2.2 第1课时 基本不等式课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦基本不等式，通过基础辨析、条件应用到几何拓展的三阶分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式概念辨析、直接应用|选择题（1-2）、填空题（7-8），强化“一正二定三相等”条件理解| |提升层|条件转化、多变量应用|多选题（6）、解答题（10(1)），训练等式变形与最值求解| |综合层|几何背景、综合运算|几何证明题（15）、解答题（13-14），培养数学眼光与逻辑推理|

1．(2026·石家庄期中)下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．≥ D．x2＋≥2 解析：选D．对于A，取a＝－2，则a＋＝－4，故A错误； 对于B，取a＝b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错误； 对于C，当a>0，b<0时，无意义，故C错误； 对于D，x2＋≥2，当且仅当x2＝，即x＝±时取等号，故D正确． 2．已知a>0，则a＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B．因为a>0，则a＋＝a＋－1≥2－1＝3，当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立，所以a＋的最小值为3. 3．(2026·山西月考)已知正实数x，y满足2x＋y＝xy，则xy的最小值为(　　) A．2 B．4 C．4 D．8 解析：选D．因为2x＋y＝xy，x>0，y>0，所以2x＋y＝xy≥2，即xy≥8，当且仅当y＝2x，即x＝2，y＝4时，等号成立，所以xy的最小值为8. 4．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2 解析：选D．因为x>0，所以3x＋≥ 2＝2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，所以－(3x＋)≤－2，则3－3x－≤3－2，故3－3x－的最大值为3－2. 5．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)·(1＋2y)的最大值为(　　) A．36 B．4 C．16 D．9 解析：选D．由题意，得(1＋x)＋(1＋2y)＝6，1＋x>1，1＋2y>1，所以(1＋x)(1＋2y)≤＝9，当且仅当即时，等号成立，所以(1＋x)(1＋2y)的最大值为9. 6．(多选)下列不等式正确的是　(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋≤－2 C．a2＋≥2 D．|－a|＋≥2 解析：选CD．对于A，当a<0时，a＋<0，故A错误； 对于B，当a<0时，(－a)＋(－)>0，故B错误； 对于C，因为a2>0，所以a2＋≥2，当且仅当a＝±1时，等号成立，故C正确； 对于D，因为|－a|>0，所以|－a|＋≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，故D正确． 7．若正实数a与b的几何平均数为2，那么a与4b的算术平均数的最小值为____________． 解析：因为＝2，所以ab＝4， 所以≥＝＝4，当且仅当a＝4b，即a＝4，b＝1时，等号成立，即a与4b的算术平均数的最小值为4. 答案：4 8．已知正实数a，b满足ab＝1，则＋的最小值为____________． 解析：正实数a，b满足ab＝1，则＋≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立， 所以＋的最小值为2. 答案：2 9．若a>0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为________． 解析：由a＋b＝0，a>0，得b＝－a，－＝>0，所以a－＋1＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号，所以a－＋1的最小值为3. 答案：3 10．(13分)(1)已知x>1，求2x＋的最小值；(6分) (2)已知0<b<2，求(2－b)(1＋2b)的最大值．(7分) 解：(1)因为x>1，所以x－1>0， 因此2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，等号成立． 故2x＋的最小值为2＋2. (2)(2－b)(1＋2b)＝(4－2b)(1＋2b)≤×＝， 当且仅当4－2b＝1＋2b，即b＝时，等号成立， 所以(2－b)(1＋2b)的最大值为. 11．(2026·河南期中)已知0<a<，则a的最大值为(　　) A． B． C．1 D． 解析：选C．因为0<a<，所以2－a2>0，所以a＝≤＝1，当且仅当a2＝2－a2，即a＝1时，等号成立，所以a的最大值为1. 12．已知a>0，b>0，a2＋b2＝2，则a＋b的最大值为____________． 解析：因为a>0，b>0，a＋b≤2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 所以a＋b的最大值为2. 答案：2 13．(13分)(1)求的最小值；(5分) (2)求(x＋y)(＋)的最小值，其中x>0，y>0.(8分) 解：(1)＝|x|＋≥ 2＝4，当且仅当|x|＝，即x＝±2时等号成立，所以的最小值为4. (2)因为(x＋y)(＋)＝1＋4＋＋， 又x>0，y>0，所以＋≥ 2＝4， 所以1＋4＋＋≥9，当且仅当y＝2x时，等号成立． 所以(x＋y)(＋)的最小值为9. 14．(13分)若x>0，y>0，且(x＋2)(y＋1)＝9，求x＋3y＋5的最小值． 解：因为x>0，y>0，且(x＋2)(y＋1)＝9， 所以x＋3y＋5＝(x＋2)＋3(y＋1)≥2＝6， 当且仅当 即时，上式取等号， 所以x＋3y＋5的最小值为6. 15．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示， C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点O作AB的垂线交半圆于D，连接CD，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≥(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．≥(a>0，b>0) 解析：选D．OD＝，OC＝＝，CD＝＝＝，而CD≥OD(当且仅当C，O重合时取等号)，因此有≥. 学科网（北京）股份有限公司 $