2.1 第1课时 不等关系与比较大小课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 本同步练通过基础概念辨析、推理应用深化、综合问题解决三层设计，构建从单一知识点到实际建模的巩固路径，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|不等式定义、符号表示|以选择（如第1题）、填空（如第7题）为主，直接考查核心概念，强化抽象能力| |提升层|比较大小、简单应用|通过多选（如第6题）、解答（如第10题），训练作差法推理与模型意识，衔接基础与综合| |综合层|实际问题建模、方案优化|以货箱安排（第15题）等复杂情境题，培养创新意识与应用能力，适配新授课提升需求|

1．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为　(　　) A．a＋b<0 B．a＋b>0 C．a＋b≤0 D．a＋b≥0 解析：选C．因为非正数小于等于0，则能表示“a与b的和是非正数”的不等式为a＋b≤0. 2．已知a1，a2∈{x|0<x<1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 解析：选B．由题意得0<a1<1，0<a2<1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)>0，故M>N. 3．(2026·邢台联考)在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x，y，则用不等式组表示为(　　) A． B． C． D． 答案：D 4．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，则这辆汽车原来每天行驶的路程x(单位：km)的取值范围是(　　) A．256<x<260 B．x>136 C．136<x<260 D．x<260 解析：选A．根据题意有 解得256<x<260. 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．某人月收入x(单位：元)不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小亮的体重为x kg，小谦的体重为y kg，则小亮比小谦重表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 解析：选BCD．对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；B，C，D正确． 6．(多选)下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋2>2a B．a2＋b2≥2(a－b－1) C．a2＋b2≥ab D．(a＋3)(a－5)>(a＋2)(a－4) 解析：选ABC．对于A，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1>0，故A正确；对于B，a2＋b2－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故B正确；对于C，a2＋b2－ab＝a2－ab＋b2＋b2＝(a－b)2＋b2≥0，故C正确；对于D，因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)，故D错误． 7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x(单位：克)表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为____________． 解析：根据题意知该商品的重量与500克作差的绝对值小于等于1克，所以含绝对值的不等式表示为|x－500|≤1. 答案：|x－500|≤1 8．已知P＝a2－4a＋3，Q＝－4a＋1，则P与Q的大小关系为________． 解析：P－Q＝(a2－4a＋3)－(－4a＋1)＝a2－4a＋3＋4a－1＝a2＋2. 因为a2≥0，所以a2＋2>0，即P－Q>0，所以P>Q. 答案：P>Q 9．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________，当且仅当a＝b＝________时取得最小值． 解析：由重要不等式得a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝±1时等号成立． 答案：2　±1 10．(13分)有学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数． 解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意， 得解得<x<. 因为x∈N*，所以x＝10或x＝11或x＝12，对应的学生人数分别为59，63，67，故宿舍间数和学生人数分别为10间59人或11间63人或12间67人． 11．已知a>0，b>0，M＝＋，N＝，则(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．M与N的大小不能确定 解析：选A．易知M>0，N>0，因为M2－N2＝(＋)2－()2＝2>0，所以M>N. 12．(2026·日照月考)已知P＝a2＋b2＋＋c2，Q＝2a＋2b，则(　　) A．P≤Q B．P＝Q C．P≥Q D．P，Q的大小无法确定 解析：选C．P－Q＝(a2＋b2＋＋c2)－(2a＋2b)＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－)2≥0，故P－Q≥0，所以P≥Q. 13．如图，在一块长为22 m，宽为17 m的矩形地面上，要修建同样宽的两条相互垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分修建草坪，要求草坪的面积不小于300 m2.设道路的宽为x m，根据题意可列出的不等式为__________________________________________. 解析：把所修建的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，草坪面积为(22－x)(17－x)m2. 因为草坪的面积不小于300 m2，所以(22－x)(17－x)≥300. 答案：(22－x)(17－x)≥300 14．(13分)比较下列各组M与N的大小． (1)M＝(ac＋bd)2与N＝(a2＋b2)(c2＋d2)；(5分) (2)M＝与N＝(a>b>0).(8分) 解：(1)M－N＝(a2c2＋2abcd＋b2d2)－(a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2)＝－(ad－bc)2≤0，故M≤N. (2)M－N＝－＝－＝， 因为a>b>0，所以2ab>0，a－b>0，a＋b>0，a2＋b2>0， 则>0，所以M>N. 15．(15分)(2026·江苏期中)火车站有某公司待运的甲种货物1 530 t，乙种货物1 150 t．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35 t甲种货物和15 t乙种货物可装满一节A型货箱，25 t甲种货物和35 t乙种货物可装满一节B型货箱． (1)据此安排A，B两种货箱的节数，共有几种方案？(7分) (2)若每节A型货箱的运费是0.5万元，每节B型货箱的运费是0.8万元，哪种方案的运费最少？(8分) 解：(1)设安排A，B两种货箱分别为x节，y节， 则可列不等式组 解得 因为x∈N，所以或或 所以共有三种方案： 方案一，安排A型货箱28节，B型货箱22节； 方案二，安排A型货箱29节，B型货箱21节； 方案三，安排A型货箱30节，B型货箱20节． (2)共有三种方案，运费分别为： 安排A，B两种货箱分别为28节，22节，运费为28×0.5＋22×0.8＝31.6万元． 安排A，B两种货箱分别为29节，21节，运费为29×0.5＋21×0.8＝31.3万元． 安排A，B两种货箱分别为30节，20节，运费为30×0.5＋20×0.8＝31万元． 易知安排A型货箱30节，B型货箱20节时，运费最少，为31万元． 学科网（北京）股份有限公司 $