2.3《一元二次方程的根与系数的关系》分层作业（基础过关+进阶思维+中考链接）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以韦达定理为核心，通过基础过关、进阶思维、中考链接三层递进设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养符号意识、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|韦达定理直接应用（求根和/积、已知一根求另一根等）|聚焦单一知识点，如题型01直接套用公式，培养符号意识| |进阶思维题|代数式变形（x₁²+x₂²等）、判别式综合、实际应用|通过(x₁-2)(x₂-2)等变形题，发展推理能力与运算能力| |中考链接题|中考高频考点（根的代数式计算、判别式应用）|采用中考真题题型，如2024成都中考题，强化模型意识与应用意识|

北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.3一元二次方程的根与系数的关系 本节知识点总结 1. 韦达定理（根与系数的关系）： 如果一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个实数根 x₁、x₂，那么： x₁ + x₂ = -，x₁x₂ = 。 即两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。 2. 韦达定理的推导： 由 ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)， 展开右边得 a[x² - (x₁+x₂)x + x₁x₂] = ax² - a(x₁+x₂)x + ax₁x₂， 比较系数得：-a(x₁+x₂) = b，ax₁x₂ = c， 即 x₁ + x₂ = -，x₁x₂ = 。 3. 韦达定理的应用： ① 直接求两根之和与两根之积； ② 已知一个根求另一个根； ③ 求与根有关的代数式的值，常用变形： x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + = (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ |x₁ - x₂| = = ④ 判断根的正确性（验根）； ⑤ 已知两根求作一元二次方程：x² - (x₁+x₂)x + x₁x₂ = 0。 4. 重要提醒： 使用韦达定理的前提是方程有两个实数根，即 Δ = b² - 4ac ≥ 0。 在解答题中，应先验证 Δ ≥ 0，再使用韦达定理。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 直接求两根之和与两根之积 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根之和为______，两根之积为______。 2．（2024秋·上海浦东·单元测）一元二次方程 2x² + 3x - 2 = 0 的两根之和为___-___，两根之积为______。 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·月考）一元二次方程 x² - 4x + 4 = 0 的两根之和为______，两根之积为______。 4．（2024秋·江苏南京·期中）若一元二次方程 x² + px + q = 0 的两根之和为 -3，两根之积为 2，则（　　） A．p = 3，q = 2 B．p = -3，q = 2 C．p = 3，q = -2 D．p = -3，q = -2 题型02 已知一个根求另一个根 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·单元测）已知一元二次方程 x² - 6x + m = 0 的一个根为 2，则另一个根为______。 6．（2024秋·山东济南·月考）已知一元二次方程 2x² + 5x + k = 0 的一个根为 -2，则另一个根为______。 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期中）已知一元二次方程 x² - 3x + m = 0 的一个根为 1，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 题型03 求与根有关的代数式的值 8．（2024秋·四川成都·单元测）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 4x + 2 = 0 的两个根，则 x₁² + x₂² = ______。 9．（2024-2025九年级上·河北石家庄·月考）已知 x₁、x₂ 是方程 2x² + 3x - 1 = 0 的两个根，则 + = ______。 10．（2024秋·陕西西安·期中）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根，则 (x₁ - x₂)² = ______。 11．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·单元测）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 3x - 1 = 0 的两个根，求下列各式的值： （1）x₁² + x₂²；（2） +；（3）|x₁ - x₂|。 题型04 利用韦达定理判断根的正确性 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）下列各组数中，是方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根的是（　　） A．2和3 B．-2和-3 C．1和6 D．-1和-6 13．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）小明在解一元二次方程 x² + 2x - 8 = 0 时，得到两个根为 2 和 -4，则下列判断正确的是（　　） A．两根之和正确，两根之积错误 B．两根之和错误，两根之积正确 C．两根之和和两根之积都正确 D．两根之和和两根之积都错误 14．（2024秋·安徽合肥·单元测）已知一元二次方程 x² + bx + c = 0 的两个根为 -3 和 5，则 b = ______，c = ______。 题型05 韦达定理与判别式的综合应用 15．（2024-2025九年级上·福建福州·月考）关于x的一元二次方程 x² - 2x + m = 0 有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m > 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m ≤ 1 16．（2024秋·江西南昌·期中）关于x的一元二次方程 x² + (k-1)x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k > 3 B．k < -1 C．k > 3 或 k < -1 D．-1 < k < 3 17．（2024-2025九年级上·天津南开·单元测）已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0。 （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根之和为5，求k的值。 题型06 已知两根求作一元二次方程 18．（2024秋·河南郑州·月考）以 2 和 -3 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是______。 19．（2024-2025九年级上·云南昆明·期中）以 1/2 和 3 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是______。 20．（2024秋·广西南宁·单元测）以 -1 和 4 为根的一元二次方程是（　　） A．x² + 3x - 4 = 0 B．x² - 3x - 4 = 0 C．x² + 3x + 4 = 0 D．x² - 3x + 4 = 0 题型07 韦达定理的实际应用 21．（2024-2025九年级上·贵州贵阳·月考）一个直角三角形的两条直角边的长是方程 x² - 7x + 12 = 0 的两个根，求这个直角三角形的面积和斜边长。 22．（2024秋·甘肃兰州·期中）已知一个矩形的长和宽是方程 x² - 8x + 15 = 0 的两个根，求这个矩形的周长和面积。 【答案】周长为16，面积为15 【分析】利用韦达定理求出长与宽的和与积。 23．（2024-2025九年级上·内蒙古呼和浩特·单元测）某商店销售一种商品，每件进价为30元。市场调查发现：若每件售价为x元，则每天可卖出 (100 - x) 件。若每天的销售利润为1200元，求售价x的值。（利用韦达定理验证解的正确性） 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 3x - 2 = 0 的两个实根，则 (x₁ - 2)(x₂ - 2) 的值为（　　） A．-4 B．-2 C．2 D．4 2．（2024秋·上海闵行·月考）若关于x的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 的两个实数根为 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 10，则m的值为（　　） A．3 B．-3 C．6 D．-6 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）已知 x₁、x₂ 是方程 2x² - 5x + 1 = 0 的两个根，则 + 的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋·江苏苏州·期中）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 4x + m = 0 的两个实数根，且 x₁² + x₂² = 14，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 2x - 1 = 0 的两个根，则以 x₁²、x₂² 为根的一元二次方程是（　　） A．y² - 6y + 1 = 0 B．y² + 6y + 1 = 0 C．y² - 6y - 1 = 0 D．y² + 6y - 1 = 0 6．（2024秋·山东青岛·单元测）若 α、β 是方程 x² - 3x - 2 = 0 的两个根，则 α² + β² - αβ 的值为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）已知 x₁、x₂ 是方程 x² + 3x - 1 = 0 的两个根，则 (x₁ + 1)(x₂ + 1) = ______。 8．（2024秋·四川成都·期中）已知关于x的方程 x² - (k+2)x + 2k = 0 的两根之和为5，则k = ______，两根之积为______。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）若 x₁、x₂ 是方程 x² - 5x + 3 = 0 的两个根，则 |x₁ - x₂| = ______。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）已知一元二次方程 x² - 4x + k = 0 有两个不相等的实数根，且两根之积为正，则k的取值范围是______。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）已知 x₁、x₂ 是方程 2x² - 4x - 1 = 0 的两个根，则 x₁²x₂ + x₁x₂² = ______。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根分别为 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 13，求k的值。 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 x² - 2mx + m² - m - 1 = 0 的两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若 x₁² + x₂² = 2x₁x₂ + 3，求m的值。 14．（2024秋·福建福州·单元测）已知关于x的一元二次方程 x² - (k+2)x + 2k = 0。 （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若方程的两根为 x₁、x₂，且 + = ，求k的值。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）已知 x₁、x₂ 是关于x的一元二次方程 x² - 2(m+1)x + m² + 5 = 0 的两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若 (x₁ - 1)(x₂ - 1) = 7，求m的值。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 x² - 4x + 2 = 0 的两个根，则 x₁ + x₂ 的值为（　　） A．-4 B．4 C．-2 D．2 2．（2024·江苏苏州中考）若 x₁、x₂ 是方程 x² - 3x - 2 = 0 的两个实数根，则 x₁x₂ 的值为（　　） A．3 B．-3 C．2 D．-2 3．（2024·浙江杭州中考）已知一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁² + x₂² = ______。 4．（2024·山东济南中考）关于x的一元二次方程 x² + 2x + m = 0 有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5．（2024·湖北武汉中考）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 2x - 1 = 0 的两个根，则 1/x₁ + 1/x₂ = ______。 6．（2024·广东广州中考）若关于x的一元二次方程 x² - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k ≤ 1 C．k > 1 D．k ≥ 1 7．（2024·陕西中考）已知关于x的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个不相等的实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若 m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值。 8．（2024·重庆中考）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 2x - 1 = 0 的两个实数根，求下列各式的值： （1）x₁ + x₂ 和 x₁x₂； （2）x₁² + x₂²； （3）(x₁ - x₂)²。 9．（2024·天津中考）已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + 2k = 0 有两个实数根 x₁、x₂。 （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k使得 x₁x₂ - x₁² - x₂² ≥ 0 成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。 10．（2024·河南中考）已知关于x的一元二次方程 x² - 2mx + m² - 1 = 0。 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 10，求m的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第2章 一元二次方程 2.3一元二次方程的根与系数的关系 本节知识点总结 1. 韦达定理（根与系数的关系）： 如果一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个实数根 x₁、x₂，那么： x₁ + x₂ = -，x₁x₂ = 。 即两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。 2. 韦达定理的推导： 由 ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)， 展开右边得 a[x² - (x₁+x₂)x + x₁x₂] = ax² - a(x₁+x₂)x + ax₁x₂， 比较系数得：-a(x₁+x₂) = b，ax₁x₂ = c， 即 x₁ + x₂ = -，x₁x₂ = 。 3. 韦达定理的应用： ① 直接求两根之和与两根之积； ② 已知一个根求另一个根； ③ 求与根有关的代数式的值，常用变形： x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + = (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ |x₁ - x₂| = = ④ 判断根的正确性（验根）； ⑤ 已知两根求作一元二次方程：x² - (x₁+x₂)x + x₁x₂ = 0。 4. 重要提醒： 使用韦达定理的前提是方程有两个实数根，即 Δ = b² - 4ac ≥ 0。 在解答题中，应先验证 Δ ≥ 0，再使用韦达定理。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 直接求两根之和与两根之积 1．（2024-2025九年级上·北京朝阳·期中）一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根之和为___5___，两根之积为___6___。 【答案】5；6 【分析】直接利用韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 【详解】解：在方程 x² - 5x + 6 = 0 中，a = 1，b = -5，c = 6。 Δ = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 > 0，方程有两个不相等的实数根。 由韦达定理得：x₁ + x₂ = - = -/1 = 5， x₁x₂ = = = 6。 2．（2024秋·上海浦东·单元测）一元二次方程 2x² + 3x - 2 = 0 的两根之和为___-___，两根之积为__-1____。 【答案】-；-1 【分析】直接利用韦达定理。 【详解】解：在方程 2x² + 3x - 2 = 0 中，a = 2，b = 3，c = -2。 Δ = 3² - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 > 0，方程有两个不相等的实数根。 由韦达定理得：x₁ + x₂ = - = -， x₁x₂ = = - = -1。 3．（2024-2025九年级上·广东深圳·月考）一元二次方程 x² - 4x + 4 = 0 的两根之和为___4___，两根之积为__4____。 【答案】4；4 【分析】Δ=0时方程有两个相等的实数根，韦达定理仍然适用。 【详解】解：在方程 x² - 4x + 4 = 0 中，a = 1，b = -4，c = 4。 Δ = (-4)² - 4×1×4 = 16 - 16 = 0，方程有两个相等的实数根。 由韦达定理得：x₁ + x₂ = - = 4， x₁x₂ = = 4。 4．（2024秋·江苏南京·期中）若一元二次方程 x² + px + q = 0 的两根之和为 -3，两根之积为 2，则（　　） A．p = 3，q = 2 B．p = -3，q = 2 C．p = 3，q = -2 D．p = -3，q = -2 【答案】A 【分析】由韦达定理，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = -p = -3，∴ p = 3； x₁x₂ = q = 2。 ∴ p = 3，q = 2。 故选：A。 题型02 已知一个根求另一个根 5．（2024-2025九年级上·浙江杭州·单元测）已知一元二次方程 x² - 6x + m = 0 的一个根为 2，则另一个根为__4____。 【答案】4 【分析】利用韦达定理，两根之和等于6。 【详解】解：设另一个根为 x₂，由韦达定理得： x₁ + x₂ = 6，即 2 + x₂ = 6，解得 x₂ = 4。 验证：x₁x₂ = 2×4 = 8 = m，Δ = 36 - 32 = 4 > 0，符合条件。 6．（2024秋·山东济南·月考）已知一元二次方程 2x² + 5x + k = 0 的一个根为 -2，则另一个根为__-____。 【答案】- 【分析】利用韦达定理，两根之和等于-5/2。 【详解】解：设另一个根为 x₂，由韦达定理得： x₁ + x₂ = -，即 -2 + x₂ = -，解得 x₂ = - + 2 = -。 验证：x₁x₂ = (-2)×(-) = 1 = ，k = 2，Δ = 25 - 16 = 9 > 0，符合条件。 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期中）已知一元二次方程 x² - 3x + m = 0 的一个根为 1，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】将根代入方程求m，或利用韦达定理先求另一根再求m。 【详解】解：方法一：将 x = 1 代入方程得 1 - 3 + m = 0，解得 m = 2。 方法二：设另一根为 x₂，由韦达定理 x₁ + x₂ = 3，得 x₂ = 2， m = x₁x₂ = 1×2 = 2。 故选：B。 题型03 求与根有关的代数式的值 8．（2024秋·四川成都·单元测）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 4x + 2 = 0 的两个根，则 x₁² + x₂² = ___12___。 【答案】12 【分析】利用变形公式 x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = 2。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4² - 2×2 = 16 - 4 = 12。 9．（2024-2025九年级上·河北石家庄·月考）已知 x₁、x₂ 是方程 2x² + 3x - 1 = 0 的两个根，则 + = ___3___。 【答案】3 【分析】利用变形公式 + = 。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = -，x₁x₂ = -。 + = = - = 3。 10．（2024秋·陕西西安·期中）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根，则 (x₁ - x₂)² = ___1___。 【答案】1 【分析】利用变形公式 (x₁-x₂)² = (x₁+x₂)² - 4x₁x₂。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 5，x₁x₂ = 6。 (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 5² - 4×6 = 25 - 24 = 1。 11．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·单元测）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 3x - 1 = 0 的两个根，求下列各式的值： （1）x₁² + x₂²；（2） +；（3）|x₁ - x₂|。 【答案】（1）11；（2）-3；（3） 【分析】先由韦达定理求出x₁+x₂和x₁x₂，再利用变形公式计算。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = -1。 Δ = (-3)² - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13 > 0，方程有两个不相等的实数根。 （1）x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 3² - 2×(-1) = 9 + 2 = 11。 （2） + = = = -3。 （3）|x₁ - x₂| = = = = = 。 题型04 利用韦达定理判断根的正确性 12．（2024秋·辽宁沈阳·月考）下列各组数中，是方程 x² - 5x + 6 = 0 的两个根的是（　　） A．2和3 B．-2和-3 C．1和6 D．-1和-6 【答案】A 【分析】利用韦达定理验证：两根之和应为5，两根之积应为6。 【详解】解：方程 x² - 5x + 6 = 0 中，两根之和应为 5，两根之积应为 6。 A选项：2 + 3 = 5，2×3 = 6，符合； B选项：-2 + (-3) = -5 ≠ 5，不符合； C选项：1 + 6 = 7 ≠ 5，不符合； D选项：-1 + (-6) = -7 ≠ 5，不符合。 故选：A。 13．（2024-2025九年级上·湖南长沙·期中）小明在解一元二次方程 x² + 2x - 8 = 0 时，得到两个根为 2 和 -4，则下列判断正确的是（　　） A．两根之和正确，两根之积错误 B．两根之和错误，两根之积正确 C．两根之和和两根之积都正确 D．两根之和和两根之积都错误 【答案】C 【分析】验证两根之和与两根之积是否符合韦达定理。 【详解】解：方程 x² + 2x - 8 = 0 中，两根之和应为 -2，两根之积应为 -8。 小明得到的根为 2 和 -4： 两根之和 = 2 + (-4) = -2，正确； 两根之积 = 2×(-4) = -8，正确。 ∴ 两根之和和两根之积都正确。 故选：C。 14．（2024秋·安徽合肥·单元测）已知一元二次方程 x² + bx + c = 0 的两个根为 -3 和 5，则 b = ___-2___，c = __-15____。 【答案】-2；-15 【分析】利用韦达定理：x₁+x₂=-b，x₁x₂=c。 【详解】解：由韦达定理得： x₁ + x₂ = -3 + 5 = 2 = -b，∴ b = -2； x₁x₂ = (-3)×5 = -15 = c。 ∴ b = -2，c = -15。 题型05 韦达定理与判别式的综合应用 15．（2024-2025九年级上·福建福州·月考）关于x的一元二次方程 x² - 2x + m = 0 有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m > 1 B．m < 1 C．m ≥ 1 D．m ≤ 1 【答案】D 【分析】方程有两个实数根，则Δ≥0。 【详解】解：∵ 方程 x² - 2x + m = 0 有两个实数根， ∴ Δ = b² - 4ac = (-2)² - 4×1×m = 4 - 4m ≥ 0， 解得 m ≤ 1。 故选：D。 16．（2024秋·江西南昌·期中）关于x的一元二次方程 x² + (k-1)x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k > 3 B．k < -1 C．k > 3 或 k < -1 D．-1 < k < 3 【答案】C 【分析】方程有两个不相等的实数根，则Δ>0。 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ Δ = (k-1)² - 4×1×1 > 0， (k-1)² > 4， k - 1 > 2 或 k - 1 < -2， 解得 k > 3 或 k < -1。 故选：C。 17．（2024-2025九年级上·天津南开·单元测）已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0。 （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根之和为5，求k的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）k = 2 【分析】（1）计算Δ并证明其恒大于0；（2）利用韦达定理列方程。 【详解】解：（1）证明：Δ = [-(2k+1)]² - 4×1×(k² + k) = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 4k = 1 > 0。 ∵ 无论k取何值，Δ = 1 > 0， ∴ 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2k + 1。 ∵ 两根之和为5，∴ 2k + 1 = 5，解得 k = 2。 题型06 已知两根求作一元二次方程 18．（2024秋·河南郑州·月考）以 2 和 -3 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是___x² + x - 6 = 0___。 【答案】x² + x - 6 = 0 【分析】利用公式 x² - (x₁+x₂)x + x₁x₂ = 0。 【详解】解：设所求方程为 x² + bx + c = 0。 由韦达定理：x₁ + x₂ = 2 + (-3) = -1 = -b，∴ b = 1； x₁x₂ = 2×(-3) = -6 = c。 ∴ 所求方程为 x² + x - 6 = 0。 19．（2024-2025九年级上·云南昆明·期中）以 1/2 和 3 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是___x² - x + = 0（或 2x² - 7x + 3 = 0）___。 【答案】x² - x + = 0（或 2x² - 7x + 3 = 0） 【分析】利用韦达定理求系数。 【详解】解：x₁ + x₂ = + 3 = ，x₁x₂ =×3 = 。 ∴ 所求方程为 x² - x + = 0 。 化为整系数：2x² - 7x + 3 = 0。 20．（2024秋·广西南宁·单元测）以 -1 和 4 为根的一元二次方程是（　　） A．x² + 3x - 4 = 0 B．x² - 3x - 4 = 0 C．x² + 3x + 4 = 0 D．x² - 3x + 4 = 0 【答案】B 【分析】利用韦达定理验证各选项。 【详解】解：以 -1 和 4 为根，则两根之和 = -1 + 4 = 3，两根之积 = -1×4 = -4。 A选项：两根之和 = -3，两根之积 = -4，和不符合； B选项：两根之和 = 3，两根之积 = -4，都符合； C选项：Δ = 9 - 16 = -7 < 0，无实根，不符合； D选项：两根之和 = 3，两根之积 = 4，积不符合。 故选：B。 题型07 韦达定理的实际应用 21．（2024-2025九年级上·贵州贵阳·月考）一个直角三角形的两条直角边的长是方程 x² - 7x + 12 = 0 的两个根，求这个直角三角形的面积和斜边长。 【答案】面积为6，斜边长为5 【分析】先由韦达定理求出两根之和与两根之积，再计算面积和斜边。 【详解】解：设两条直角边分别为 a、b，由韦达定理得： a + b = 7，ab = 12。 三角形面积 S = ab = ×12 = 6。 由勾股定理，斜边 c = = = = = = 5。 答：这个直角三角形的面积为6，斜边长为5。 22．（2024秋·甘肃兰州·期中）已知一个矩形的长和宽是方程 x² - 8x + 15 = 0 的两个根，求这个矩形的周长和面积。 【答案】周长为16，面积为15 【分析】利用韦达定理求出长与宽的和与积。 【详解】解：设矩形的长和宽分别为 a、b，由韦达定理得： a + b = 8，ab = 15。 矩形周长 = 2(a + b) = 2×8 = 16。 矩形面积 = ab = 15。 答：这个矩形的周长为16，面积为15。 23．（2024-2025九年级上·内蒙古呼和浩特·单元测）某商店销售一种商品，每件进价为30元。市场调查发现：若每件售价为x元，则每天可卖出 (100 - x) 件。若每天的销售利润为1200元，求售价x的值。（利用韦达定理验证解的正确性） 【答案】x = 60 或 x = 70 【分析】根据利润=每件利润×销售量列方程，求解后用韦达定理验证。 【详解】解：由题意得：(x - 30)(100 - x) = 1200， 展开得：100x - x² - 3000 + 30x = 1200， -x² + 130x - 4200 = 0，即 x² - 130x + 4200 = 0。 因式分解得：(x - 60)(x - 70) = 0，解得 x₁ = 60，x₂ = 70。 验证（韦达定理）：x₁ + x₂ = 60 + 70 = 130 = -，正确； x₁x₂ = 60×70 = 4200 = ，正确。 答：售价为60元或70元。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·北京海淀·期中）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 3x - 2 = 0 的两个实根，则 (x₁ - 2)(x₂ - 2) 的值为（　　） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】展开后代入韦达定理的结果。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 3，x₁x₂ = -2。 (x₁ - 2)(x₂ - 2) = x₁x₂ - 2x₁ - 2x₂ + 4 = x₁x₂ - 2(x₁ + x₂) + 4 = -2 - 2×3 + 4 = -2 - 6 + 4 = -4。 故选：A。 2．（2024秋·上海闵行·月考）若关于x的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 的两个实数根为 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 10，则m的值为（　　） A．3 B．-3 C．6 D．-6 【答案】A 【分析】利用 x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ 列方程求m。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = m。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4² - 2m = 16 - 2m。 由题意 16 - 2m = 10，解得 m = 3。 验证：Δ = 16 - 12 = 4 > 0，符合条件。故选：A。 3．（2024-2025九年级上·广东广州·单元测）已知 x₁、x₂ 是方程 2x² - 5x + 1 = 0 的两个根，则 + 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 + = = 。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = ，x₁x₂ = 。 + = = = = = =。 故选：A。 4．（2024秋·江苏苏州·期中）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 4x + m = 0 的两个实数根，且 x₁² + x₂² = 14，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】利用 x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ 列方程求m，注意验证Δ≥0。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = m。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 16 - 2m。 由题意 16 - 2m = 14，解得 m = 1。 验证：Δ = 16 - 4×1 = 12 > 0，符合条件。 故选：A。 5．（2024-2025九年级上·浙江宁波·月考）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 2x - 1 = 0 的两个根，则以 x₁²、x₂² 为根的一元二次方程是（　　） A．y² - 6y + 1 = 0 B．y² + 6y + 1 = 0 C．y² - 6y - 1 = 0 D．y² + 6y - 1 = 0 【答案】A 【分析】先求x₁²+x₂²和x₁²x₂²，再构造方程。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2，x₁x₂ = -1。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4 - 2×(-1) = 6。 x₁² · x₂² = (x₁x₂)² = (-1)² = 1。 ∴ 以 x₁²、x₂² 为根的方程为 y² - 6y + 1 = 0。 故选：A。 6．（2024秋·山东青岛·单元测）若 α、β 是方程 x² - 3x - 2 = 0 的两个根，则 α² + β² - αβ 的值为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】α²+β²-αβ = (α+β)² - 3αβ。 【详解】解：由韦达定理得：α + β = 3，αβ = -2。 α² + β² - αβ = (α + β)² - 2αβ - αβ = (α + β)² - 3αβ = 3² - 3×(-2) = 9 + 6 = 15。 故选：C。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·湖北武汉·月考）已知 x₁、x₂ 是方程 x² + 3x - 1 = 0 的两个根，则 (x₁ + 1)(x₂ + 1) = __-3____。 【答案】-3 【分析】展开后代入韦达定理。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = -3，x₁x₂ = -1。 (x₁ + 1)(x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 = -1 + (-3) + 1 = -3。 8．（2024秋·四川成都·期中）已知关于x的方程 x² - (k+2)x + 2k = 0 的两根之和为5，则k = ___3___，两根之积为___6___。 【答案】3；6 【分析】由韦达定理，两根之和=k+2，列方程求k。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = k + 2 = 5，解得 k = 3。 两根之积 = 2k = 2×3 = 6。 验证：Δ = (k+2)² - 8k = 25 - 24 = 1 > 0，符合条件。 9．（2024-2025九年级上·陕西西安·单元测）若 x₁、x₂ 是方程 x² - 5x + 3 = 0 的两个根，则 |x₁ - x₂| = ______。 【答案】 【分析】|x₁-x₂| = 。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 5，x₁x₂ = 3。 |x₁ - x₂| = = = = 。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）已知一元二次方程 x² - 4x + k = 0 有两个不相等的实数根，且两根之积为正，则k的取值范围是__0 < k < 4____。 【答案】0 < k < 4 【分析】两个条件：Δ>0且x₁x₂>0。 【详解】解：① 方程有两个不相等的实数根，则 Δ = 16 - 4k > 0，解得 k < 4； ② 两根之积为正，则 x₁x₂ = k > 0。 综合得：0 < k < 4。 11．（2024-2025九年级上·辽宁大连·期中）已知 x₁、x₂ 是方程 2x² - 4x - 1 = 0 的两个根，则 x₁²x₂ + x₁x₂² = __-1____。 【答案】-1 【分析】x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁+x₂)。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = - = 2，x₁x₂ = -。 x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂) = ×2 = -1。 （三）解答题 12．（2024秋·湖南长沙·月考）已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + k = 0。 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根分别为 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 13，求k的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）k = 2 或 k = -3 【分析】（1）计算Δ证明其大于0；（2）利用x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂列方程。 【详解】解：（1）证明：Δ = [-(2k+1)]² - 4×1×(k² + k) = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 4k = 1 > 0。 ∴ 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2k + 1，x₁x₂ = k² + k。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (2k+1)² - 2(k² + k) = 4k² + 4k + 1 - 2k² - 2k = 2k² + 2k + 1。 由题意 2k² + 2k + 1 = 13，即 2k² + 2k - 12 = 0，k² + k - 6 = 0， (k + 3)(k - 2) = 0，解得 k₁ = 2，k₂ = -3。 ∵ Δ = 1 > 0 恒成立，∴ k = 2 或 k = -3 均符合条件。 13．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期中）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 x² - 2mx + m² - m - 1 = 0 的两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若 x₁² + x₂² = 2x₁x₂ + 3，求m的值。 【答案】（1）m ≥ -1；（2）m = 2 【分析】（1）由Δ≥0求m范围；（2）利用韦达定理列方程，结合m的范围取舍。 【详解】解：（1）∵ 方程有两个实数根， ∴ Δ = (-2m)² - 4×1×(m² - m - 1) = 4m² - 4m² + 4m + 4 = 4m + 4 ≥ 0， 解得 m ≥ -1。 （2）由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2m，x₁x₂ = m² - m - 1。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 4m² - 2(m² - m - 1) = 2m² + 2m + 2。 由 x₁² + x₂² = 2x₁x₂ + 3 得： 2m² + 2m + 2 = 2(m² - m - 1) + 3， 2m² + 2m + 2 = 2m² - 2m - 2 + 3， 2m² + 2m + 2 = 2m² - 2m + 1， 4m = -1，解得 m = -。 ∵ m = - ≥ -1，符合条件。 ∴ m = -。 14．（2024秋·福建福州·单元测）已知关于x的一元二次方程 x² - (k+2)x + 2k = 0。 （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若方程的两根为 x₁、x₂，且 + = ，求k的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）k = 1 【分析】（1）计算Δ证明其≥0；（2）1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)，列方程求解。 【详解】解：（1）证明：Δ = [-(k+2)]² - 4×1×2k = k² + 4k + 4 - 8k = k² - 4k + 4 = (k - 2)² ≥ 0。 ∵ 无论k取何值，(k - 2)² ≥ 0，即 Δ ≥ 0， ∴ 无论k取何值，方程总有实数根。 （2）由韦达定理得：x₁ + x₂ = k + 2，x₁x₂ = 2k。 + = = = 。 交叉相乘得：2(k + 2) = 6k， 2k + 4 = 6k，4k = 4，解得 k = 1。 验证：当 k = 1 时，Δ = (1 - 2)² = 1 > 0，方程有两个不相等的实数根，符合条件。 ∴ k = 1。 15．（2024-2025九年级上·江西南昌·月考）已知 x₁、x₂ 是关于x的一元二次方程 x² - 2(m+1)x + m² + 5 = 0 的两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若 (x₁ - 1)(x₂ - 1) = 7，求m的值。 【答案】（1）m ≥ 2；（2）m = 3 【分析】（1）由Δ≥0求m；（2）展开后代入韦达定理。 【详解】解：（1）∵ 方程有两个实数根， ∴ Δ = [-2(m+1)]² - 4×1×(m² + 5) = 4(m² + 2m + 1) - 4m² - 20 = 4m² + 8m + 4 - 4m² - 20 = 8m - 16 ≥ 0， 解得 m ≥ 2。 （2）由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2(m + 1)，x₁x₂ = m² + 5。 (x₁ - 1)(x₂ - 1) = x₁x₂ - x₁ - x₂ + 1 = x₁x₂ - (x₁ + x₂) + 1 = m² + 5 - 2(m + 1) + 1 = m² + 5 - 2m - 2 + 1 = m² - 2m + 4。 由题意 m² - 2m + 4 = 7，即 m² - 2m - 3 = 0， (m - 3)(m + 1) = 0，解得 m₁ = 3，m₂ = -1。 ∵ m ≥ 2，∴ m = -1 舍去，m = 3。 三、中考链接题 1．（2024·四川成都中考）已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 x² - 4x + 2 = 0 的两个根，则 x₁ + x₂ 的值为（　　） A．-4 B．4 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】直接利用韦达定理。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = - = - = 4。故选：B。 2．（2024·江苏苏州中考）若 x₁、x₂ 是方程 x² - 3x - 2 = 0 的两个实数根，则 x₁x₂ 的值为（　　） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】D 【分析】直接利用韦达定理。 【详解】解：由韦达定理得：x₁x₂ = = = -2。故选：D。 3．（2024·浙江杭州中考）已知一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁² + x₂² = ___13___。 【答案】13 【分析】x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 5，x₁x₂ = 6。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 25 - 12 = 13。 4．（2024·山东济南中考）关于x的一元二次方程 x² + 2x + m = 0 有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】方程有两个相等的实数根，则Δ=0。 【详解】解：∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = 2² - 4×1×m = 4 - 4m = 0，解得 m = 1。故选：A。 5．（2024·湖北武汉中考）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 2x - 1 = 0 的两个根，则 1/x₁ + 1/x₂ = ______。 【答案】-2 【分析】 + = 。 【详解】解：由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2，x₁x₂ = -1。 + = = = -2。 6．（2024·广东广州中考）若关于x的一元二次方程 x² - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k < 1 B．k ≤ 1 C．k > 1 D．k ≥ 1 【答案】A 【分析】方程有两个不相等的实数根，则Δ>0。 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ Δ = (-2)² - 4×1×k = 4 - 4k > 0，解得 k < 1。 故选：A。 7．（2024·陕西中考）已知关于x的一元二次方程 x² - 4x + m = 0 有两个不相等的实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若 m 为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值。 【答案】（1）m < 4；（2）m = 3 【分析】（1）由Δ>0求m；（2）在m<4的正整数中筛选使根为整数的m。 【详解】解：（1）∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ Δ = (-4)² - 4×1×m = 16 - 4m > 0，解得 m < 4。 （2）∵ m 为正整数且 m < 4，∴ m = 1、2、3。 当 m = 1 时，方程为 x² - 4x + 1 = 0，根为 x = 2±，不是整数； 当 m = 2 时，方程为 x² - 4x + 2 = 0，根为 x = 2±，不是整数； 当 m = 3 时，方程为 x² - 4x + 3 = 0，(x-1)(x-3)=0，根为 x₁=1，x₂=3，都是整数。 ∴ m = 3。 8．（2024·重庆中考）已知 x₁、x₂ 是方程 x² - 2x - 1 = 0 的两个实数根，求下列各式的值： （1）x₁ + x₂ 和 x₁x₂； （2）x₁² + x₂²； （3）(x₁ - x₂)²。 【答案】（1）x₁+x₂=2，x₁x₂=-1；（2）6；（3）8 【分析】利用韦达定理及变形公式。 【详解】解：（1）由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2，x₁x₂ = -1。 （2）x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 2² - 2×(-1) = 4 + 2 = 6。 （3）(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 2² - 4×(-1) = 4 + 4 = 8。 9．（2024·天津中考）已知关于x的一元二次方程 x² - (2k+1)x + k² + 2k = 0 有两个实数根 x₁、x₂。 （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k使得 x₁x₂ - x₁² - x₂² ≥ 0 成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。 【答案】（1）k ≤ 1/4；（2）不存在，理由见详解 【分析】（1）由Δ≥0求k；（2）将不等式变形为关于k的表达式，结合k的范围判断。 【详解】解：（1）∵ 方程有两个实数根， ∴ Δ = [-(2k+1)]² - 4(k² + 2k) = 4k² + 4k + 1 - 4k² - 8k = -4k + 1 ≥ 0， 解得 k ≤ 。 （2）由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2k + 1，x₁x₂ = k² + 2k。 x₁x₂ - x₁² - x₂² = x₁x₂ - [(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂] = 3x₁x₂ - (x₁ + x₂)² = 3(k² + 2k) - (2k + 1)² = 3k² + 6k - (4k² + 4k + 1) = -k² + 2k - 1 = -(k - 1)²。 要使 x₁x₂ - x₁² - x₂² ≥ 0，即 -(k - 1)² ≥ 0， ∵ (k - 1)² ≥ 0，∴ -(k - 1)² ≤ 0， ∴ 只有 (k - 1)² = 0 即 k = 1 时等号成立。 但由（1）知 k ≤ ，k = 1 不符合条件。 ∴ 不存在实数k使得 x₁x₂ - x₁² - x₂² ≥ 0 成立。 10．（2024·河南中考）已知关于x的一元二次方程 x² - 2mx + m² - 1 = 0。 （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为 x₁、x₂，且 x₁² + x₂² = 10，求m的值。 【答案】（1）证明见详解；（2）m = ±2 【分析】（1）计算Δ证明其大于0；（2）利用韦达定理列方程。 【详解】解：（1）证明：Δ = (-2m)² - 4×1×(m² - 1) = 4m² - 4m² + 4 = 4 > 0。 ∵ 无论m取何值，Δ = 4 > 0， ∴ 无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。 （2）由韦达定理得：x₁ + x₂ = 2m，x₁x₂ = m² - 1。 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (2m)² - 2(m² - 1) = 4m² - 2m² + 2 = 2m² + 2。 由题意 2m² + 2 = 10，即 2m² = 8，m² = 4，解得 m = ±2。 ∵ Δ = 4 > 0 恒成立，∴ m = 2 或 m = -2 均符合条件。 学科网（北京）股份有限公司 $