2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，先梳理等式的对称性、传递性及加减乘除运算性质，再通过生活情境引入不等式概念，系统呈现不等式的对称性、传递性、运算性质及应用，构建从基础到应用的学习支架。 资料以民用住宅采光问题创设情境，引导学生用数学眼光观察现实，通过身高、薪水等思考问题抽象不等关系，培养抽象能力。例题采用特殊值法与逻辑推理，发展数学思维，练习题与应用点助力用数学语言表达数量关系，课中辅助教学激发兴趣，课后帮助学生回顾强化、查漏补缺。

第2课时　等式性质与不等式性质 课标要求　1.梳理等式的性质，理解不等式的概念．　2.掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题． 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？这就是我们本节课要学习的内容． 思考1　如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什么样的不等关系？ 提示：甲比丙高．如果a>b，b>c，那么a>c. 思考2　如果某月某公司员工甲比乙的薪水高，公司又给他们发了相同数额的奖金，那么这个月甲和乙谁的收入更高？扣除了相同数额的保险费用后呢？ 提示：甲比乙收入高，扣除相同数额的保险费用后仍然是甲比乙收入高． 知识点一　等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝． 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若a2＝b2，则a＝b.(　　) (2)若a(c2＋1)＝b(c2＋1)，则a＝b.(　　) (3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (4)若＝，且c＋d≠0，则＝.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(多选)若ma＝mb，则下列等式一定成立的是(　　) A．a＝b B．ma－3＝mb－3 C．－ma＝－mb D．ma＋8＝mb＋8 解析：选BCD．当m＝0时，a＝b不一定成立；根据等式的性质3可知ma－3＝mb－3，ma＋8＝mb＋8均成立；根据等式的性质4可知，－ma＝－mb成立． 【感悟提升】　(1)性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递性． (2)性质3，4，5反映了等式对四则运算的不变性，运算中的不变性就是性质． 知识点二　不等式的性质 性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. 性质2　如果a>b，b>c，那么a>c. 即a>b，b>c⇒a>c． 性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 由性质3可得a＋b>c⇒a>c－b． 性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc． 性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d． 性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd． 性质7　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2). 　(多选)如果a<b<0，c<d<0，那么下面不等式一定成立的是(　　) A．a＋d<b＋c　　　　　 B．ac>bd C．ac2>bc2 D．< 【解析】　对于A，取a＝－3，b＝－2，c＝－6，d＝－5，满足a<b<0，c<d<0，但a＋d＝b＋c，故A不一定成立；对于B，由a<b<0，c<d<0， 得－a>－b>0，－c>－d>0， 根据不等式的性质有ac>bd，故B一定成立；对于C，因为a<b，c2>0，根据不等式的性质有ac2<bc2，故C不成立；对于D，因为c<d<0，a<0，根据不等式性质有>，故D一定成立． 【答案】　BD 【感悟提升】　利用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要凭想当然随意捏造性质． (2)解决有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 　1.已知a>b，则下列关系中正确的是(　　) A．a－c>b－c B．ac>bc C．|a|>|b| D．a2>b2 解析：选A．由a>b，得a－c>b－c，故A正确；当c＝0时，ac＝bc，故B错误；当a＝－3，b＝－7时，a>b，而|a|＝3，|b|＝7，则|a|<|b|，a2＝9，b2＝49，则a2<b2，故C，D错误． 2．(多选)已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是(　　) A．如果a>b，那么< B．如果ac<bc，那么a<b C．如果a>b，那么> D．如果c>a>b>0，那么0<< 解析：选CD．对于A，B，取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足条件． 有>，a>b，故A，B是假命题； 对于C，因为c≠0，所以>0，由不等式的性质4知，C是真命题； 对于D，由a>b>0，得－a<－b<0，所以0<c－a<c－b， 不等式两边同乘，得0<<，故D是真命题． 应用点一　利用不等式的性质证明不等式 　(对接教材例2)(1)(2026·邯郸月考)若a>b>0，c<d<0，e<0，试证：>； (2)若a<b<0，证明<. 【证明】　(1)因为a>b>0，c<d<0， 所以a－c>b－d>0，即(a－c)2>(b－d)2>0，所以<，因为e<0，所以>. (2)因为－＝＝， 又a<b<0，所以b－a>0，b＋a<0，ab>0，所以<0，所以<. 【感悟提升】　(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 　若a>b>0，c<d<0，证明：>. 证明：因为c<d<0， 所以－c>－d>0， 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0， 则有0<<， 又因为a>b>0， 所以>. 应用点二　利用不等式的性质求代数式的范围 　已知1<a<6，3<b<4，则的取值范围是________，2a－b的取值范围是________． 【解析】　因为3<b<4，所以<<，所以<<2.因为1<a<6，3<b<4，所以2<2a<12， －4<－b<－3，所以2－4<2a－b<12－3，即－2<2a－b<9. 【答案】　<<2　－2<2a－b<9 母题探究1　本例条件不变，则－的取值范围为________． 解析：因为1<a<6，3<b<4，所以<<1，所以<<4，所以－4<－<－，所以－8<－<－1. 答案：－8<－<－1 母题探究2　若将本例条件变为“－6<a<8，2<b<3”，求2a－b，的取值范围． 解：因为－6<a<8，2<b<3， 所以－12<2a<16，－3<－b<－2， 所以－15<2a－b<14. 又<<， 当0≤a＜8时，0≤<4； 当－6<a<0时，0<－a<6，所以0<－<3，所以－3<<0. 综上可得－3<<4. 【感悟提升】　利用不等式的性质求代数式的取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 　若1<a<3，－4<b<2，则z＝a－|b|的取值范围是(　　) A．{z|－3<z≤3} B．{z|－3<z<5} C．{z|－3<z<3} D．{z|1<z<4} 解析：选C．由题知0≤|b|<4，则－4<－|b|≤0，又1<a<3，所以－3<a－|b|<3. 1．若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a＋b一定是(　　) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 解析：选B．因为a＞0，b＜0，所以|a|＝a，|b|＝－b.又因为|a|＜|b|，所以a＜－b，则a＋b＜0，所以a＋b一定是负数． 2．(教材P43T8改编)设a，b，c，d∈R，则(　　) A．a>b，c＝d⇒ac<bd B．>⇒a>b C．a3>b3，ab>0⇒< D．a2>b2，ab>0⇒< 解析：选C．用排除法，对于A，显然当c＝d＝0时，结论不成立，A错误；对于B，当c<0时，结论不成立，B错误；对于D，当a＝－2，b＝－1时，结论不成立，D错误． 3．(教材P43T5改编)若－1<u<5，－4<v<2，则－u＋3v的取值范围为________． 解析：由－1<u<5得，－5<－u<1，① 由－4<v<2得，－12<3v<6.② ①②相加得－17<－u＋3v<7. 答案：－17<－u＋3v<7 4．已知a>b>0，求证：>. 证明：因为a>b>0，所以>>0.① 又因为a>b>0，两边同乘正数，得>>0.② 由①②得>. 　 1．已学习：等式的基本性质、不等式的性质及其应用． 2．须贯通：不等式的性质是解不等式或证明不等式的理论依据，变形要等价，条件要满足． 3．应注意：(1)不等式的性质成立的条件； (2)不等式的性质是否具有可逆性． 学科网（北京）股份有限公司 $