1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中直线、平面的垂直关系，通过问题引导（如方向向量与法向量的关系）衔接空间向量知识，搭建从向量表示到垂直证明的学习支架，系统呈现线线、线面、面面垂直的判定与应用。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合正方体、四棱锥等典型模型，采用坐标法与基向量法双解法，培养学生的空间观念和推理能力。随堂演练分题组强化，助力学生用数学语言表达空间关系，教师可通过系统例题提升教学效率。

第3课时 第一章 <<< 空间中直线、平面的垂直 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系(重点). 学习目标 直线与直线垂直 提示　垂直. 如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 问题1 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔_________⇔____________. u1⊥u2 u1·u2＝0 例1 ［教材改编P42 T5］在正方体中，为 的中点.求证： （1） ; 【解析】, , , ,即 . 5 （2） . 【解析】, , , ,即 . 6 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则，,，，，， ， . 7 例2(2026·河南省信阳市淮滨县滨城高级中学月考)下列正方体中， 为下底面的中心， ,为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线 的是( ) B A. B. C. D. 8 【解析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标 系，令正方体棱长为2. 对于A，如图（1），,, , ,, ， 则 ，所以 与 不垂直，故A不满足题意； 对于B，如图（2），,, , ,, ， 则,所以 ，故B满足题意； 9 对于C，如图（3），,,,, , ， 则,所以与 不垂直，故C 不满足题意； 对于D，如图（4），,,,, , ， 则，所以与 不垂直，故D不满 足题意.故选B. 10 例3 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形, PA=AB=1,F是PB的中点,点E在棱BC上移动.求证:无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF. 思路分析 只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可. 证明 (方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a, 则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0), 于是F. ∵E在BC上,∴设E(m,1,0),0≤m≤a, ∴=(m,1,-1),. ∵=0, ∴PE⊥AF.∴无论点E在棱BC上何处,总有PE⊥AF. (方法2)因为点E在棱BC上,可设=λ,0≤λ≤1, 于是=()·) =+λ)·() =+λ+λ) =×(0-1+1+0+0+0)=0, 因此. 故无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF. 例4　(2026吉林高二期中)如图所示,MA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,MA=2AB,点P是MC上一点,且. (1)建立适当的空间直角坐标系并求点P的坐标; (2)求证:MB⊥DP. (1)解 因为MA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,则AB,AD,AM两两互相垂直,以A为原点,AB,AD,AM所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则M(0,0,2),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0). 设P(x,y,z), 则=(x-1,y-1,z),=(-1,-1,2). 由,可得(x-1,y-1,z)=(-1,-1,2), 则解得 故点P的坐标为. (2)证明 由(1)得=(1,0,-2),, 因为=1××0-2×=0,则,故MB⊥DP. 直线与平面垂直 提示　平行(共线). 如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直于平面α时，u，n之间有什么关系？ 问题1 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔________⇔∃λ∈R，使得_______. u∥n u＝λn 例5 [教材改编P43 T11]如图所示，在正方体中， ，分别是，的中点.求证： 平面 . 19 【解析】 （基向量法） 设,,,连接，则 , , , ,即 . 同理可证 . 又, 平面 . 20 （坐标法） 设正方体的棱长为2,建立如图所示的空 间直角坐标系， 则,,,, . , , . ， , , . 又, 平面 . 21 例6(2026·宁夏青铜峡市第一中学月考)如图1.4-22，在四棱 锥中， 底面， ， ，，，是 的中点．证明： 平面 . 22 【答案】由 底面，，易知,, 两 两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，连接 ， 设，则,, , . ，, 为正三角形， 则, ， ,， . 则 ， ， ，，即, . 又，, 平面,故 平面 . 23 例7 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长AB=AD=2,AA'=3,点E是平面BCC'B'上的动点,点F是CD的中点.试确定点E的位置,使D'E⊥平面AB'F. 平面与平面垂直 提示　垂直. 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时，n1，n2之间有什么关系？ 问题1 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔_________⇔____________. n1⊥n2 n1·n2＝0 例8 如图，在四棱锥中，底面 是正方形， 底面， 且，是的中点.求证：平面 平面 . 28 【解析】设，建立如图 所示的空间直角坐标系，则 ， ，,,，， . 如图1.4-24,连接，交于点，连接，则点 的坐标为，，， . 又 底面， 平面 . 又 平面， 平面 平面 . （该方法适合在一个平面内易找到另一个平面的垂线的情况） 29 设平面的法向量为 . ，，， ， 由得 令，可得平面的一个法向量为 . 底面， 平面的一个法向量为 . ， 平面 平面 . 30 例9 已知正方体中，为的中点，求证：平面 平面 ． 【答案】设正方体棱长为1，建立如图所示的空间直 角坐标系，则,，， ， 于是，， . 设平面的法向量为 ， 由，，得 令，则,， 平面 的一个法向量 为 ． 31 设平面的法向量为 ， 由，，得 令，则， 平面的一个法向量为 ． 故 ， 因此，故平面 平面 ． （【另解】的中点为，则，又平面 的法向量为 ，则，这说明与共线， 平面 ，又 平面，故平面 平面 ） 32 例10　(2026陕西高二期末)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点. (1)求证:A1E⊥BD; (2)若平面A1BD⊥平面EBD,求证:E为CC1的中点. 证明 (1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设正方体的棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D(0,0,0). 设E(0,a,e)(0≤e≤a),则=(-a,a,e-a),=(-a,-a,0). ∵=a2-a2+(e-a)·0=0, ∴,即A1E⊥BD. (2)设平面A1BD和平面EBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2), 且=(a,a,0),=(a,0,a),=(0,a,e), 由 令x1=1,则y1=z1=-1,则n1=(1,-1,-1). 由令x2=1,则y2=-1,z2=,则n2=(1,-1,). 由平面A1BD⊥平面EBD,得n1⊥n2, ∴n1·n2=1×1+(-1)×(-1)-1×=2-=0,即e=, ∴当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD. 1.知识清单： (1)直线与直线垂直的向量表示及应用. (2)直线与平面垂直的向量表示及应用. (3)平面与平面垂直的向量表示及应用. 2.方法归纳：转化法、法向量法. 3.常见误区：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系的对应易混淆. 课堂小结 随堂演练 题组一 线线垂直 1.（多选/2026河南许昌期中）已知直线与的方向向量分别为 , ,若,且,则 的值可能是( ) AD A.1 B. C.3 D. 【解析】 由得.因为,所以 ,所以 ,整理得 . 所以当时,；当时,,所以或 . 38 2.已知三条直线，，的一个方向向量分别为 ， ， ，则( ) A A.，但与不垂直 B.，但与 不垂直 C.，但与不垂直 D.，， 两两互相垂直 【解析】 因为 ， ， ，所以，与 不垂 直，，所以，，但不垂直于 . 39 3.[2026山东潍坊期中]如图，在正方体 中，点，分别是棱 和线 段上的动点，则满足与垂直的直线 ( ) D A.有且仅有1条 B.有且仅有2条 C.有且仅有3条 D.有无数条 40 【解析】 如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为1，，,则， ， . 41 ，，则 .设 ，，则 ， .若 ，则 ，即 ， 方程有无数组解，即满足与垂直的直线 有无数条. 设 ，（ 对于正方体面对角线上的点，也可用 一个参数直接设出其坐标.），所以 ，若 ，则，即 ，方程有 无数组解，即满足与垂直的直线 有无数条. . . 4.如图,在四面体中,,分别是棱, 的中点. （1） 若每条棱长度都相等,求证:为和 的公垂线； 【答案】 设棱长是1,则 ,且三个向量两 两夹角均为 . , 则,则 . 同理可证,故为与 的公垂线. 43 （2） 若,,,求证: 为和 的公垂线. 44 【答案】 此问给出了棱长,可以考虑建系. 此处注意一个很重要的模型——对棱相等模型,三组相等的对棱正好 对应长方体六个面的对角线,即四面体恰好可以放进长方体中 （正四面体恰好可以放进正方体中）.如图,该四面体可以通过切割 一长方体得到,设该长方体的长、宽、高分别为,, ,则 即,则 解得 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则, , ,,因为,分别为,的中点,所以 , ,, ， 则,所以,,即直线 为 和 的公垂线. 46 题组二 线面垂直 5.（2026安徽十校联盟联考）已知平面 的一个法向量，若直线 平面 ，则直线的一个方向向量 可以是( ) A A. B. C. D. 【解析】 若直线 平面 ，则直线的方向向量与平面 的法向量 共线， 因此，当 时，即为A选项，对于选项B，C，D，找不到满足 条件的 ，故B，C，D错误. 47 6.（2025辽宁东北育才学校期中）已知,,,点 ,若 平面,则点 的坐标为___________. 【解析】 由题可得,, . 平面,是平面的一个法向量,则 即解得 . 48 即，则是平面 的一个法向量. 平面，与共线，则解得 . 叉乘法.由题可得,, . 则 7.[2026安徽蚌埠月考]已知， ， ，若，且 平面，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 因为，所以，解得 ，所以 .因为 平面，， 平面 ，所以 ，，则解得 因 此， . 50 8.[2026湖南邵阳期中]如图，正方形与矩形 所在的平面互相垂直，,,在 上，且 平面，则点 的坐标为_ ________. ,, 51 【解析】 设点的坐标为，（ 点的竖坐标恒为1.）由题知 ,,，，则 ， ,，因为 平面,所以 , ,所以解得所以点 的坐标 为 . . . . . 52 题组三 面面垂直 9.（多选/2026山西吕梁部分学校联考）已知平面 ， 的一个法向量分别为 ，，直线的一个方向向量为 ，则( ) ABD A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 53 【解析】 由 ，得，则，即 ； 由 ，得，则，，即解得 因此 ； 由 ，得，则，即 ； 由 ，得，则，，即解得则 . 54 10.已知三个互不相同的平面 , , 的法向量依次是, , ,则 , 两个平面的位置关系是______； , 两个平面的位置关系是____ __； , 两个平面的位置关系是______. 【解析】 ,则,所以 . ,则,所以 . ,则,所以 . 55 11.（2026豫皖期中联考）如图，在直四棱柱中， ， ，，，是的中点，是 上的一个动点，点 在上，且满足 . （1） 证明： . 56 【答案】 如图1，过点作，交于点 ，以 ，，的方向分别为，， 轴的正方向建立空间直 角坐标系 (从已知条件出发,不能用常规的几何法 (如线面垂直性质,勾股定理逆定理等)证明线线垂直,可以找到 过点 的三条互相垂直的直线,且各点坐标可以确定,考虑用建 系法证明)， 则，,，， ． 又为的中点，点在上，且满足，则， ， ， ， , 所以，即 ． . . . . 57 （2） 证明：平面 平面 . 【答案】 两平面垂直，则两平面的法向量数量积为0. 由（1）知， ， 设为平面 的法向量， 58 则即 令，得平面的一个法向量 ． 由（1）知， ， 设为平面 的法向量， 则即 令，得平面的一个法向量 . 因为 ， 所以 ， 所以平面 平面 ． 即平面 平面 ． 面面垂直的判定定理. 由（1）可知，， ， ，所以 ， ，所以 ， 则,，又，, 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以平面 平面 . 61 几何法. 如图2，在直四棱柱中， 平面 ， 平面 ， 所以,又，，, 平 面 ， 所以 平面，又 平面 ，所以 . 因为，点为的中点，所以 ， 又，，, 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以 ， 因为 平面，所以 ， 62 连接，因为 平面，， 平面 ， 所以， ， 因为，所以， ， 在中， ，所以 ， 因为为的三等分点，所以 . 在中，由余弦定理得 ， 则，所以 ， 又，，, 平面 ，所以 平面 ， 又 平面，所以平面 平面 . （3） 试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出 的长度；若不存在， 请说明理由. 65 【答案】 假设存在，，，四点共面，即点 在平面 内，连接,则垂直于平面的法向量 ,即 ． 又 ，由（1）知 ，， ， 所以 ， ， 解得 ． 又因为，，三点共线，所以，所以， ， 66 故存在，，，四点共面，且 ，即 ． 因为 ， 所以，即 的长度为2． 12.[2026河北保定期中]如图，已知四棱锥 的底面是直角梯形， ，，侧面 底面 .求证： 68 （1） ； 证明 取的中点，连接 ， 因为，所以 ， 又侧面 底面，侧面 底面， 平面 ，所以 底面 . 以点 为坐标原点， 69 建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴 , 则,,, ， 所以， ， ， 所以 . 70 （2）平面 平面 . 【答案】 ，， , . 设平面的法向量为 ， 则令，则, ， 则平面的一个法向量为 . 71 设平面的法向量为 ， 则令，则, ， 则平面的一个法向量为 . 因为，所以 ， 故平面 平面 . 72 解 以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略), 则A(0,0,0),F(1,2,0),B'(2,0,3),D'(0,2,3). 因为点E在平面BCC'B'上,所以可设E(2,y,z). 因为D'E⊥平面AB'F,所以. 因为=(1,2,0),=(2,0,3),=(2,y-2,z-3), 所以解得所以E. $