2.2 第1课时 基本不等式-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦基本不等式≤（a>0，b>0）的核心知识点，通过图形面积比较导入，系统梳理其证明过程、算术与几何平均数关系，衔接最值问题应用，构建从直观感知到逻辑推理再到实践应用的学习支架。 资料以图形阴影面积比较为切入点，培养学生用数学眼光观察数量关系，通过配凑法例题及母题探究发展数学思维，结合判断正误与练习题强化数学语言表达。课中助力教师引导学生循序渐进理解，课后帮助学生巩固概念、查漏补缺，提升解决实际问题能力。

2．2　基本不等式 第1课时　基本不等式 课标要求　1.了解基本不等式的证明过程．　2.掌握基本不等式≤(a>0，b>0).　3.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 现有2个形状、大小完全相同的图形(图1和图2)，已知四边形ABCD为矩形，△BCE为等腰直角三角形，AB＝，BC＝(a>0，b>0)，图1和图2中阴影部分的面积分别为S1，S2. 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　求S1，S2的值． 提示：因为四边形ABCD为矩形，△BCE为等腰直角三角形，所以△ABF为等腰直角三角形，所以S1＝S△ABF＋S△BCE＝·＋·＝，S2＝S矩形ABCD＝·＝. 思考2　观察图1和图2中的阴影部分，S1，S2有什么大小关系？如何表示？ 提示：S1≥S2，即≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 知识点一　基本不等式 如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 提醒　“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b⇒＝；②仅当a＝b时取等号，即＝⇒a＝b. 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2.(　　) (2)6和8的几何平均数为2. (　　) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 解析：选B．由a2＋1≥2a及基本不等式得，当且仅当a＝1时，等号成立． 3．(多选)下面四个推导过程正确的是(　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab 解析：选AC．因为a，b为正实数，所以，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； 因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件， 所以＋a≥2＝4是错误的，故B错误； 由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； 因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，所以≥ab，故D错误． 【感悟提升】　基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的一端是“和式”，而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”． 知识点二　基本不等式与最值 已知x>0，y>0，则 (1)若和x＋y等于定值S，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若积xy等于定值P，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． 　(对接教材例1、例2)(1)若x>0，求＋4x的最小值； (2)若x＋y＝40，且x，y都是正数，求xy的最大值． 【解】　(1)因为x>0，所以>0，4x>0. 所以＋4x≥2＝8， 当且仅当＝4x，即x＝时取得最小值8， 所以当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)由基本不等式得xy≤＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立，则xy的最大值为400. 【感悟提升】　 常用结论 ①若a，b∈R，则ab≤()2≤，当且仅当a＝b时，等号成立． ②若a，b都是正数，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立． 　1.若a，b都是正数，则＋－1的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．因为a，b都是正数，则>0，>0， 所以＋－1≥2－1＝3，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立． 则＋－1的最小值为3. 2．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为__________，此时x＝__________． 解析：x(1－x)≤＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立． 即当x＝时，x(1－x)取得最大值，最大值为. 答案：　 3．已知x>0，a>0，4x＋在x＝3时取得最小值，则a的值为________． 解析：因为x>0，a>0， 所以4x>0，>0， 4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， 所以a＝36. 答案：36 应用点　利用配凑法求最值 　(1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为________； (2)已知0<x<，则y＝x(1－3x)的最大值为________． 【解析】　(1)因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝x＋＝x－2＋＋2 ≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立． 所以y＝x＋的最小值为6. (2)方法一：y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x) ≤＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． 所以当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值. 方法二：y＝x(1－3x)＝3·x(－x)≤3·()2＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． 所以当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值. 【答案】　(1)6　(2) 母题探究1　若本例(1)的条件“x>2”改成“x<2”，则y＝x＋的最大值为________． 解析：因为x<2，所以x－2<0， 则y＝x＋＝x－2＋＋2 ＝－(2－x＋)＋2≤ －2＋2＝－2， 当且仅当2－x＝，即x＝0时，等号成立， 所以函数y＝x＋(x<2)的最大值是－2. 答案：－2 母题探究2　若本例(1)条件不变，则2－x－的最大值为________． 解析：2－x－＝－， 由x>2，得x－2>0， 可得(x－2)＋≥2＝2， 当且仅当＝x－2， 即x＝3时，等号成立， 故2－x－≤－2， 即2－x－的最大值为－2. 答案：－2 【感悟提升】　利用配凑法求最值的注意事项 拼凑技巧 以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换 变形技巧 以拼凑出和或积的定值为目标 拆、添项 应注意检验利用基本不等式的前提条件 提醒　应用“拆”“拼”“凑”等技巧的目的是使其满足基本不等式“正”“定”“等”的条件． 　1.若a>1，则4a＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．无最小值 解析：选C．若a>1，则a－1>0，4a＋＝4(a－1)＋＋4≥2＋4＝8， 当且仅当4(a－1)＝，即a＝时，等号成立，所以4a＋的最小值为8. 2．(－6≤a≤3)的最大值为(　　) A．9 B． C．3 D． 解析：选B．方法一(基本不等式)：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式，可得≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立，所以(－6≤a≤3)的最大值为. 方法二(函数法)：＝≤，当且仅当a＝－时等号成立，所以(－6≤a≤3)的最大值为. 1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 解析：选B．基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x－2y>0，则x>2y. 2．(教材P48习题2.2T1(2)改编)的最大值为(　　) A． B． C． D．1 解析：选B．由题意可得0≤x≤1，≤＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，故的最大值为. 3．(教材P46T3改编)3x2＋的最小值是(　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 解析：选D．3x2＋3＋－3＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝6－3，当且仅当3(x2＋1)＝，即x2＝－1时等号成立，所以3x2＋的最小值是6－3. 4．已知正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y的最小值是________． 解析：正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y≥2＝4，当且仅当x＝4y，即x＝2，y＝时，等号成立，所以x＋4y的最小值是4. 答案：4 　 1．已学习：(1)基本不等式的推导与证明；(2)求简单代数式的最值． 2．须贯通：最值的常用方法有配凑法． 3．应注意：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字． 学科网（北京）股份有限公司 $