3.4 函数的应用(一)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦一次函数、二次函数、幂函数及分段函数模型的应用，通过调运、销售等实际问题导入，衔接函数概念与模型应用，以例题解析、感悟提升、训练题为支架，引导学生掌握建模方法。 其亮点在于结合真实情境例题（如调运方案优化、销售利润计算），用数学眼光观察现实问题，通过建模过程培养数学思维，以函数表达式精准表达实际关系。采用递进式教学，小结强化建模意识，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

3．4　函数的应用(一) 课标要求 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题. 　2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题． 返回导航 内 容 索 引 应用点一　 1 1 应用点二 2 应用点三 3 应用点四 4 应用点一　一次函数模型 第一部分 4 例1　(对接教材例1)某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运一台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A地、B地的运费分别为300元和500元．设从乙地调运x台至A地，总运费为y元． (1)求总运费y关于x的函数关系式； 【解】　y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800×[12－(10－x)]＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈N). 返回导航 (2)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？ 【解】　当y≤9 000时，200(x＋43)≤9 000，解得x≤2.又x∈N，所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案，使总运费不超过9 000元． (3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费． 【解】　由(1)知，当x＝0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调运至B地，甲地调运2台至B地，调运10台至A地，这时总运费为8 600元． 返回导航 【感悟提升】　用一次函数模型解决实际问题的原则和关注点 (1)原则：一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也较简单． (2)关注点：用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图象的应用题，可先结合图象利用待定系数法求出解析式． 返回导航 　　　　某校高一(8)班共有学生50人，据统计，原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净水的销售价x(单位：元/桶)与年购买总量y(单位：桶)之间满足如图所示的关系． 训练 返回导航 (1)求y与x的函数关系式； 返回导航 (2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比，哪一种更省钱？ 解：当a＝120时，若购买饮料，则总费用为120×50＝6 000元； 若集体改饮桶装纯净水，设所有的费用为w元， 由380＝－80x＋720，得x＝4.25. 所以w＝380×4.25＋780＝2 395元<6 000元， 所以该班学生集体改饮桶装纯净水更省钱． 返回导航 应用点二　二次函数模型 第二部分 11 例2　(2026·扬州月考)某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示． 返回导航 (1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式． 返回导航 (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 【解】　若该主播按单价不低于成本价24元， 且不高于50元销售， 则y＝－2x＋160(24≤x≤50)， 则利润z＝(－2x＋160)(x－24)＝－2x2＋208x－3 840＝－2(x－52)2＋1 568(24≤x≤50)，其图象开口向下， 所以当x＝50时，利润z取得最大值，为－2×502＋208×50－3 840＝1 560， 所以当销售单价定为50元时利润最大，最大利润是1 560元． 返回导航 【感悟提升】　根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． 返回导航 训练 　　　　如图，一个长为5、宽为3的矩形被平行于边的两条直线所割，其中矩形的左上角是一个边长为x的正方形，则阴影部分面积的最小值为________． 解析：由题意可知， S阴影＝x2＋(5－x)(3－x)＝2x2－8x＋15＝2(x－2)2＋7，所以当x＝2时，S阴影有最小值，最小值为7. 7 返回导航 第三部分 应用点三　幂函数模型 AC 返回导航 【解析】　依题意可设v＝kr4，k>0. 当气体在半径为5 cm的管道中时，流量为1 250 cm3/s，所以1 250＝k×54，解得k＝2，则v＝2r4.当r＝3时，v＝162，故A正确，B错误； 由2r4≥512，解得r≥4，故C正确，D错误． 返回导航 【感悟提升】　幂函数模型应用题常见题型及解题策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意直接列出相应的函数关系式． (3)结合幂函数的性质求解． 返回导航 训练 125 　　　　某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入费用x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)的关系满足y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年广告投入费用为3万元，药品利润为27万元，若今年广告投入费用为5万元，预计今年药品利润为________万元． 解析：由已知广告投入费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故y＝x3，所以当x＝5时，y＝125. 返回导航 应用点四　分段函数模型 第四部分 22 例4　(对接教材例2)(2026·平顶山期中)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为80元，出厂单价为120元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.04元．根据市场调查，销售商一次订购不会超过600件．设一次订购x件服装的实际出厂单价为P元． (1)写出P关于x的函数表达式； 返回导航 (2)当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？ 返回导航 【感悟提升】　(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再下结论． 返回导航 训练 　　　　某超市引进A，B两类有机蔬菜．在当天进货都售完的前提下，A类有机蔬菜的纯利润为3元/千克，B类有机蔬菜的纯利润为5元/千克．若当天出现未售完的有机蔬菜，次日将以5折售出，此时售出的A类蔬菜的亏损为1元/千克，B类蔬菜的亏损为3元/千克．已知当天未售完的有机蔬菜，次日5折促销都能售完．假设该超市A，B两类有机蔬菜当天共进货100千克，其中A类有机蔬菜进货x(x∈N，30≤x≤70)千克，假设A，B类有机蔬菜进货当天可售完的重量均为50千克． 返回导航 (1)试求进货当天及次日该超市这两类有机蔬菜的总盈利f(x)(单位：元)的表达式； 返回导航 (2)若f(x)≥322，求x的取值范围． 解：当x∈N，30≤x≤50时，由6x＋100≥322， 解得37≤x≤50，x∈N；当x∈N，50<x≤70时，由700－6x≥322，解得50<x≤63，x∈N.故x的取值范围是{x∈N|37≤x≤63}． 返回导航 D 课堂巩固自测 1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的函数关系式是(　　) A．y＝2t B．y＝120t C．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0) 解析：因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则所求函数关系式是y＝120t(t≥0). 返回导航 D 2．(教材P95T2改编)如图，动物园要靠墙(足够长)建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36 m，若设禽舍宽为x m，则当所建造的禽舍总面积最大时，x的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 返回导航 解析：由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为(36－3x) m，0<x<12，设所建造的禽舍总面积为y m2，则y＝(36－3x)·x＝－3x2＋36x＝－3(x－6)2＋108，当x＝6时，y取最大值，所以当所建造的禽舍总面积最大时，x的值为6. 返回导航 C 返回导航 返回导航 AC 4．(多选)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水量与时间的关系如图1，图2.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图3.则下列说法中一定正确的有(　　) A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点总蓄水量降低 D．4点到6点不进水不出水 返回导航 3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B一定不正确，C一定正确； 4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D不一定正确． 返回导航 课堂小结 1．已学习：一次函数、二次函数、幂函数及分段函数的模型． 2．须贯通：解决函数实际应用问题时应有建模意识，要综合应用图形、图象等有关信息，常采取待定系数法求解函数的解析式． 3．应注意：函数模型的定义域易忽略自变量需满足的实际意义． 返回导航 $