2.3 一元二次不等式的应用·讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦一元二次不等式的应用核心知识点，先回顾解不等式基础（化标准式、算Δ、求根、写解集），再延伸到实际问题（设、列、解、答）、分式不等式转化（商化积、分母不为0）、恒成立问题（判别式条件、含参讨论）及集合综合应用，形成递进式学习支架。 该资料以数学建模、化归转化、数形结合为特色，通过利润、面积等实际例题构建模型，将分式不等式、恒成立问题转化为一元二次不等式，结合图像与数轴直观分析。课中辅助教师系统教学，课后通过易错提醒和分层练习帮助学生查漏补缺，提升解决问题能力。

2.3　一元二次不等式的应用 2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 一、知识梳理 1．解一元二次不等式（回顾） 化成 ax²＋bx＋c＞0（或＜0）且 a＞0，算 Δ，求根，结合开口向上的图象写解集："大于取两边，小于取中间"。这是本课时所有应用的基础。 2．用一元二次不等式解决实际问题 步骤：设未知数并写清它的实际范围；根据数量关系列出一元二次不等式；解不等式；结合实际意义（如取整数、取正值）写出答案。 要点：① 设未知数时就要想清它的实际范围（如个数为正整数、长度为正、售价不低于成本等）；② 列不等式时把"以上""不低于""不超过""超过"准确对应到 ＞、≥、≤、＞；③ 解出数学解集后，一定要回到实际情境作答，不能只写不等式的解集。 3．分式不等式的转化 形如 ＞0 的分式不等式，利用"两数同号积为正、异号积为负"，可化成一元二次（或一次）不等式： 　　＞0　⟺　(ax＋b)(cx＋d)＞0； 　　≥0　⟺　(ax＋b)(cx＋d)≥0 且 cx＋d0。 注意两点：① 带等号（≥、≤）时分母不能为0，要把分母为0的点从解集中排除；② 若不等式右边不是0（如 …≥1），要先移项通分，使一侧化为0，再转化，切不可直接两边乘以含未知数的分母。 4．一元二次不等式恒成立 ax²＋bx＋c＞0 对一切实数 x 恒成立（a0）的条件是：a＞0 且 Δ＜0（图象开口向上且整个在 x 轴上方）。类似地，ax²＋bx＋c≥0 恒成立的条件是 a＞0 且 Δ≤0。 若二次项系数含参数，要先保证它为正，并单独讨论系数为0退化成一次的情形。求参数时，判别式的条件往往又是一个关于参数的一元二次不等式，接着解它即可。 二、典型例题 例1　实际问题（利润） 某流水线生产的摩托车数量 x（辆）与创造的价值 y（元）满足 y＝−20x²＋2200x。若希望一周内创收 60000 元以上，一周内大约应生产多少辆？ 解：由题意 −20x²＋2200x＞60000。移项整理得 x²－110x＋3000＜0。 方程 x²－110x＋3000＝0 中 Δ＝110²－4×3000＝12100－12000＝100＞0，解得 x₁＝50，x₂＝60。开口向上，＜0 取中间，解集为 {x | 50＜x＜60}。 因为 x 只能取整数，所以一周内生产 51～59 辆时，能获得 60000 元以上的收益。 例2　实际问题（定价） 某杂志提价销售，经分析后归结为解不等式 2x²－13x＋20≤0，其中 x 表示每本杂志的定价（元）。求定价的范围。 解：2x²－13x＋20＝(2x－5)(x－4)。方程的根为 、4。开口向上，≤0 取中间（含端点），解集为 {x | ≤x≤4}。 所以当每本杂志的定价不低于 2.5 元且不超过 4 元时，符合要求。 例3　实际问题（面积） 长 8 m、宽 6 m 的矩形空地，四周留出等宽的花卉带，中间种草坪。若草坪面积不超过总面积的一半，花卉带的宽应满足什么条件？ 解：设花卉带宽 x m（0＜x＜3）。中间草坪是长 (8－2x) m、宽 (6－2x) m 的矩形，总面积 48 m²。 由题意 (8－2x)(6－2x)≤24。展开得 4x²－28x＋48≤24，即 4x²－28x＋24≤0，两边除以4得 x²－7x＋6≤0，(x－1)(x－6)≤0，解得 1≤x≤6。结合实际 0＜x＜3，所以 1≤x＜3，即花卉带宽不小于 1 m。 例4　分式不等式 解不等式 ＞0。 解：分式＞0 等价于分子分母同号，即 (x－1)(x＋2)＞0。两根 −2、1，开口向上取两边，解集为 {x | x＜−2 或 x＞1}。 方法：分式不等式先移项使一侧为0，再把"商的符号"转成"积的符号"，化为一元二次（或一次）不等式；带等号时记得分母不为0。 例5　分式不等式（带等号与移项） （1）解 ≤0；（2）解 ≥1。 解：（1）≤0 ⟺ (2x－1)(x＋3)≤0 且 x＋30。(2x－1)(x＋3)≤0 得 −3≤x≤，去掉 x＝−3，解集为 {x | −3＜x≤}。 （2）右边不是0，先移项通分：－1≥0，即 [(x＋2)－(x－1)]/(x－1)≥0，化简为 ≥0。分子 3＞0，只需分母 x－1＞0（分母不为0取不到等号），解集为 {x | x＞1}。 例6　恒成立求参数 （1）若 x²－2x＋m＞0 对一切实数 x 恒成立，求 m 的取值范围；（2）若 x²＋ax＋1≥0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 解：（1）二次项系数 1＞0，开口向上。要对一切 x 都＞0，需 Δ＜0，即 4－4m＜0，解得 m＞1，即 {m | m＞1}。 （2）开口向上，恒≥0 允许图象与 x 轴相切，需 Δ≤0，即 a²－4≤0，解得 −2≤a≤2，即 {a | −2≤a≤2}。恒＞0 用 Δ＜0，恒≥0 用 Δ≤0，差一个等号。 例7　（恒成立含参数，综合） 若 x²－2ax＋4＞0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 解：二次项系数 1＞0，开口向上。要对一切 x 都＞0，需 Δ＜0。 Δ＝(−2a)²－4×4＝4a²－16＜0，即 a²－4＜0，(a－2)(a＋2)＜0，解得 −2＜a＜2。 这里判别式 Δ＜0 又变成了一个关于参数 a 的一元二次不等式。恒成立问题常常把"求参数"再一次化归为解一元二次不等式，这是本节最典型的综合。 例8　（与集合结合） 已知 M＝{x | 4x²－4x－15＞0}，N＝{x | x²－5x－6＞0}，求 M∩N 与 M∪N。 解：4x²－4x－15＝(2x－5)(2x＋3)＞0，两根 −、，M＝{x | x＜− 或 x＞}；x²－5x－6＝(x－6)(x＋1)＞0，两根 −1、6，N＝{x | x＜−1 或 x＞6}。 在数轴上把 M、N 各自的范围画出来：M∩N 取两者公共部分，M∪N 取两者合起来的部分。得 M∩N＝{x | x＜− 或 x＞6}；M∪N＝{x | x＜−1 或 x＞}。 与集合结合的题，先各自解出不等式得到集合，再借助数轴求交集、并集。 三、数学思想 化归转化：实际问题、分式不等式、恒成立，最后都被转化成会解的一元二次不等式。这是本课时的主线。 数学建模：实际问题要经历"设未知数、列不等式、解、回到实际"的过程，是建模思想的具体体现。 数形结合：恒成立问题用抛物线与 x 轴的位置关系来理解判别式的条件；集合运算用数轴求交并。 四、方法与易错 方法归纳 三类应用都靠"化归"回到会解的一元二次不等式：实际问题——设、列、解、答；分式不等式——移项、转化（商化积）、排除分母为0；恒成立——定开口方向、列判别式。 易错提醒 （1）实际问题解完不回到实际（忘记取整数、取正值、结合定义域）； （2）分式不等式带等号时忘记分母不为0； （3）分式右边不是0时直接两边乘含未知数的分母，造成漏解或增解； （4）恒成立把开口方向与判别式的条件弄错，或把 Δ＜0 与 Δ≤0 混用。 五、易错例析 （1）解 ≤0 时，只写 (2x－1)(x＋3)≤0 就作答，忘了分母不为0。正确做法要去掉 x＝−3，解集 {x | −3＜x≤}。 （2）解 ≥1 时，两边直接乘 (x－1)。由于 x－1 的符号未知，直接乘会漏解或增解。正确做法先移项通分成 ≥0，得 {x | x＞1}。 （3）恒成立问题把 Δ＜0 与 Δ≤0 混用。恒＞0 用 Δ＜0，恒≥0 用 Δ≤0；差一个等号，对应图象是否允许与 x 轴相切。 六、巩固练习 基础题 1．x 取什么实数时， 有意义？ 2．解不等式 ＜0。 3．若 x²＋ax＋4＞0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 提高题 4．解不等式 ≤0。 5．若 x²＋ax＋1≥0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 6．已知 M＝{x | 4x²－4x－15＞0}，N＝{x | x²－5x－6＞0}，求 M∩N 与 M∪N。 7．某商店以每件 8 元进货，售价 x 元时日销 (100－5x) 件。若日利润不低于 40 元，求售价 x 的范围。 8．（选做）若 (a－1)x²＋(a－1)x＋1＞0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。 参考答案 1．要使根号有意义，需 x²＋x－12≥0，即 (x＋4)(x－3)≥0，两根 −4、3，取两边（含端点）：{x | x≤−4 或 x≥3}。 2．分式＜0 等价于分子分母异号：(x＋1)(x－2)＜0，两根 −1、2，取中间：{x | −1＜x＜2}（分母 x−20 已满足）。 3．开口向上，恒＞0 需 Δ＜0，即 a²－16＜0，解得 −4＜a＜4，即 {a | −4＜a＜4}。 4．(2x－1)(x＋3)≤0 且 x＋30，两根 −3、，取中间；去掉 x＝−3：{x | −3＜x≤}。 5．开口向上，恒≥0 需 Δ≤0，即 a²－4≤0，解得 −2≤a≤2，即 {a | −2≤a≤2}。 6．4x²－4x－15＝(2x－5)(2x＋3)＞0，两根 −、，M＝{x | x＜− 或 x＞}；x²－5x－6＝(x－6)(x＋1)＞0，两根 −1、6，N＝{x | x＜−1 或 x＞6}。M∩N＝{x | x＜− 或 x＞6}；M∪N＝{x | x＜−1 或 x＞}。 7．某商店以每件 8 元进货，售价 x 元时日销 (100－5x) 件，日利润不低于 40 元，求售价范围。由 (x－8)(100－5x)≥40 展开得 −5x²＋140x－840≥0，除以 −5 变号 x²－28x＋168≤0。Δ＝784－672＝112＞0，根 14±2；因 ≈2.65，根约 8.71、19.29，故售价约在 8.71～19.29 元。 8．若 (a－1)x²＋(a－1)x＋1＞0 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围。讨论二次项系数：① a＝1 时，原式为 1＞0 恒成立，符合；② a1 时，需 a－1＞0 且 Δ＝(a－1)²－4(a－1)＜0，即 (a－1)(a－5)＜0，得 1＜a＜5。综合 ①②，a 的取值范围是 {a | 1≤a＜5}。（此题为选做，体会二次项系数含参时要讨论系数为0的情形。） 学科网（北京）股份有限公司 $