2.3 第1课时 一元二次不等式的解法-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的概念及解法，通过四个具体不等式实例导入，引导学生观察未知数个数与最高次数，衔接二次函数与方程知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于借助二次函数图象与方程根的关系（数形结合）培养数学眼光的几何直观，通过含参数不等式分类讨论（如例2分a=0、a>0等情况）发展数学思维的推理能力，步骤化总结（解不等式五步）强化数学语言表达。学生能提升直观理解与逻辑推理，教师可利用即时练和巩固题高效教学。

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式的解法 课标要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．　2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 返回导航 给出下面四个不等式： (1)x2－x－6>0；(2)x2－x－6≤0； (3)－x2＋2x≥0；(4)2x2＋ax＋5<0(a为常数). 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考　四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：都含有一个未知数且未知数的最高次数是2. 返回导航 新课导入 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 应用点 3 知识点一　一元二次不等式 第一部分 5 1．一般地，我们把只含有____未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式是___________________或___________________，其中a，b，c均为常数，a≠0. 3．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的______叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 一个 2 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 实数x 返回导航 × 即时练 × × 返回导航 2．若(2m－1)x2＋x－1≥0是关于x的一元二次不等式，则m的取值范围是_____________． 返回导航 1 返回导航 【感悟提升】　一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数). (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 返回导航 知识点二　一元二次不等式的解法 第二部分 11 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 类别 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象       返回导航 {x|x<x1，或x>x2} R {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 返回导航 例1　(对接教材P52例1、例2、例3)解下列不等式： (1)x2－7x＋12>0； 【解】　方程x2－7x＋12＝0的根为x1＝3，x2＝4. 根据函数y＝x2－7x＋12的图象(图1)，可得原不等式的解集为{x|x<3，或x>4}． 返回导航 (2)－x2－2x＋3≥0； 【解】　不等式两边同时乘－1，得x2＋2x－3≤0. 方程x2＋2x－3＝0的根为x1＝－3，x2＝1. 根据函数y＝x2＋2x－3的图象(图2)，可得原不等式的解集为{x|－3≤x≤1}． 返回导航 (3)x2－2x＋1<0； 【解】　方程x2－2x＋1＝0有两个相同的根x1＝x2＝1. 根据函数y＝x2－2x＋1的图象(图3)，可得原不等式的解集为∅. (4)x2－2x＋2>0. 【解】　因为Δ＝－4<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数根． 根据y＝x2－2x＋2的图象(图4)，可得原不等式的解集为R. 返回导航 【感悟提升】　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； (2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算一元二次方程的判别式； (3)求实根：根据判别式说明方程有无实根，若有实根则求出相应的一元二次方程的根； (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． 返回导航 训练 　　　　解下列不等式： (1)(2x－1)(x＋3)＜0； 返回导航 (2)2x2＜x－1； 解：原不等式可化为2x2－x＋1＜0，因为Δ＝－7＜0，所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，作出二次函数y＝2x2－x＋1的图象，如图2所示．根据图象得不等式2x2－x＋1＜0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅. 返回导航 (3)－6x2－x＋2≤0. 返回导航 第三部分 应用点　含参数的一元二次不等式的解法 例2　解关于x的不等式(ax－2)(x＋1)≥0(x∈R，a≥0). 返回导航 母题探究　若把本例中的“a≥0”改为“a<0”，求该不等式的解集． 返回导航 【感悟提升】　解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数：二次项若含有参数，应讨论其是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； (2)判断方程根的个数：判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； (3)写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式． 返回导航 训练 　　　　求关于x的不等式x2＋(a－2)x－2a≤0的解集． 解：由x2＋(a－2)x－2a≤0可得(x＋a)(x－2)≤0， 当－a＝2，即a＝－2时，由(x－2)2≤0知，x＝2； 当－a>2，即a<－2时，解得2≤x≤－a； 当－a<2，即a>－2时，解得－a≤x≤2. 综上，当a<－2时，不等式的解集为{x|2≤x≤－a}； 当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝2}； 当a>－2时，不等式的解集为{x|－a≤x≤2}． 返回导航 课堂巩固自测 AD 返回导航 D 返回导航 解析：由题可得－x2＋x＋12＞0，可转化为x2－x－12＜0， 解得－3＜x＜4. 所以x的取值范围为{x|－3＜x＜4}． {x|－3＜x＜4} 返回导航 返回导航 课堂小结 1．已学习：一元二次不等式的概念及解法，含参数的一元二次不等式的解法． 2．须贯通：解不含参数的一元二次不等式常利用数形结合法；解含参数的一元二次不等式有时需要分类讨论． 3．应注意：解含参数的一元二次不等式时参数的分类讨论标准． 返回导航 类别 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根　 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ___________________ ________________ ____ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 __________________ ____ ____ $