2.1 第1课时 不等关系与比较大小-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦不等关系与不等式、作差法比较大小及重要不等式，通过交通标志情境导入，引导学生从现实问题抽象出不等关系，再结合符号语言转换、实际问题不等式表示，搭建从现实到数学抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如交通标志中的不等关系），通过作差法变形（因式分解、配方）培养数学思维，用不等式组表示实际问题发展数学语言。例题与训练结合，母题探究深化理解，帮助学生形成逻辑推理能力，教师可高效开展教学。

第二章　一元二次函数、方程 和不等式 2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与比较大小 课标要求 1.通过具体情境，体会在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．　2.了解不等式(组)的实际背景．　3.初步会用作差法比较两个数或代数式的大小． 返回导航 在日常生活中，我们经常看到下列交通标志： 根据左面的“新课导入”完成下面的思考． 思考1　三个图的含义分别是什么？ 提示：题图1表示装载高度h不得超过3.5 m；题图2表示行驶速度v不得低于50 km/h；题图3表示车辆总质量m不得超过10 t. 思考2　能用不等式表示上述关系吗？ 提示：题图1：0<h≤3.5；题图2：v≥50；题图3：0<m≤10. 返回导航 新课导入 问题思考 内 容 索 引 知识点一　 1 1 知识点二 2 知识点三 3 知识点一　不等关系与不等式 第一部分 6 1．不等式关系 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号 语言 ＞ ＜ ≥ ≤ 返回导航 例1　如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不少于110 m2，靠墙的一边长设为x m．试用不等式表示其中的不等关系． 返回导航 返回导航 【感悟提升】　用不等式(组)表示不等式关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组). 返回导航 训练 C 返回导航 解析：x超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95. 返回导航 2．某铁路公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a，b，c(单位：cm)，若体积不超过73 500 cm3，用数学关系式可表示为(　　) A．a＋b＋c<130且abc<73 500 B．a＋b＋c>130且abc>73 500 C．a＋b＋c≤130且abc≤73 500 D．a＋b＋c≥130且abc≥73 500 解析：由长、宽、高之和不超过130 cm，得a＋b＋c≤130， 由体积不超过73 500 cm3，得abc≤73 500. C 返回导航 知识点二　实数(式)的大小比较 第二部分 14 基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么______ a－b＞0⇔______ 如果a－b等于0，那么______ a－b＝0⇔______ 如果a－b是负数，那么______ a－b＜0⇔______ a＞b a＞b a＝b a＝b a＜b a＜b 返回导航 例2　(对接教材例1)(1)比较2x2－4x＋16与x2＋2x＋6的大小； 【解】　(2x2－4x＋16)－(x2＋2x＋6)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1>0， 故2x2－4x＋16>x2＋2x＋6. (2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 【解】　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以3x3≤3x2－x＋1. 返回导航 母题探究　把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1). 因为3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0，所以3x3>3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，所以3x3＝3x2－x＋1； 当x<1时，x－1<0，所以3x3<3x2－x＋1. 返回导航 【感悟提升】　作差法比较大小的步骤 返回导航 注意　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断差与0的大小”是目的，“变形”是关键．变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 返回导航 训练 　　　　(2026·阜阳期中)设m，n为不相等的实数，比较mn－m2与n2－mn的大小． 解：两式作差可得，mn－m2－(n2－mn)＝m(n－m)－n(n－m)＝(n－m)(m－n). 因为m，n为不相等的实数， 所以(n－m)(m－n)＝－(m－n)2<0， 所以mn－m2<n2－mn. 返回导航 第三部分 知识点三　重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2__2ab，当且仅当______时，等号成立． 例3　已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b. 【证明】　a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)·(a2－2ab＋b2). 因为a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab，所以a＋b>0， a2＋b2－2ab≥0，所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. ≥ a＝b 返回导航 【感悟提升】　在不等式的证明过程中，常将不等式中的字母作适当的代换，转换为重要不等式的形式，呈现其内在结构的本质． 返回导航 训练 返回导航 1．(教材P40T1(1)改编)高速公路要求车辆的行驶速度v的最大值为120 km/h，当车速不低于100 km/h时，同一车道上的车间距d不得小于100 m，用不等式表示为(　　) A．100 km/h≤v≤120 km/h且d≥100 m B．100 km/h≤v≤120 km/h或d≥100 m C．100 km/h≤v≤120 km/h D．d≥100 m 课堂巩固自测 A 返回导航 2．(教材P40T2改编)若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是(　　) A．a>b B．a<b C．a≥b D．a，b大小不确定 解析：b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a<b. B 返回导航 3．在不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为________． 解析：令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，即( a－2)2＝0，所以a＝2. a＝2 返回导航 4．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，若以后平均每天至少加工x个零件，才能在规定的时间内超额完成任务．则此问题应满足的不等式是____________． 解析：由题得加工(15－3)天共加工12x个零件， 15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408. 故不等式为72＋12x>408. 72＋12x>408 返回导航 课堂小结 1．已学习：不等关系与不等式、作差法比较大小及重要不等式． 2．须贯通：作差法比较大小的关键是差式变形，常用方法：(1)因式分解；(2)配方. 其实质是比较差与零的大小． 3．应注意：实际问题中变量的实际意义． 返回导航 $