－2t＋54－＝54－2≤54－2×2＝30， 当且仅当t＝，即t＝6时，等号成立．故该新生产线年平均利润最大为30万元． 答案：30 1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 解析：选A．因为b2＋1≥2b，所以a＋2b≤a＋b2＋1， 当且仅当b＝1时等号成立，所以s≥t. 2．(教材P48练习T1改编)某校团委组织了一场竞赛活动，要用警戒线围出400 m2的矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为(　　) A．30 m B．50 m C．80 m D．110 m 解析：选C．设该矩形区域的长为x m，则宽为 m，则所用警戒线的长度为2(＋x)≥2×2＝80，当且仅当＝x，即x＝20时，等号成立．所以所用警戒线的长度的最小值为80 m. 3．已知m>0，n>0，＋n＝1，则m＋的最小值为(　　) A．13 B．16 C．14 D．10 解析：选B．由题意得m＋＝(m＋)·(＋n)＝10＋mn＋≥10＋2＝16， 当且仅当mn＝，即m＝4，n＝时等号成立，所以m＋的最小值为16. 4．(教材P49T4改编)已知a，b是互不相等的正数，求证：(a2＋1)(b2＋1)>4ab. 证明：因为a，b是互不相等的正数，则由基本不等式可得a2＋1≥2a>0，b2＋1≥2b>0， 所以(a2＋1)(b2＋1)≥2a·2b＝4ab， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 又因为a≠b，所以(a2＋1)(b2＋1)>4ab，得证． 　 1．已学习：利用基本不等式证明不等式、常数代换法 求最值、基本不等式在实际问题中的应用． 2．须贯通：(1)利用基本不等式证明不等式的关键是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； (2)能把实际问题转化为数学问题，再利用基本不等式解决． 3．应注意：生活中的变量有它自身的意义，不要忽略变量的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $