1.5.1 全称量词与存在量词课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 本同步练聚焦全称与存在量词，通过基础概念辨析、简单应用及综合拓展三层设计，实现从单一知识点到跨知识综合应用的巩固路径，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-3题）|量词命题识别与真假判断|单选形式直接考查概念，如矩形外接圆命题类型判断| |提升层（4-9题）|量词命题与不等式、方程结合|填空与单选结合，涉及参数范围求解，如存在性命题中m的取值| |综合层（10-15题）|量词与集合、函数综合应用|多选及解答题考查跨知识整合，如集合包含关系中的量词应用|

1．对命题“矩形都有外接圆”的叙述正确的是(　　) A．全称量词命题、假命题 B．全称量词命题、真命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 解析：选B．命题“矩形都有外接圆”即“所有的矩形都有外接圆”，为全称量词命题，且为真命题． 2．“关于x的不等式ax＋b>0有解”等价于(　　) A．∃x∈R，使得ax＋b>0成立 B．∃x∈R，使得ax＋b≤0成立 C．∀x∈R，ax＋b>0成立 D．∀x∈R，ax＋b≤0成立 解析：选A．“关于x的不等式ax＋b>0有解”等价于“∃x∈R，使得ax＋b>0成立”． 3．(2026·西安质检)下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－3x＋5>0 B．任意两个无理数之和仍是无理数 C．∃x∈R，x2－3x＋>0 D．至少存在两个质数的平方是偶数 解析：选C．A，B选项是全称量词命题，不符合题意；C，D选项是存在量词命题，对于C，存在x＝0使得x2－3x＋＝>0，C为真命题，故C符合题意；对于D，质数中只有2的平方是偶数，D为假命题，故D不符合题意． 4．已知命题p：存在实数x∈{x|2≤x≤4}，使2x＋5－m＜0成立．若命题p为真命题，则实数m的取值范围为(　　) A．m＞9 B．m＞13 C．m＞10 D．m＜－12 解析：选A．命题p为真命题时，存在实数x∈{x|2≤x≤4}，使m＞2x＋5，则m＞(2x＋5)min＝9，所以m＞9. 5．(多选)下列四个命题中是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x4＋2>0 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈Z，|x|∈N D．∃x∈Z，1<4x<3 解析：选AC．对于A，因为∀x∈R，x4≥0，可得x4＋2>0，即A为真命题；对于B，易知当5x＋1＝0时，x＝－不是整数，即不存在x∈Z，5x＋1＝0，所以B为假命题；对于C，∀x∈Z，|x|∈N，故C为真命题；对于D，解不等式1<4x<3可得<x<，显然不存在x∈Z，1<4x<3，所以D为假命题． 6．(多选)(2026·咸阳期中)下列选项中能证明命题“∃x，y∈R，x2＋y2－2x＝1”为真命题的是(　　) A．x＝0，y＝1 B．x＝0，y＝－1 C．x＝－2，y＝1 D．x＝2，y＝1 解析：选ABD．对于A，当x＝0，y＝1时，x2＋y2－2x＝1，为真命题； 对于B，当x＝0，y＝－1时，x2＋y2－2x＝1，为真命题； 对于C，当x＝－2，y＝1时，x2＋y2－2x＝9≠1，为假命题； 对于D，当x＝2，y＝1时，x2＋y2－2x＝1，为真命题． 7．命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”可用符号表示为__________________． 解析：“有一个”是存在量词，所以是存在量词命题，即可表示为∃x∈R，使x2＋2x＋3＝0. 答案：∃x∈R，使x2＋2x＋3＝0 8．若对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析：对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. 答案：a≤3 9．命题“∃x∈R，x2＋2x＋a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是____________． 解析：因为∃x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，故Δ＝4－4a≥0，解得a≤1， 故实数a的取值范围是a≤1. 答案：a≤1 10．(13分)用数学符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当x>0时，x2－2x＋2≥0；(4分) (2)自然数不都是正整数；(4分) (3)至少存在一个实数x，使得x2>0.(5分) 解：(1)命题表示为“∀x>0，x2－2x＋2≥0”． 因为x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以该命题为真命题． (2)命题表示为“∃x∈N，x∉N*”． 因为0∈N，0∉N*，所以该命题为真命题． (3)命题表示为“∃x∈R，x2>0”． 因为22＝4>0，所以该命题为真命题． 11．若“∀x∈{x|－2<x<4}，一次函数y＝2x－m的图象总在x轴下方”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m<8 B．m≤8 C．m>8 D．m≥8 解析：选D．由题意可知对∀x∈{x|－2<x<4}，2x－m<0恒成立， 则m>(2x)max，而－4<2x<8， 所以m≥8. 12．(多选)下列命题是真命题的有(　　) A．设A，B为两个集合，若A⊆B，则对任意x∈A，都有x∈B B．设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在x∈A，使得x∉B C．∀x∈{x|x是无理数}，x2是有理数 D．∃x∈{x|x是无理数}，x3是无理数 解析：选ABD．对于选项A，根据A⊆B的定义可知，任意x∈A，都有x∈B，故A为真命题；对于选项B，若A不包含于B，则存在x∈A，使得x∉B，故B为真命题；对于选项C，π是无理数，而π2还是无理数，故C为假命题；对于选项D，π是无理数，而π3还是无理数，故D为真命题． 13．根据下述事实，写出一个含有量词的命题是____________________． 13＝12， 13＋23＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2， … 解析：由题知，一个含有量词的命题是∀n∈N*，13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2. 答案：∀n∈N*，13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 14．(13分)已知集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|m－1≤x≤2m＋3}，若∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1＝x2，求整数m的取值集合． 解：因为∀x1∈A，∃x2∈B，使得x1＝x2，所以A⊆B．所以解得0≤m≤2.又因为m∈Z，所以整数m的取值集合为{0，1，2}． 15．(15分)已知非空集合A＝{x|a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}． (1)若∀x∈A，则x∈B，求实数a的取值范围；(5分) (2)是否存在实数a，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．(10分) 解：(1)由∀x∈A，则x∈B，可知A⊆B，又因为A≠∅，所以解得－1≤a≤.所以，实数a的取值范围为 {a}． (2)存在实数a∈，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题，理由如下： 因为A≠∅，所以a－1≤2a＋3，解得a≥－4. 假设命题“∃x∈B，x∈A”是真命题，则A∩B≠∅. 当A∩B＝∅时，有或解得－4≤a<－或a>5， 又因为a≥－4，所以当－≤a≤5时，A∩B≠∅，此时满足∃x∈B，x∈A， 即存在实数a∈，使命题“∃x∈B，x∈A”是真命题． 学科网（北京）股份有限公司 $