2.1 第1课时 不等关系与比较大小-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“不等关系与比较大小”核心内容，从现实情境（交通标志、菜园问题）抽象出不等关系，系统讲解不等式（组）表示方法，通过作差法（变形、判差与0大小）比较实数（式）大小，延伸至重要不等式（a²+b²≥2ab），构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以生活情境导入，如用交通标志引出不等关系，培养数学眼光。作差法通过例题（比较多项式）及母题探究（分类讨论x取值）强化变形技巧，发展数学思维。练习题结合实际（车辆行李规定、加工零件），助学生用数学语言表达问题，课中辅助教学，课后便于巩固查漏。

2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与比较大小 课标要求　1.通过具体情境，体会在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．　2.了解不等式(组)的实际背景．　3.初步会用作差法比较两个数或代数式的大小． 在日常生活中，我们经常看到下列交通标志： 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　三个图的含义分别是什么？ 提示：题图1表示装载高度h不得超过3.5 m；题图2表示行驶速度v不得低于50 km/h；题图3表示车辆总质量m不得超过10 t. 思考2　能用不等式表示上述关系吗？ 提示：题图1：0<h≤3.5；题图2：v≥50；题图3：0<m≤10. 知识点一　不等关系与不等式 1．不等式关系 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤ 　如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不少于110 m2，靠墙的一边长设为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 【解】　由题意知0<x≤18，菜园的另一边长为m，记菜园面积为S，因此S＝x(15－)，由题意可知，S≥110，即x(15－)≥110，所以题中不等关系可用不等式组表示为 【感悟提升】　用不等式(组)表示不等式关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组). 　1.某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于95分，用不等式组表示为(　　) A．　　　　 B． C． D． 解析：选C．x超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95. 2．某铁路公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，若体积不超过73 500 cm3，用数学关系式可表示为(　　) A．a＋b＋c<130且abc<73 500 B．a＋b＋c>130且abc>73 500 C．a＋b＋c≤130且abc≤73 500 D．a＋b＋c≥130且abc≥73 500 解析：选C．由长、宽、高之和不超过130 cm，得a＋b＋c≤130， 由体积不超过73 500 cm3，得abc≤73 500. 知识点二　实数(式)的大小比较 基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0⇔a＞b 如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0⇔a＝b 如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0⇔a＜b 　(对接教材例1)(1)比较2x2－4x＋16与x2＋2x＋6的大小； (2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 【解】　(1)(2x2－4x＋16)－(x2＋2x＋6)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1>0， 故2x2－4x＋16>x2＋2x＋6. (2)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以3x3≤3x2－x＋1. 母题探究　把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1). 因为3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0，所以3x3>3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，所以3x3＝3x2－x＋1； 当x<1时，x－1<0，所以3x3<3x2－x＋1. 【感悟提升】　作差法比较大小的步骤 注意　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断差与0的大小”是目的，“变形”是关键．变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 　(2026·阜阳期中)设m，n为不相等的实数，比较mn－m2与n2－mn的大小． 解：两式作差可得，mn－m2－(n2－mn)＝m(n－m)－n(n－m)＝(n－m)(m－n). 因为m，n为不相等的实数， 所以(n－m)(m－n)＝－(m－n)2<0， 所以mn－m2<n2－mn. 知识点三　重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 　已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b. 【证明】　a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)·(a2－2ab＋b2). 因为a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，所以a＋b>0， a2＋b2－2ab≥0，所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. 【感悟提升】　在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质． 　已知a＞0，求证：a＋≥2. 证明：方法一：因为a2＋b2≥2ab，a＞0， 所以a＋＝()2＋()2≥2·＝2，当且仅当a＝1时，等号成立． 方法二：因为a＋－2＝()2＋()2－2＝(－)2≥0，所以a＋≥2. 1．(教材P40T1(1)改编)高速公路要求车辆的行驶速度v的最大值为120 km/h，当车速不低于100 km/h时，同一车道上的车间距d不得小于100 m，用不等式表示为(　　) A．100 km/h≤v≤120 km/h且d≥100 m B．100 km/h≤v≤120 km/h或d≥100 m C．100 km/h≤v≤120 km/h D．d≥100 m 答案：A 2．(教材P40T2改编)若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是(　　) A．a>b B．a<b C．a≥b D．a，b大小不确定 解析：选B．b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a<b. 3．在不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________． 解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即( a－2)2＝0，所以a＝2. 答案：a＝2 4．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，若以后平均每天至少加工x个零件，才能在规定的时间内超额完成任务．则此问题应满足的不等式是____________． 解析：由题得加工(15－3)天共加工12x个零件， 15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408. 故不等式为72＋12x>408. 答案：72＋12x>408 　 1．已学习：不等关系与不等式、作差法比较大小及重要不等式． 2．须贯通：作差法比较大小的关键是差式变形，常用方法：(1)因式分解；(2)配方. 其实质是比较差与零的大小． 3．应注意：实际问题中变量的实际意义． 学科网（北京）股份有限公司 $