专题 27.1-27.2 二次函数定义、图像及性质 讲义 2026--2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数核心知识，系统梳理从定义（y=ax²+bx+c，a≠0）到最简式y=ax²、顶点式y=a(x+m)²+h及一般式的图像与性质，构建“定义—图像—性质—综合应用”递进式学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以思维导图总览课程内容，结合中考真题例题精讲，通过知识总结表梳理要点。以篱笆围矩形面积问题培养抽象能力（数学眼光），通过配方法转化及图像性质推理发展推理意识（数学思维），借助图像与系数关系分析强化模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后分层练习助力学生查漏补缺。

专题27.1-27.2 二次函数定义、图像及性质 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解二次函数的定义：掌握一般形式 y = ax² + bx + c（a ≠ 0），能准确判断二次函数。 · 掌握 y = ax² 的图像与性质：能描述开口方向、对称轴、顶点、增减性。 · 掌握 y = a(x + m)² + h 的图像与性质：能由顶点式确定顶点、对称轴，并能与一般式互化。 · 掌握 y = ax² + bx + c 的图像与性质：能利用配方法转化为顶点式，能根据图象判断系数符号。 · 综合应用：能解决与二次函数相关的综合问题（如交点、最值、面积等）。 模块一 · 二次函数的定义 ☆ 1. 二次函数的定义 一般形式： 形如 （、、 为常数，且 ）的函数叫作二次函数；二次函数自变量 的取值范围是一切实数。 · 要点①： 自变量 的最高次数为 2，且二次项系数 。 · 要点②： 函数解析式必须是整式，分母中含 或根号下含 均不是二次函数。 · 要点③： 当 或 时，仍为二次函数（如 、）。 系数识别： · 二次项系数：（ 的系数） · 一次项系数：（ 的系数） · 常数项： 【例1】用长为 20 m 的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过 20 m），围成一个矩形花圃，如图所示。设 ( AB ) 的长为 ( x ) m，花圃的面积为 ( y ) m²，求 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式及自变量 ( x ) 的取值范围。 在矩形 ( ABCD ) 中，( AB = x )，则 ( BC = 20 - 2x )， 所以 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式是即 由边长的实际意义，知 解得；所以，自变量 ( x ) 的取值范围是 ( 0 < x < 10 )。 例题精讲 ·经典题型方法精讲 1．（2026春•浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合y＝ax2+bx+c（a≠0，整式函数）的特征． 【解答】解：A、不是整式，故此选项不符合题意； B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意； C、y是二次函数，故此选项符合题意； D、不是整式，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），并能据此判断函数类型． 2．（2025秋•嘉定区期末）下列y关于x的函数中二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c（a≠0） B． C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝3x﹣9 【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y＝ax2+bx+c（a≠0）符合二次函数的定义，它是二次函数， y，y＝（x﹣2）2﹣x2＝﹣4x+4，y＝3x﹣9不符合二次函数的定义，它们不是二次函数， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2025春•闵行区校级月考）若是关于x的二次函数，则m的值为　﹣2　 ． 【分析】根据二次函数的定义可得m2﹣2＝2且m﹣2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：m2﹣2＝2且m﹣2≠0， 解得：m＝±2且m≠2， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2023秋•嘉定区期末）如果函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 k≠1　 ． 【分析】根据二次函数定义得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数， ∴k﹣1≠0， 解得k≠1． 故答案为：k≠1． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 模块二 · 二次函数 y=ax² 的图象与性质 ☆1：二次函数 y=ax² 的图象 （）的图象是一条 抛物线，具有以下特征： · 顶点： 原点 · 对称轴： 轴（即直线 ） · 开口方向： 由 决定 · → 开口 向上，抛物线有最低点（顶点） · → 开口 向下，抛物线有最高点（顶点） · 开口大小： 由 决定， 越大，开口越 小（越窄）； 越小，开口越 大（越宽）。 ※标准抛物线 和 的顶点均在原点，对称轴为 轴。 ☆2.最简二次函数y=ax²的性质 系数 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ） 顶点坐标 最值 最小值 （） 最大值 （） 增减性 时 随 增大而减小； 时 随 增大而增大 时 随 增大而增大； 时 随 增大而减小 图象特征 最低点为原点 最高点为原点 ☆ 3.知识总结表 核心概念 要点 注意事项 二次函数定义 ， 整式，最高次为2 系数识别 （二次项），（一次项），（常数项） 注意系数为0的情况 图象形状 抛物线，顶点在原点，对称轴为 轴 开口由 决定 开口方向 向上， 向下 — 开口大小 越大，开口越小 比较 即可 增减性 在对称轴两侧相反 结合图象理解 最值 有最小值0； 有最大值0 在 时取得 例题精讲 ·经典题型方法精讲 5．（2025秋•松江区期末）已知抛物线y＝ax2经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是　向上　 ． 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2图象过原点，对称轴为y轴，抛物线y＝ax2经过第二象限， ∴抛物线开口向上， 故答案为：向上． 【点评】本题考查二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质． 6．（2024秋•奉贤区期末）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象． 【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限； 当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标． 7．（2025•浦东新区校级模拟）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝3x2 D．y＝﹣3x2 【分析】根据正比例函数y＝kx，k＜0时，y随x的增大而减小，k＞0时，y随x的增大而增大，二次函数y＝ax2（a≠0），a＞0时，开口向上，在x＜0上，y随x的增大而减小，在x＞0上，y随x的增大而增大，a＜0时，开口向下，在x＜0上，y随x的增大而增大，在x＞0上，y随x的增大而减小，解答即可． 【解答】解：A、正比例函数y＝3x的y随x的增大而增大，故A错误； B、正比例函数y＝﹣3x的y随x的增大而减小，故B正确； C、二次函数y＝3x2的对称轴为x＝0，且开口向上，x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而增大，故C错误； D、二次函数y＝﹣3x2的对称轴为x＝0，且开口向下，x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数，正比例函数的图象与性质，掌握以上性质是解题的关键． 8．（2025秋•闵行区校级月考）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是a＜0　 ． 【分析】根据二次函数的性质得出a的取值范围即可． 【解答】解：由题知， 因为抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是上升的， 所以抛物线的开口向下， 则a的取值范围是a＜0． 故答案为：a＜0． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 9．（2025秋•恩施市校级月考）在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）． （1）求B点的坐标； （2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积． 【分析】（1）先将点A的坐标分别代入抛物线和直线，求得a、b的值，再将两个函数解析式联立得到一元二次方程，解方程求得B点的坐标； （2）设直线与y轴的交点为C，根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC列式计算即可得解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）， 则将点A的坐标代入y＝ax2，解得a；代入yx+b，解得：b＝2； 将两方程联立得：x2x+2，解方程得：x＝2或， 则B点的坐标为（，）； （2）设直线yx+2与y轴的交点为C，则点C（0，2）， 所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC 2×（2） ． 【点评】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，抛物线与直线交点的求法，函数图象上点的坐标特征，（2）把△AOB分成两个三角形求面积更简便． 模块三 · 点二次函数y=a(x+m)²+h ☆1. 二次函数 y=a(x+m)²+h 的图象 顶点式： （） ·顶点坐标： ·对称轴： 直线 ·开口方向： 由 决定 → 开口向上，顶点为最低点 → 开口向下，顶点为最高点 ·开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。 ·最值： 若 ，当 时， 取最小值 ； 若 ，当 时， 取最大值 。 ·增减性： 当 ，对称轴左侧（）递减，右侧递增； 当 ，对称轴左侧递增，右侧递减。 分析：二次函数 、、 的图像 画图：在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数 、 和 的图像。 通过列表、描点和连线，分别画出函数 、 和 的图像，如图 所示。 图例说明（对应图像中的曲线）： 曲线 1：（顶点在 (0, 2)） 曲线 2：（顶点在原点 (0, 0)） 曲线 3：（顶点在 (0, -2)） 三条抛物线开口方向相同（向上），形状完全相同，只是沿 轴方向进行了上下平移。 ☆2. 平移规律（由 y=ax² 到顶点式） · 左右平移： “左加右减” — 向左平移 个单位， 变为 （ 左移）；向右平移则 变为 。 · 上下平移： “上加下减” — 向上平移 个单位，整体加 （ 上移）；向下平移则整体减 。 · 一般规律： 抛物线 的顶点 平移到顶点 ，平移方向由 、 的符号决定。 上图中的三条抛物线的开口方向、对称轴和顶点分别是什么？ 抛物线 ， 与抛物线 分别有什么关系？ 观察图像可以发现，将抛物线 向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线。抛物线 的对称轴仍为 轴，顶点为 。 类似地，抛物线 可由抛物线 向下平移 2 个单位长度得到，对称轴仍为 轴，顶点为 。 观察结论： 的图像可由 的图像向上（）或向下（）平移 个单位得到。 ☆3. 关于坐标轴对称的变换 对称方式 变换后解析式 顶点 对称轴 开口方向 关于 轴对称 反向 关于 轴对称 不变 关于原点对称 反向 ☆4. 知识总结表 核心概念 表达式 顶点 对称轴 开口方向 顶点式 向上， 向下 平移规律 左加右减，上加下减 顶点从原点平移到 — — 关于x轴对称 反向 关于y轴对称 不变 关于原点对称 反向 例题精讲 ·经典题型方法精讲 10．（2025秋•徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 【分析】根据二次根式的性质列出算式，求出a的范围． 【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点， ∴抛物线开口向上， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1， 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟记当二次项系数大于零时，抛物线开口向上是解题的关键． 11．（2025秋•松江区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x的图象上有两点、B（﹣1，y2），那么y1、y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【分析】根据所给二次函数解析式，得出抛物线的开口向上且对称轴为直线x＝1，再结合二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝x2﹣2x， 所以抛物线的开口向上且对称轴为直线x＝1． 因为点、B（﹣1，y2）在该抛物线上， 则1﹣（），1﹣（﹣1）＝2，且， 所以y1＞y2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．（2024秋•黄浦区校级期中）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（，y1）、B（，y2）两个点，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【分析】A、B的坐标两个点的横坐标离对称轴的距离，二次函数图象上点的横坐标离对称轴越近，对应的纵坐标越小；判断出y1、y2的大小关系． 【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+k（a＞0） ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，开口向上． ∵点A横坐标到对称轴的距离是|1|， 点B到横坐标对称轴的距离是|1|， ∴y1＞y2． 故选：B． 【点评】本题考查判断函数值大小，正确掌握二次函数图象的性质是解题关键． 13．（2023秋•浦东新区校级月考）抛物线y＝2（x+1）2﹣3与y轴的交点坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（0，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【分析】令x＝0，代入解析式求出y的值即可． 【解答】解：令x＝0，得：y＝2（0+1）2﹣3＝﹣1， ∴抛物线y＝2（x+1）2﹣3与y轴的交点坐标是（0，﹣1）， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数与y轴的交点，解答本题的关键是明确抛物线与y轴的交点就是x＝0时y的值． 14．（2026•静安区校级模拟）点A（﹣2，y1），B（m，y2）在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象上．若y1＞y2，写出一个符合条件的m的值 　﹣3（答案不唯一）　 ． 【分析】由解析式求得开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质即可得出m＜﹣2或m＞4． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴点A（﹣2，y1）关于直线x＝1的对称点为（4，y1）， ∵点点A（﹣2，y1），B（m，y2）在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象上．且y1＞y2， ∴m＜﹣2或m＞4， ∴m＝﹣3符合题意， 故答案为：﹣3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解题的关键． 15．（2025秋•静安区期末）二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象与y轴交点坐标是　（0，6）　 ． 【分析】根据所给的表达式可得出抛物线的交点坐标，据此可解决问题． 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+2， 当x＝0时，y＝6， ∴函数图象与y轴交点坐标为（0，6）， 故答案为：（0，6）． 【点评】本题考查二次函数的性质，能根据所给表达式得出交点坐标是解题的关键． 16．（2025秋•崇明区期末）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）为二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象上的两点，那么y1　＞　 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【分析】利用开口方向和对称轴判断函数值的大小关系． 【解答】解：二次函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，开口向下时，点离对称轴越近，函数值越大， 点A（﹣1，y1）到对称轴的距离为|﹣1﹣1|＝2，点B（﹣3，y2）到对称轴的距离为|﹣3﹣1|＝4． ∵且2＜4， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查二次函数的性质，关键是利用开口方向和对称轴判断函数值的大小关系． 17．（2026•长宁区二模）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点A（x，y）满足x2＝﹣ny+k，y2＝nx+k，其中x+y≠0，那么称点A为“n﹣优点”．比如当n＝2，k＝12时，点B（2，4）为“2﹣优点”（这是因为满足22＝﹣2×4+12，42＝2×2+12，2+4≠0）．已知点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，且它还是“2026﹣优点”，那么点C的坐标是　（2，2028）或（﹣6，2020）　 ． 【分析】先根据“2026﹣优点”的定义，将两式相减求出x+y＝2026，再结合抛物线方程联立求解点C的坐标． 【解答】解：已知点C（x，y）是“2026﹣优点”，满足： ， 两式相减得： x2﹣y2＝﹣2026y+2026x， （x﹣y）（x+y）＝﹣2026（x+y）， ∵x+y≠0，两边同除以x+y得： x﹣y＝﹣2026， ∴y＝x+2026， 又点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，代入得： x+2026﹣x＝﹣x2﹣3x+2038， 整理得： x2+4x﹣12＝0， 解得： （x+6）（x﹣2）＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣6 对应y值： 当x＝2时，y＝2+2026＝2028，此时x+y＝2023≠0，符合条件； 当x＝﹣6时，y＝﹣6+2026＝2020，此时x+y＝2014≠0，符合条件． 故答案为：（2，2028）或（﹣6，2020）． 【点评】本题考查自定义概念与二次函数的综合应用，熟练掌握定义式的变形化简、解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．（2025•徐汇区模拟）已知一条抛物线的顶点为A（1，3），且经过点B（0，2）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点C（3，t）在该抛物线上，求△ABC的面积． 【分析】（1）设顶点式y＝a（x﹣1）2+3，然后把B点坐标代入求出a，从而确定抛物线解析式； （2）先利用抛物线解析式确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣2x+5，则可确定直线AC与y轴的交点D的坐标，然后根据三角形面积公式，利用S△ABC＝S△CBD﹣S△ABD进行计算即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3， 把B（0，2）代入得2＝a（0﹣1）2+3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3； （2）把抛C（3，t）代入y＝﹣（x﹣1）2+3得t＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1， ∴C（3，﹣1）， 延长CA交y轴于D点，如图， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， 把A（1，3），C（3，﹣1）分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+5， 当x＝0时，y＝﹣2x+5＝5， ∴D（0，5）， ∴S△ABC＝S△CBD﹣S△ABD（5﹣2）×3（5﹣2）×1＝3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 19．（2026春•莱芜区期末）用配方法把二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式． 【解答】解：yx2﹣2x+3 （x2+4x+4）+2+3 （x+2）2+5． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 20．（2026•兰州一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t的图象经过点A（﹣1，t）． （1）求证：a＝t； （2）若该二次函数的最小值为a2﹣4． ①求二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，且m≠﹣2，求证：． 【分析】（1）把点A（﹣1，t）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t进行证明即可； （2）①把二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t利用配方法写成顶点式，在根据二次函数的最小值列出关于a的一元二次方程，解方程求出a，再把a的值代入y＝ax2﹣2ax﹣2t即可； ②根据M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，得到点M，N关于对称轴x＝1对称，从而求出x1+x2，再把x1用x2表示出来，再把M（x1，m）代入二次函数y＝x2﹣2x﹣2，把m+2用x2表示出来，最后将x1＝2﹣x2代入求出m+2，最后把m+2用x2表示出来，最后代入进行证明即可． 【解答】（1）证明：把点A（﹣1，t）代入二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t得： a+2a﹣2t＝t， a+2a＝t+2t， 3a＝3t， ∴a＝t； （2）①y＝ax2﹣2ax﹣2t ＝a（x2﹣2x）﹣2t ＝a（x2﹣2x+1﹣1）﹣2t ＝a（x﹣1）2﹣a﹣2t， 当x＝1时，y＝﹣a﹣2t， ∵该二次函数的最小值为a2﹣4， ∴a2﹣4＝﹣a﹣2t， 由（1）可知a＝t， ∴a2﹣4＝﹣a﹣2a， a2+3a﹣4＝0， （a+4）（a﹣1）＝0， a+4＝0或a﹣1＝0， 解得：a＝﹣4或1， ∵a＞0时有最小值， ∴a＝1， 把a＝t＝1代入y＝ax2﹣2ax﹣2t得：y＝x2﹣2x﹣2， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣2； ②证明：∵M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点， ∴点M，N关于对称轴x＝1对称， ∴， ∴x1+x2＝2， x1＝2﹣x2， ∵M（x1，m）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2图象上， ∴， ∴， 将x1＝2﹣x2代入得： m+2 ＝x2（x2﹣2）， ∴ ． 【点评】本题主要考查了二次函数，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式． 模块四 · 二次函数一般式 ☆ 课程导入 以 为例。 由配方，可得 由配方的结果，可知抛物线 的对称轴是直线 ， 顶点是 。根据二次函数图像的对称性列表，描点，并画出它的图像。 … 1 2 3 … … 0 -1 0 … · 对称轴为直线 （虚线）； · 顶点坐标为 ； · 与 轴交于点 和 ； · 开口向上，经过点 和 。 从图可以看出，在对称轴左侧，二次函数 的图像下降；在对称轴右侧，图像上升。也就是说， 当 时， 随着 的增大而 减小； 当 时， 随着 的增大而 增大； 当 时， 取到 最小值，最小值为 。 一般地，通过配方，二次函数 可以化为 的形式，进而得到其图像与性质。实际上， 将上述与 比较，可得 📐 你能归纳出抛物线 的性质吗？ ☆ 1. 一般式与顶点式的互化 · 一般式： （）。 · 顶点式（配方法）： ，其中 ，。 · 步骤： 提公因式 （注意 为负时提负号）→ 配方（加一次项系数一半的平方）→ 整理成平方形式。 ☆ 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象特征 · 开口方向： 由 决定， 开口向上， 开口向下。 · 开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。 · 对称轴： 直线 。 · 顶点坐标： 。 · 与 轴交点： 。 · 与 轴交点： 令 ，即解 ，判别式 决定交点个数。 ☆ 3. 二次函数 y = ax² + bx + c 的性质 · 增减性： · 时，在对称轴左侧 ， 随 增大而减小；右侧增大而增大。 · 时，在对称轴左侧 ， 随 增大而增大；右侧增大而减小。 · 最值： · 时，在顶点处取最小值 。 · 时，在顶点处取最大值 。 · 对称性： 若 与 在抛物线上，则对称轴 。 ☆ 4. 图象与系数 a、b、c 的关系 · 决定开口方向与大小（）。 · 与 共同决定对称轴位置：、 同号，对称轴在 轴左侧；、 异号，对称轴在 轴右侧（“左同右异”）。 · 决定抛物线与 轴的交点纵坐标， 交于正半轴， 交于负半轴。 · 特殊代数式符号判断： 令 ，得 ；令 ，得 ；令 ，得 ，结合图象对应点的位置判断正负。 ☆ 5. 知识总结表 表达式 对称轴 顶点坐标 开口 最值 向上 向下 ，y最小 ，y最大 向上 向下 ，y最小 ，y最大 系数特征 图象表现 示例结论 开口向上，有最低点 函数有最小值 开口向下，有最高点 函数有最大值 、 同号 对称轴在 轴左侧 “左同” 、 异号 对称轴在 轴右侧 “右异” 与 轴交于正半轴 截距为正 与 轴交于负半轴 截距为负 时 点 在轴上方 时 点 在轴下方 例题精讲 ·经典题型方法精讲 21．（2026春•浦东新区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中不正确的是（　　） A．3a+c＜0 B．a﹣b≤am2+bm（m为任意实数） C．9a﹣3b+c＜0 D．关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：∵该函数的对称轴为1， ∴b＝2a， 当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故A正确； 由题意，当x＝﹣1时，该函数取得最大值，故am2+bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），即am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），故B错误； ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣3时的函数值与当x＝1时的函数值相等， ∵当x＝1时，y＜0， ∴当x＝﹣2时，y＝9a﹣3b+c＜0，故C正确； y＝|ax2+bx+c|的函数图象即为y＝ax2+bx+c的x轴下侧图象翻转到x轴上方，|ax2+bx+c|＝1的根个数即为y＝|ax2+bx+c|图象和y＝1直线的交点个数，根据图象可得为4个． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 22．（2026春•长宁区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（2，1）、B（3，1）和C（4，2），那么a+b+c的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】点A（2，1）和B（3，1）纵坐标相同，因此抛物线的对称轴是这两点横坐标的中点，用顶点式设抛物线方程，代入点A和C求出参数，再展开为一般式计算a+b+c． 【解答】解：∵抛物线过点A（2，1）、B（3，1），两点纵坐标相等， ∴对称轴为：x， 设抛物线的顶点式为：y＝ak（a≠0）． 将点A（2，1），场（4，2）代入，得方程组： ， 化简： ， 两式相减，得： 2a＝1，a， 将a代入a+k＝1，得： k＝1， k， 将顶点式展开： y， （x2﹣5x） x2x x2x+4 ∴a，b，c＝4， ∴a+b+c4＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的对称性和顶点式的应用．熟练利用对称性确定对称轴，再用顶点式求解，是简化计算的关键． 23．（2025秋•静安区期末）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 【分析】判断抛物线上点的纵坐标大小，核心是先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据点到对称轴的水平距离判断． 【解答】解：已知抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m， 二次项系数﹣3＜0，抛物线开口向下，对称轴处取最大值， 点到对称轴距离越近，y值越大，二次函数对称轴公式x， 其中a＝﹣3，b＝12，对称轴为直线x＝2， 各个点到对称轴的距离： 点A：|﹣1﹣2|＝3， 点B：|4﹣2|＝2， 点C：|6﹣2|＝4， 又开口向下，距离越小，y越大， ∵2＜3＜4， 故y2＞y1＞y3， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 24．（2025秋•浦东新区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0．其中正确的选项是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】根据该抛物线开口向下，其对称轴是直线x＝1，可知a＜0，b＝﹣2a＞0，易得ab＜0，故结论①正确；由该抛物线经过点（﹣1，0），且对称轴是直线x＝1，可知当x＝2时，可有y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；当x＝﹣1时，可有y＝a×（﹣1）2﹣b+c＝3a+c＝0，故结论③错误． 【解答】解：根据题意，可知该抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵其对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a＞0， ∴ab＜0，故①正确，符合题意； ∵该抛物线经过点（﹣1，0），且对称轴是直线x＝1， ∴该抛物线经过点（3，0）， ∴当x＝2时，可有y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确，符合题意； ∵该抛物线经过点（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，可有y＝a×（﹣1）2﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＝0，故结论③错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 25．（2025秋•闵行区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可． 【解答】解：①由条件可知b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确； ②∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，②正确； ③∵， ∴2a+b＝0，③错误； ④∵x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，④正确； ⑤当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0，⑤正确， ∴正确的有①②④⑤共4个， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解决此题的关键． 26．（2025秋•徐汇区期末）已知A（﹣1，y1）、B（4，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的两点，那么y1　＜　 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【分析】根据所给二次函数解析式，得出抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向上，再结合二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+c， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向上． 因为A（﹣1，y1）、B（4，y2）在该抛物线上， 则1﹣（﹣1）＝2，4﹣1＝3，且2＜3， 所以y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 27．（2025秋•普陀区月考）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是k　 ． 【分析】根据抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，可知二次函数的开口向下，据此列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降， ∴抛物线开口向下， ∴2k﹣1＜0， 解得k． 故答案为：k． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当a＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小是解答此题的关键． 28．（2026春•上海校级月考）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 m≥4　 ． 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤2时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴直线x2，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+3中，a＝1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴直线x2，即2 解得m≥4． 故答案为：m≥4． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 29．（2024秋•金山区期末）将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为 y＝（x﹣2）2﹣1　 ． 【分析】利用完全平方公式变形即可． 【解答】解：y＝x2﹣4x+3 ＝x2﹣4x+4﹣1 ＝（x﹣2）2﹣1， 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键． 30．（2025秋•闵行区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　1　 ． 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD＝AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD＝AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键． 31．（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0），若A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上． （1）若a＜0时，有x1＜2＜x2且x1+x2＞4，求证：y1＞y2． （2）若，x2＝2a+1，x1≠x2，存在y1＝y2，求a的取值范围． 【分析】（1）当a＜0时，抛物线开口向下，根据二次函数解析式可得对称轴为直线x＝2，根据题意推出x1到对称轴的距离比x2到对称轴的距离小即可解答； （2）根据y1＝y2，可得x1＝x2或x1+x2＝4，代入不等式即可解答． 【解答】解：（1）证明：抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）的对称轴为直线x2， ∵x1+x2＞4， ∴x2﹣2＞2﹣x1， ∵x1＜2＜x2， ∴x2﹣2为B（x2，y2）到抛物线y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0）对称轴直线x＝2的距离， 2﹣x1为A（x1，y1）到抛物线对称轴直线x＝2的距离， ∵a＜0， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ∴y1＞y2； （2）∵y1＝y2 ∴x1＝x2或， 当x1＝x2时，x1＝x2＝2a+1， ∴a＜2a+1a， ∴不等式组无解，并且x1≠x2，舍去； 当时，即x1+x2＝4， ∴x1＝4﹣x2＝4﹣（2a+1）＝3﹣2a， ∴a＜3﹣2aa， ∴不等式组的解集为a＜2且a≠0， 综上，a＜2且a≠0． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 32．（2024•奉贤区三模）在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”． 已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1． （1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法； （2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标； （3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标． 【分析】（1）将图中的抛物线y＝x2向下平移2个单位长，可得抛物线y＝x2﹣2； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到A1（x，x2﹣x），然后代入y＝x2﹣2，得到x2﹣x＝x2﹣2， 解得x＝2，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入y＝x2﹣n，得到x2﹣nx＝x2﹣n，解得x＝1，即可求得点A2的坐标． 【解答】解：（1）将图中的抛物线y＝x2向下平移2个单位长，可得抛物线y＝x2﹣2， 如图： （2）由题意，得点A（x，y）的“关联点”为A1（x，y﹣x）， 由点A（x，y）在抛物线y＝x2上，可得A（x，x2）， ∴， 又∵A1（x，y﹣x）在抛物线y＝x2﹣2上， ∴x2﹣x＝x2﹣2， 解得x＝2． 将x＝2代入，得A1（2，2）； （3）点A（x，y）的“待定关联点”为， ∵在抛物线y＝x2﹣n的图象上， ∴x2﹣nx＝x2﹣n， ∴n﹣nx＝0，n（1﹣x）＝0．又∵n≠0，∴x＝1， 当x＝1时，x2﹣nx＝1﹣n， 故可得A2（1，1﹣n）． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 33．（2026春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点P（m，n）在另一条抛物线y＝x2﹣x+2上运动．该二次函数图象与y轴交于点A．过点P作PB⊥y轴于点B． （1）当m＝1时，求点A和点B的坐标，并求△PAB的面积； （2）当m≥1时，求点A的纵坐标yA的最小值． 【分析】（1）当m＝1，得到点P的横坐标，根据点P在抛物线y＝x2﹣x+2上，求出点P的坐标，进一步得到点B的坐标；根据点A在抛物线y＝（x﹣m）2+n上且在y轴上，即x＝0，即可求出点A的坐标；进而可求出△PAB的面积； （2）根据点A在抛物线y＝（x﹣m）2+n上且在y轴上，即x＝0，则；根据点P（m，n）抛物线y＝x2﹣x+2上，则n＝m2﹣m+2，等量代换，得到求出最值，即可解答． 【解答】解：（1）∵m＝1， ∴P（1，n）， ∵点P在抛物线y＝x2﹣x+2上， ∴n＝12﹣1+2＝2， ∴P（1，2）， ∵过点P作PB⊥y轴于点B， ∴B（0，2）； ∵P（1，2）在抛物线y＝（x﹣m）2+n； ∴y＝（x﹣1）2+2， ∵二次函数图象与y轴交于点A， ∴y＝（0﹣1）2+2＝3， ∴A（0，3）； ∴AB＝1，PB＝1， ∴△PAB的面积为； （2）∵点A在抛物线y＝（x﹣m）2+n上且在y轴上， ∴； ∵点P（m，n）在抛物线y＝x2﹣x+2， ∴n＝m2﹣m+2， ∴， 得到关于m的二次函数，其中a＝2＞0开口向上，对称轴为直线， 当m≥1时，yA随m的增大而增大， ∴当m＝1时，yA有最小值，最小值为：yA＝2﹣1+2＝3． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，掌握其相关知识点是解题的关键． 34．（2026•广州校级模拟）我们约定：若点A为（m，n），点B为（m，m+n），我们称点B是点A的“衍生点”；我们发现：若点A在抛物线C1上，点B始终在抛物线C2上，那么我们称抛物线C2是抛物线C1的“派生抛物线”． （1）点A（3，4）的“衍生点”是　（3，7）　 ；抛物线l：y＝x2+3x﹣2的“派生抛物线”是y＝x2+4x﹣2　 ； （2）已知点A（x，y）在抛物线C1：y＝x2+bx+c图象上，点A的“衍生点”为点B（﹣2，2）．该抛物线的“派生抛物线”C2的顶点为（m，n）．当0≤c≤4时，求n的取值范围； （3）已知点M（t﹣4，y1），N（t+2，y2），P（x3，y3）在抛物线y＝tx2﹣（2t2+1）x+1的“派生抛物线”上，当4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围． 【分析】（1）根据“衍生点”和“派生抛物线”的定义即可求解； （2）根据点A（x，y）的“衍生点”为点B（﹣2，2）．求得y＝4，进而可得c＝2b，根据“派生抛物线”的定义得C2的方程为y＝x2+（b+1）x+2b，求得，即进而可得，根据二次函数的性质，即可得出n的取值范围； （3）若t＜0，开口向下：离对称轴越远函数值越小，应有y1＜y2，与y1＞y2矛盾，舍去；若t＞0，符合题意，由题意得到，结合4＜x3＜5，据此求解即可． 【解答】解：（1）若点A为（m，n），点B为（m，m+n），我们称点B是点A的“衍生点”； 根据“衍生点”定义，点A（3，4）的“衍生点”坐标为：横坐标不变为3， 纵坐标为3+4＝7， 故“衍生点”为：（3，7）； 原抛物线y＝x2+3x﹣2， 设其上任意点A的坐标为（a，a2+3a﹣2），其“衍生点”B的坐标为（a，a+a2+3a﹣2），即（a，a2+4a﹣2）， ∴“派生抛物线”的解析式为y＝x2+4x﹣2； 故答案为：（3，7），y＝x2+4x﹣2； （2）∵点A（x，y）的“衍生点”为点B（﹣2，2）． ∴x＝﹣2，x+y＝2， ∴y＝4， ∴点A（﹣2，4）， 代入抛物线C1：y＝x2+bx+c， 得4＝4﹣2b+c， ∴c＝2b， ∴C1：y＝x2+bx+2b， 设C1上点A（m，n）：n＝m2+bm+2b，“衍生点”为点B（x，y）＝（m，m+n）， 则x＝m，y＝m+n， ∴y＝m+m2+bm+2b＝x2+（b+1）x+2b， C2：y＝x2+（b+1）x+2b，顶点纵坐标为， 由c＝2b，0≤c≤4， 得0≤2b≤4， ∴0≤b≤2， 当b＝0时，n的最小值为， 当b＝2时，n的最大值为， 故n的取值范围为． （3）已知点M（t﹣4，y1），N（t+2，y2），P（x3，y3）在抛物线y＝tx2﹣（2t2+1）x+1的“派生抛物线”上， 原抛物线C1：y＝tx2﹣（2t2+1）x+1， 设A（m，n）在C1，则n＝tm2﹣（2t2+1）m+1， “衍生点”P（x3，y3）＝（m，m+n），即x3＝m，y3＝m+n， ， “派生抛物线”C2：y＝tx2﹣2t2x+1，对称轴为， M（t﹣4，y1）和N（t+2，y2）横坐标到对称轴x＝t的距离为：|t﹣4﹣t|＝4，|t+2﹣t|＝2， 当4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2，分情况讨论： 若t＞0，抛物线开口向上：离对称轴越远函数值越大，y1＞y2符合距离4＞2； y1＞y3＞y2等价于x3到对称轴距离在2和4之间，2＜|x3﹣t|＜4，4＜x3＜5， ∴， 对于|x3﹣t|＜4，即t﹣4＜x3＜t+4，对所有4＜x3＜5成立， ∴，解得1≤t≤8； 对于|x3﹣t|＞2，即x3＞t+2或x3＜t﹣2，对所有4＜x3＜5成立， 若x3＞t+2，即t+2≤4，解得t≤2； 若x3＜t﹣2，即t﹣2≥5，解得t≥7； 结合t＞0与1≤t≤8，得1≤t≤2或7≤t≤8． 若t＜0，开口向下：离对称轴越远函数值越小，应有y1＜y2，与y1＞y2矛盾，舍去； 综上，t的取值范围为1≤t≤2或7≤t≤8． 【点评】本题考查二次函数与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　﹣3　 ． 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【解答】解：如果函数是关于x的二次函数， 由题意，可得 ， 解方程k2﹣7＝2，得k2＝9， 解得k＝3或k＝﹣3； 由k﹣3≠0，得k≠3， 故k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查二次函数的定义，正确进行计算是解题关键． 【练习2】（2025秋•宝山区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣4x+t（t＞0），若点A（0，5），点B（2t，3t+5），且线段AB与该抛物线图象有交点，则t的取值范围是　　 ． 【分析】根据题意，利用待定系数法得出AB的解析式为，再分0＜t＜5、t＝5、t＞5三种情况，结合图象求解即可． 【解答】解：已知抛物线y＝x2﹣4x+t（t＞0），若点A（0，5），点B（2t，3t+5）， ∵y＝x2﹣4x+t＝（x﹣2）2+t﹣4（t＞0）， ∴抛物线的顶点坐标为（2，t﹣4），与y轴交于点C（0，t）， 设AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴AB的解析式为， ①当0＜t＜5时，x＝2t，y＝4t2﹣7t，即E（2t，4t2﹣7t）， ∴4t2﹣7t≥3t+5，即4t2﹣10t﹣5≥0， 解得或， 又∵0＜t＜5， ， ②t＝5时，A（0，5）在抛物线上，符合题意； ③当t＞5时，令，即， ，解得， ∵的对称轴为， 与y轴交于点（0，t﹣5），且t﹣5＞0， ∴当时，在上，方程有一个解， 又∵， ∴时，线段AB与该抛物线图象有交点， 综上，． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． 【练习3】（2026春•虹口区校级期末）抛物线y＝ax2上有一点的横坐标是3，且这点到x轴的距离为5，则函数解析式为yx2或yx2．　 ． 【分析】根据题意求出这个点的坐标为（3，5）或（3，﹣5），然后分别把坐标代入解析式得出a即可． 【解答】解：根据题意知，这个点的坐标为（3，5）或（3，﹣5） 把（3，5）代入y＝ax2，得9a＝5， 解得a， ∴二次函数的解析式是yx2； 把（3，﹣5）代入y＝ax2，得9a＝﹣5， 解得a， ∴二次函数的解析式是yx2； 综上所述，二次函数的解析式是yx2或yx2． 故答案为：yx2或yx2． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，关键是根据题意得到抛物线上这一点的坐标． 【练习4】（2026•虹口区二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为（m，k）和（k，m），我们称C1和C2互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，且C1的顶点在C2上，那么k的值是　2或3　 ． 【分析】依据题意，由抛物线（x﹣k）2+3可得其顶点为（k，3），结合抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，从而C2为y＝（x﹣3）2+k，结合C1的顶点在C2上，可得（k﹣3）2+k＝3，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线（x﹣k）2+3， ∴其顶点为（k，3）． ∵抛物线和C2互为“反顶点抛物线”， ∴C2为y＝（x﹣3）2+k， 又∵C1的顶点在C2上， ∴（k﹣3）2+k＝3． ∴k＝2或3． 故答案为：2或3． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【练习5】（2026•闵行区三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为　直线x＝0　 ． 【分析】根据题意可得，然后即可得到a+c＝0，b＝0，再求出二次函数的对称轴即可． 【解答】解：由题意可得， ， 由上可得a+c＝0，b＝0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x0， 故答案为：直线x＝0． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、新定义，解答本题的关键是明确二次函数图象的对称轴公式． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2025秋•闵行区期末）下列函数中，二次函数是（　　） A． B． C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a≠0），判断各选项是否满足该形式，即可得到答案． 【解答】解：A．yx，为一次函数，不符合题意； B．y，是反比例函数，不符合题意； C．y＝x（2x﹣1）＝2x2﹣x，是二次函数，符合题意； D．y＝（x+4）2﹣x2＝8x+16，为一次函数，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 【作业2】（2025秋•嘉定区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么下列各式中不成立的是（　　） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．a+b+c＜0 【分析】根据抛物线图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点，与x轴的交点，对各选项逐一判断，即可得到结果． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上， ∴a＞0， 故A选项正确，不符合题意； ∵0， ∴＜0， ∴b＜0， 故B选项错误，符合题意； ∵抛物线的图象与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， 故C选项正确，不符合题意； 根据函数图象，当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业3】（2008秋•上海期末）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2） 【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标． 【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式， ∴顶点坐标为（1，2）． 故选：A． 【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．通常有两种方法： （1）公式法：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（，），对称轴是直线x； （2）配方法：将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 【作业4】（2025秋•上海校级期中）已知y关于x的函数解析式y＝（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+m+1，则下列说法正确的是（　　） A．若m＝1，则函数图象平行于y轴 B．若m＝﹣1，则函数图象过原点，且经过一、三象限 C．若m＞1，则函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧 D．若m＜﹣1，则函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧 【分析】根据二次函数的定义和性质，分别计算各选项下函数的表达式，判断开口方向、对称轴位置等． 【解答】解：A、当m＝1时，y＝0•x2+0•x+2＝2，为常数函数，图象平行于x轴，不平行于y轴，∴A错误； B、当m＝﹣1时，y＝0•x2+（﹣2）x+0＝﹣2x，过原点，但斜率k＝﹣2＜0，图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限，∴B错误； C、当m＞1时，a＝m2﹣1＞0，开口向上；b＝m﹣1＞0，对称轴 ，在y轴左侧，∴C错误； D、当m＜﹣1时，a＝m2﹣1＞0，开口向上；b＝m﹣1＜0，对称轴 ，在y轴右侧，D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义和性质，准确分析判断是解题的关键． 【作业5】（2025秋•宝山区校级月考）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限判断出a、b的符号，从而判断出二次函数函数开口方向，对称轴的位置，据此即可判断． 【解答】解：由条件可知：a＜0，b＜0， ∴二次函数y＝ax2+bx的开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，二次函数图象，根据直线判断出函数解析式的系数的符号是解题的关键． 【作业6】（2025秋•普陀区期中）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由二次函数y＝x2﹣a的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b2的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＞0，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； B、线抛物开口应朝上，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＞0，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项正确； D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＞0，则直线图象应过一、二、三象限，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 【作业7】（2025秋•虹口区期末）如果抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下，那么a的取值范围是a＜1　 ． 【分析】利用二次函数的图象及性质，列不等式求解即可． 【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下， ∴a﹣1＜0， 解得：a＜1． 故答案为：a＜1． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．”是解题的关键． 【作业8】（2025秋•嘉定区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，1）和（3，1），那么此二次函数图象的对称轴为直线x＝1　 ． 【分析】根据题意，得出点（﹣1，1）和（3，1）关于抛物线的对称轴对称，据此求出抛物线的对称轴即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，1）和（3，1）， 则点（﹣1，1）和（3，1）关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为直线x． 故答案为：x＝1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业9】（2025•浦东新区校级三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为　3≤k＜4　 ． 【分析】由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点，求得直线与抛物线相切时和直线过点（3，0）时的k的值，结合图象即可求得． 【解答】解：由题意可知二次函数y＝﹣x2+3x的图象与直线y＝k﹣x在0≤x≤3的范围内有两个交点， 令y＝﹣x2+3x＝0，解得x＝0或3， ∴二次函数y＝﹣x2+3x的图象与x轴的交点为（0，0），（3，0）， 令﹣x2+3x＝k﹣x， 方程整理得x2﹣4x+k＝0， 当直线y＝k﹣x与抛物线相切时，Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0， 解得k＝4， 当直线过点（3，0）时，0＝k﹣3， 解得k＝3， ∴若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为3≤k＜4． 故答案为：3≤k＜4． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，数形结合是解题的关键． 【作业10】（2025秋•虹口区期末）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣3，y2）都在二次函数y＝a（x﹣1）2（a＜0）的图象上，那么y1　＜　 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】由a＜0，对称轴为直线x＝1，则当x＜1时，y随x的增大而减小，由增减性质可得答案． 【解答】解：∵a＜0，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵﹣5＜﹣3， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其增减性质是解题关键． 【作业11】（2025秋•黄浦区期末）对于抛物线y＝ax2+bx+c及其所在坐标平面内的点P，当过点P垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把点P称为抛物线y＝ax2+bx+c的内点．现有抛物线和，如果点M既是抛物线L1的内点，又是抛物线L2的内点，那么点M的纵坐标yM的取值范围是　﹣1＜yM＜3　 ． 【分析】首先求得两抛物线的对称轴，然后求得两函数的交点横坐标，确定点M横坐标的范围，进而确定此范围内的M的纵坐标的最大值和最小值即可． 【解答】解：如图，∵L1：y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∴抛物线L1的对称轴为直线x＝1，顶点为（1，3）， ∵L2：yx2x， ∴抛物线L2的对称轴为直线x， 令﹣x2+2x+2x2x， 整理得：x2﹣x﹣2＝0， 解得x＝﹣1或x＝2， ∴两函数的交点的横坐标为﹣1和2， 把x＝﹣1代入y＝﹣x2+2x+2得y＝﹣1， 把x＝2代入y＝﹣x2+2x+2得y＝2， ∴两函数的交点为（﹣1，﹣1）和（2，2）， ∴在﹣1＜x＜2范围内，点M的纵坐标yM的取值范围是﹣1＜yM＜3． 故答案为：﹣1＜yM＜3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 【作业12】（2025•徐汇区一模）已知点A（0，m）和B（﹣1，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+c（c是常数）上，那么m　＜　 n（填“＞”、“＝”、“＜”）． 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，当x＜2时．y随x的增大而减小． ∵0＞﹣1， ∴m＜n． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是关键． 【作业13】（2025秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （2）求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； （3）若点P（t，t2﹣2t﹣3）在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【分析】（1）分别令y＝0和x＝0即可求出答案； （2）把抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）根据P到x轴的距离为2得到∴|t2﹣2t﹣3|＝2，解方程即可求出答案． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）； 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； （2）将解析式配方可得y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∴函数有最小值﹣4． （3）由条件可知|t2﹣2t﹣3|＝2， 即 t2﹣2t﹣3＝2或 t2﹣2t﹣3＝﹣2， 解得或 ． 【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业14】（2025秋•浦东新区期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣4 【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方，凑成完全平方式，即可得二次函数的顶点式，从而可得顶点坐标和对称轴． 【解答】解：y＝2x2﹣4x+1 ＝2（x2﹣2x+1）﹣2+1 ＝2（x﹣1）2﹣1， ∴y＝2（x﹣1）2﹣1， ∴二次函数y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝2（x﹣1）2﹣1． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的三种形式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业15】（2025秋•普陀区期中）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6． （1）求这个函数图象的顶点坐标，并指出它的变化情况； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，该函数图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形OADC的面积． 【分析】（1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况； （2）过点D作DH⊥y轴于点H，求出函数与坐标轴的交点，然后利用割补法求四边形的面积即可． 【解答】解：（1）由条件可知． 把x＝1代入y＝﹣2x2+4x+6，得y＝﹣2×1+4×1+6＝8． ∴这个二次函数图象的顶点坐标是（1，8）． ∵二次函数图象的开口向下， ∴在直线x＝1左侧的部分是上升的，在直线x＝1右侧的部分是下降的； （2）如图所示，过点D作DH⊥y轴于点H， 把y＝0代入y＝﹣2x2+4x+6得﹣2x2+4x+6＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1（舍去）． ∴点A坐标是（3，0）． ∵二次函数图象的顶点坐标是D（1，8），与y轴交点坐标是C（0，6）， 则OC＝6，OH＝8，DH＝1，CH＝2． ∴S四边形OADC ＝15． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 【作业16】（2026•浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E． （1）直接写出抛物线C2的表达式y＝ax2+4ax+4a﹣3　 ； （2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值． 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）根据题意可得方程4a﹣3＝﹣1，求出a的值即可求函数解析式； （3）根据对称轴和范围的位置关系分类讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a＞0）的“孪生抛物线”为C2， ∴y＝ax2+4ax+4a﹣3； 故答案为：y＝ax2+4ax+4a﹣3； （2）当x＝0时，y＝4a﹣3， ∴E（0，4a﹣3）， ∵E（0，﹣1）， ∴4a﹣3＝﹣1， 解得a， ∴yx2+2x﹣1； （3）∵C2的解析式为y＝a（x+2）2﹣3， ∴当x＝﹣2时，y＝﹣3， 当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3； 当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3． 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ，当a﹣4＜﹣2＜a﹣2时，0＜a＜2，且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3； 函数的最小值为﹣3． ∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a， 解得a＝2或a＝2（舍）或a＝0（舍）； 当1＜a＜2时，函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为﹣3． ∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a， 解得a或a（舍）或a＝0（舍）； II，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3， ∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a， 解得a（舍）或a＝0（舍）； III，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去． 综上，a的值为2或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1-27.2 二次函数定义、图像及性质 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解二次函数的定义：掌握一般形式 y = ax² + bx + c（a ≠ 0），能准确判断二次函数。 · 掌握 y = ax² 的图像与性质：能描述开口方向、对称轴、顶点、增减性。 · 掌握 y = a(x + m)² + h 的图像与性质：能由顶点式确定顶点、对称轴，并能与一般式互化。 · 掌握 y = ax² + bx + c 的图像与性质：能利用配方法转化为顶点式，能根据图象判断系数符号。 · 综合应用：能解决与二次函数相关的综合问题（如交点、最值、面积等）。 模块一 · 二次函数的定义 ☆ 1. 二次函数的定义 一般形式： 形如 （、、 为常数，且 ）的函数叫作二次函数；二次函数自变量 的取值范围是一切实数。 · 要点①： 自变量 的最高次数为 2，且二次项系数 。 · 要点②： 函数解析式必须是整式，分母中含 或根号下含 均不是二次函数。 · 要点③： 当 或 时，仍为二次函数（如 、）。 系数识别： · 二次项系数：（ 的系数） · 一次项系数：（ 的系数） · 常数项： 【例1】用长为 20 m 的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过 20 m），围成一个矩形花圃，如图所示。设 ( AB ) 的长为 ( x ) m，花圃的面积为 ( y ) m²，求 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式及自变量 ( x ) 的取值范围。 在矩形 ( ABCD ) 中，( AB = x )，则 ( BC = 20 - 2x )， 所以 ( y ) 关于 ( x ) 的函数表达式是即 由边长的实际意义，知 解得；所以，自变量 ( x ) 的取值范围是 ( 0 < x < 10 )。 例题精讲 ·经典题型方法精讲 1．（2026春•浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 2．（2025秋•嘉定区期末）下列y关于x的函数中二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c（a≠0） B． C．y＝（x﹣2）2﹣x2 D．y＝3x﹣9 3．（2025春•闵行区校级月考）若是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ． 4．（2023秋•嘉定区期末）如果函数y＝（k﹣1）x2+kx﹣1（k是常数）是二次函数，那么k的取值范围是 　 　 ． 模块二 · 二次函数 y=ax² 的图象与性质 ☆1：二次函数 y=ax² 的图象 （）的图象是一条 抛物线，具有以下特征： · 顶点： 原点 · 对称轴： 轴（即直线 ） · 开口方向： 由 决定 · → 开口 向上，抛物线有最低点（顶点） · → 开口 向下，抛物线有最高点（顶点） · 开口大小： 由 决定， 越大，开口越 小（越窄）； 越小，开口越 大（越宽）。 ※标准抛物线 和 的顶点均在原点，对称轴为 轴。 ☆2.最简二次函数y=ax²的性质 系数 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ） 顶点坐标 最值 最小值 （） 最大值 （） 增减性 时 随 增大而减小； 时 随 增大而增大 时 随 增大而增大； 时 随 增大而减小 图象特征 最低点为原点 最高点为原点 ☆ 3.知识总结表 核心概念 要点 注意事项 二次函数定义 ， 整式，最高次为2 系数识别 （二次项），（一次项），（常数项） 注意系数为0的情况 图象形状 抛物线，顶点在原点，对称轴为 轴 开口由 决定 开口方向 向上， 向下 — 开口大小 越大，开口越小 比较 即可 增减性 在对称轴两侧相反 结合图象理解 最值 有最小值0； 有最大值0 在 时取得 例题精讲 ·经典题型方法精讲 5．（2025秋•松江区期末）已知抛物线y＝ax2经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是　 　 ． 6．（2024秋•奉贤区期末）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•浦东新区校级模拟）下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A．y＝3x B．y＝﹣3x C．y＝3x2 D．y＝﹣3x2 8．（2025秋•闵行区校级月考）已知抛物线y＝ax2在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是　 　 ． 9．（2025秋•恩施市校级月考）在同一坐标系内，抛物线y＝ax2与直线yx+b相交于A，B两点，若点A 的坐标是（2，3）． （1）求B点的坐标； （2）连接OA，OB，AB，求△AOB的面积． 模块三 · 点二次函数y=a(x+m)²+h ☆1. 二次函数 y=a(x+m)²+h 的图象 顶点式： （） ·顶点坐标： ·对称轴： 直线 ·开口方向： 由 决定 → 开口向上，顶点为最低点 → 开口向下，顶点为最高点 ·开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。 ·最值： 若 ，当 时， 取最小值 ； 若 ，当 时， 取最大值 。 ·增减性： 当 ，对称轴左侧（）递减，右侧递增； 当 ，对称轴左侧递增，右侧递减。 分析：二次函数 、、 的图像 画图：在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数 、 和 的图像。 通过列表、描点和连线，分别画出函数 、 和 的图像，如图 所示。 图例说明（对应图像中的曲线）： 曲线 1：（顶点在 (0, 2)） 曲线 2：（顶点在原点 (0, 0)） 曲线 3：（顶点在 (0, -2)） 三条抛物线开口方向相同（向上），形状完全相同，只是沿 轴方向进行了上下平移。 ☆2. 平移规律（由 y=ax² 到顶点式） · 左右平移： “左加右减” — 向左平移 个单位， 变为 （ 左移）；向右平移则 变为 。 · 上下平移： “上加下减” — 向上平移 个单位，整体加 （ 上移）；向下平移则整体减 。 · 一般规律： 抛物线 的顶点 平移到顶点 ，平移方向由 、 的符号决定。 上图中的三条抛物线的开口方向、对称轴和顶点分别是什么？ 抛物线 ， 与抛物线 分别有什么关系？ 观察图像可以发现，将抛物线 向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线。抛物线 的对称轴仍为 轴，顶点为 。 类似地，抛物线 可由抛物线 向下平移 2 个单位长度得到，对称轴仍为 轴，顶点为 。 观察结论： 的图像可由 的图像向上（）或向下（）平移 个单位得到。 ☆3. 关于坐标轴对称的变换 对称方式 变换后解析式 顶点 对称轴 开口方向 关于 轴对称 反向 关于 轴对称 不变 关于原点对称 反向 ☆4. 知识总结表 核心概念 表达式 顶点 对称轴 开口方向 顶点式 向上， 向下 平移规律 左加右减，上加下减 顶点从原点平移到 — — 关于x轴对称 反向 关于y轴对称 不变 关于原点对称 反向 例题精讲 ·经典题型方法精讲 10．（2025秋•徐汇区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣1）x2+ax﹣1的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1 11．（2025秋•松江区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x的图象上有两点、B（﹣1，y2），那么y1、y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 12．（2024秋•黄浦区校级期中）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（，y1）、B（，y2）两个点，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定 13．（2023秋•浦东新区校级月考）抛物线y＝2（x+1）2﹣3与y轴的交点坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（0，﹣1） C．（0，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 14．（2026•静安区校级模拟）点A（﹣2，y1），B（m，y2）在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象上．若y1＞y2，写出一个符合条件的m的值 　 　 ． 15．（2025秋•静安区期末）二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象与y轴交点坐标是　 　 ． 16．（2025秋•崇明区期末）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）为二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象上的两点，那么y1　 　 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 17．（2026•长宁区二模）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点A（x，y）满足x2＝﹣ny+k，y2＝nx+k，其中x+y≠0，那么称点A为“n﹣优点”．比如当n＝2，k＝12时，点B（2，4）为“2﹣优点”（这是因为满足22＝﹣2×4+12，42＝2×2+12，2+4≠0）．已知点C在抛物线y＝﹣x2﹣3x+2038上，且它还是“2026﹣优点”，那么点C的坐标是　 　 ． 18．（2025•徐汇区模拟）已知一条抛物线的顶点为A（1，3），且经过点B（0，2）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点C（3，t）在该抛物线上，求△ABC的面积． 19．（2026春•莱芜区期末）用配方法把二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 20．（2026•兰州一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2t的图象经过点A（﹣1，t）． （1）求证：a＝t； （2）若该二次函数的最小值为a2﹣4． ①求二次函数的表达式； ②若M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，且m≠﹣2，求证：． 模块四 · 二次函数一般式 ☆ 课程导入 以 为例。 由配方，可得 由配方的结果，可知抛物线 的对称轴是直线 ， 顶点是 。根据二次函数图像的对称性列表，描点，并画出它的图像。 … 1 2 3 … … 0 -1 0 … · 对称轴为直线 （虚线）； · 顶点坐标为 ； · 与 轴交于点 和 ； · 开口向上，经过点 和 。 从图可以看出，在对称轴左侧，二次函数 的图像下降；在对称轴右侧，图像上升。也就是说， 当 时， 随着 的增大而 减小； 当 时， 随着 的增大而 增大； 当 时， 取到 最小值，最小值为 。 一般地，通过配方，二次函数 可以化为 的形式，进而得到其图像与性质。实际上， 将上述与 比较，可得 📐 你能归纳出抛物线 的性质吗？ ☆ 1. 一般式与顶点式的互化 · 一般式： （）。 · 顶点式（配方法）： ，其中 ，。 · 步骤： 提公因式 （注意 为负时提负号）→ 配方（加一次项系数一半的平方）→ 整理成平方形式。 ☆ 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象特征 · 开口方向： 由 决定， 开口向上， 开口向下。 · 开口大小： 由 决定， 越大开口越窄。 · 对称轴： 直线 。 · 顶点坐标： 。 · 与 轴交点： 。 · 与 轴交点： 令 ，即解 ，判别式 决定交点个数。 ☆ 3. 二次函数 y = ax² + bx + c 的性质 · 增减性： · 时，在对称轴左侧 ， 随 增大而减小；右侧增大而增大。 · 时，在对称轴左侧 ， 随 增大而增大；右侧增大而减小。 · 最值： · 时，在顶点处取最小值 。 · 时，在顶点处取最大值 。 · 对称性： 若 与 在抛物线上，则对称轴 。 ☆ 4. 图象与系数 a、b、c 的关系 · 决定开口方向与大小（）。 · 与 共同决定对称轴位置：、 同号，对称轴在 轴左侧；、 异号，对称轴在 轴右侧（“左同右异”）。 · 决定抛物线与 轴的交点纵坐标， 交于正半轴， 交于负半轴。 · 特殊代数式符号判断： 令 ，得 ；令 ，得 ；令 ，得 ，结合图象对应点的位置判断正负。 ☆ 5. 知识总结表 表达式 对称轴 顶点坐标 开口 最值 向上 向下 ，y最小 ，y最大 向上 向下 ，y最小 ，y最大 系数特征 图象表现 示例结论 开口向上，有最低点 函数有最小值 开口向下，有最高点 函数有最大值 、 同号 对称轴在 轴左侧 “左同” 、 异号 对称轴在 轴右侧 “右异” 与 轴交于正半轴 截距为正 与 轴交于负半轴 截距为负 时 点 在轴上方 时 点 在轴下方 例题精讲 ·经典题型方法精讲 21．（2026春•浦东新区校级期中）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列结论中不正确的是（　　） A．3a+c＜0 B．a﹣b≤am2+bm（m为任意实数） C．9a﹣3b+c＜0 D．关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根 22．（2026春•长宁区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（2，1）、B（3，1）和C（4，2），那么a+b+c的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 23．（2025秋•静安区期末）已知点A（﹣1，y1），B（4，y2），C（6，y3）在抛物线y＝﹣3x2+12x﹣m（其中，m为常数）上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1 24．（2025秋•浦东新区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，且过点（﹣1，0），顶点在第一象限，其部分图象如图所示．给出以下结论：①ab＜0；②4a+2b+c＞0；③3a+c＞0．其中正确的选项是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 25．（2025秋•闵行区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（2025秋•徐汇区期末）已知A（﹣1，y1）、B（4，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+c上的两点，那么y1　 　 y2（填“＞”、“＝”或“＜”）． 27．（2025秋•普陀区月考）抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是　 　 ． 28．（2026春•上海校级月考）已知二次函数y＝x2﹣mx+3，当x≤2时，y随x的增大而减小，则m的范围是 　 　 ． 29．（2024秋•金山区期末）将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x+m）2+k的形式为 　 　 ． 30．（2025秋•闵行区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　 　 ． 31．（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+1（a为常数且a≠0），若A（x1，y1），B（x2，y2）在该函数图象上． （1）若a＜0时，有x1＜2＜x2且x1+x2＞4，求证：y1＞y2． （2）若，x2＝2a+1，x1≠x2，存在y1＝y2，求a的取值范围． 32．（2024•奉贤区三模）在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”． 已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1． （1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法； （2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标； （3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标． 33．（2026春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点P（m，n）在另一条抛物线y＝x2﹣x+2上运动．该二次函数图象与y轴交于点A．过点P作PB⊥y轴于点B． （1）当m＝1时，求点A和点B的坐标，并求△PAB的面积； （2）当m≥1时，求点A的纵坐标yA的最小值． 34．（2026•广州校级模拟）我们约定：若点A为（m，n），点B为（m，m+n），我们称点B是点A的“衍生点”；我们发现：若点A在抛物线C1上，点B始终在抛物线C2上，那么我们称抛物线C2是抛物线C1的“派生抛物线”． （1）点A（3，4）的“衍生点”是　 　 ；抛物线l：y＝x2+3x﹣2的“派生抛物线”是　 　 ； （2）已知点A（x，y）在抛物线C1：y＝x2+bx+c图象上，点A的“衍生点”为点B（﹣2，2）．该抛物线的“派生抛物线”C2的顶点为（m，n）．当0≤c≤4时，求n的取值范围； （3）已知点M（t﹣4，y1），N（t+2，y2），P（x3，y3）在抛物线y＝tx2﹣（2t2+1）x+1的“派生抛物线”上，当4＜x3＜5时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•让胡路区校级期末）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　 　 ． 【练习2】（2025秋•宝山区校级期末）已知抛物线y＝x2﹣4x+t（t＞0），若点A（0，5），点B（2t，3t+5），且线段AB与该抛物线图象有交点，则t的取值范围是　 　 ． 【练习3】（2026春•虹口区校级期末）抛物线y＝ax2上有一点的横坐标是3，且这点到x轴的距离为5，则函数解析式为　 　 ． 【练习4】（2026•虹口区二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为（m，k）和（k，m），我们称C1和C2互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和C2互为“反顶点抛物线”，且C1的顶点在C2上，那么k的值是　 　 ． 【练习5】（2026•闵行区三模）定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图象的对称轴为　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2025秋•闵行区期末）下列函数中，二次函数是（　　） A． B． C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2 【作业2】（2025秋•嘉定区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么下列各式中不成立的是（　　） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．a+b+c＜0 【作业3】（2008秋•上海期末）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2） 【作业4】（2025秋•上海校级期中）已知y关于x的函数解析式y＝（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+m+1，则下列说法正确的是（　　） A．若m＝1，则函数图象平行于y轴 B．若m＝﹣1，则函数图象过原点，且经过一、三象限 C．若m＞1，则函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧 D．若m＜﹣1，则函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧 【作业5】（2025秋•宝山区校级月考）若一次函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象只可能是（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2025秋•普陀区期中）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+b2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【作业7】（2025秋•虹口区期末）如果抛物线y＝（a﹣1）x2的开口向下，那么a的取值范围是　 　 ． 【作业8】（2025秋•嘉定区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，1）和（3，1），那么此二次函数图象的对称轴为直线　 　 ． 【作业9】（2025•浦东新区校级三模）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标的和为k，则称该点为“k级和值点”．在0≤x≤3的范围内，若二次函数y＝﹣x2+3x的图象上存在两个“k级和值点”，则k的取值范围为　 　 ． 【作业10】（2025秋•虹口区期末）已知点A（﹣5，y1）、B（﹣3，y2）都在二次函数y＝a（x﹣1）2（a＜0）的图象上，那么y1　 　 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【作业11】（2025秋•黄浦区期末）对于抛物线y＝ax2+bx+c及其所在坐标平面内的点P，当过点P垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点P的两侧时，我们把点P称为抛物线y＝ax2+bx+c的内点．现有抛物线和，如果点M既是抛物线L1的内点，又是抛物线L2的内点，那么点M的纵坐标yM的取值范围是　 　 ． 【作业12】（2025•徐汇区一模）已知点A（0，m）和B（﹣1，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+c（c是常数）上，那么m　 　 n（填“＞”、“＝”、“＜”）． 【作业13】（2025秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （2）求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； （3）若点P（t，t2﹣2t﹣3）在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【作业14】（2025秋•浦东新区期中）用配方法将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【作业15】（2025秋•普陀区期中）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+6． （1）求这个函数图象的顶点坐标，并指出它的变化情况； （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，该函数图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形OADC的面积． 【作业16】（2026•浦东新区校级竞赛）定义：把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“孪生抛物线”，例如，抛物线y＝4x2+3x+5的“孪生抛物线”为y＝3x2+4x+5．已知抛物线的“孪生抛物线”为C2，C1与y轴交于点E． （1）直接写出抛物线C2的表达式　 　 ； （2）若点E的坐标为（0，﹣1），求抛物线C1的解析式； （3）记C2在a﹣4≤x≤a﹣2时的最大值为M，最小值为m，且M﹣m＝2a，请你求出a的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $